II. Исследование на экстремум.

II. Исследование на экстремум.

· Точка x ₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует некоторая окрестность точки x ₀ такая, что для любого x из этой окрестности .

· Точка x ₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует некоторая окрестность точки x ₀ такая, что для любого x из этой окрестности .

Теорема (необходимое условие существования экстремума):

Если x ₀ – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то .

Доказательство:

Пусть x ₀ – точка максимума, тогда .

Так как f(x) дифференцируема, то существует

Пример:

Обратное утверждение необходимому условию не верно!

x = 0 не является точкой экстремума.

Замечание: Если производная в точке x ₀ не существует, то x ₀ может являться точкой экстремума, а может и не являться.

Пример:

не существует, но – точка минимума.

Пример:

не является точкой экстремума.

A – множество критических точек (где или не существует)

B – множество экстремумов; B – подмножество A (B < A).

¨ Докажем первое достаточное условие существования экстремума:

Если при переходе через точку x ₀ производная дифференцируемой функции меняет знак с «+» на «–», то x ₀ – точка максимума, а если с «–» на «+», то x ₀ – точка минимума.

Доказательство:

Рассмотрим окрестность точки x ₀:

Пусть для , а для , тогда по достаточному условию монотонности:

1) f(x) возрастает при и f(x) < f(x ₀ );

2) f(x) убывает при и f(x) < f(x ₀ ).

В обоих случаях f(x) < f(x ₀ ), значит x ₀ – точка максимума.

Для точки минимума аналогично.

Пример: , найти точки экстремума.

Решение:

1) Найдем критические точки, для этого найдем производную.

2) Исследуем знак производной при переходе через критические точки.

– точка минимума, (0; 0)

– точка максимума,

не является точкой экстремума.

¨ Второе достаточное условие существования экстремума:

Пусть , тогда если , то x ₀ – точка максимума, а если , то x ₀ – точка минимума.

Доказательство:

Пусть , тогда

При , f(x) – возрастает.

При , f(x) – убывает.

Следовательно, по первому достаточному условию x ₀ – точка максимума.

Для точки минимума доказательство аналогичное.

Пример: . Найти точки экстремума.

Решение:

1) Найдем критические точки:

при ; существует при всех x.

2) Проверим знак в критических точках:

Дата добавления: 2015-10-21