§2. Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка

§2. Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка

В некоторых случаях решение уравнения -го порядка удаётся свести к решению уравнения более низкого порядка. Рассмотрим некоторые типы таких уравнений.

1. Уравнения, не содержащие ,

Пусть уравнение - го порядка имеет вид: , (3)

где - числовая функция, определённая в области , . Простейшим уравнением такого вида является уравнение . Его общее решение находим -кратным интегрированием: .

В общем случае порядок уравнения может быть понижен на с помощью замены . Дифференцируя …, и подставляя в исходное ДУ (3), получим: - ДУ - го порядка. Если его общее решение найдено: , то нахождение общего решения ДУ (3) сводится к решению ДУ , т.е. уравнения вида .

Пример 1. . Замена: , если . В случае имеем: . Если , то , что влечёт . Особых решений нет, ибо нет кривых, подозрительных на особое решение.

2. Уравнение, не содержащее явно независимую переменную

Пусть уравнение - го порядка имеет вид: , (4)

где - числовая функция, определённая в области . Порядок данного уравнения может быть понижен на единицу, если в качестве новой функции введём , а за независимую переменную примем . Получим в этом предположении выражения для производных : , , ….

Следуя методу математической индукции, предположим, что .

Тогда

.

Подставляя найденные выражения для через и производные в (4), получим: (4*) – ДУ - го порядка.

Если - общее решение этого уравнения, то нахождение общего решения ДУ (4) сводится к решению уравнения , которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Особые решения уравнения (4*) могут привести к особым решениям уравнения (4) в силу подстановки . Далее, особые решения ДУ (4) могут возникнуть вследствие интегрирования уравнения . Наконец, мы могли потерять решения вида , принимая за независимую переменную, поэтому в (4) нужно положить : - если данное уравнение имеет вещественные корни , то ДУ (4) допускает решения .

Пример 2. . Замена . Решение полученного уравнения зависит от знака произвольной постоянной . Возможны три случая: 1) ; 2) ; 3) . При разделении переменных делили на , поэтому . Особых решений нет, ибо функция имеет непрерывные производные и .

3. Однородные уравнения

Пусть левая часть ДУ есть однородная функция - го измерения относительно : для любой точки и такого, что .

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой , где - новая искомая функция. Убедимся в этом:

, , ….

Следуя методу математической индукции, предположим, что .

Тогда

.

Подставляя найденные выражения для производных в исходное ДУ, получим:

. Таким образом, мы приходим к ДУ - го порядка:

.

Если - его общее решение, то находится из уравнения .

Решение всегда содержится в формуле общего решения при .

Пример 3. . Замена

.

4. Уравнения, левая часть которых является полной производной некоторой функции

Пусть левая часть ДУ может быть представлена как производная по некоторой функции :

в области , причём данное равенство выполняется тождественно относительно . Тогда для данного уравнения имеется так называемый первый интеграл:

, так что порядок ДУ понижается на единицу.

Пример 4.

(в примере 2 интегрирование правой части рассмотрено подробно).

Если же левая часть ДУ не является точной производной, то в некоторых случаях удаётся найти такую функцию , что после умножения на неё левая часть ДУ всё же становится точной производной. Эта функция называется интегрирующим множителем данного ДУ. Так же, как для уравнений первого порядка, знание даёт возможность найти не только первый интеграл, но и особые решения: - решения данного уравнения могут оказаться особыми для рассматриваемого ДУ - го порядка.

Пример 5. . Делим обе части уравнения на : - первый интеграл. Далее, делаем замену: , тогда и уравнение принимает вид: . Делили на , поэтому - также решение данного уравнения.

Дата добавления: 2015-10-21