Пример 1. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Пример 1. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D₁ =

;

D₂ =

D₃ =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Пример 2. Найти (5 + 3 ;2 - ), если

(5 + 3 ;2 - )=10( × ) – 5( × )+ 6( × ) – 3( × ) = 10 ,

т.к. (.

Пример 3. Найти угол между векторами и , если .

Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2) ( × )= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

Пример 4. Найти скалярное произведение (3 -2 ;5 - 6 ), если

(3 -2 ;5 -6 )=15( × )–18( × )-10( × )+12( × )=15

12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример 5. Найти проекцию вектора на вектор , если

. Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3) ( × )= 12 + 20 - 15 =17:

.

Пример 6. При каком m векторы и перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

(.

Пример 7. Найти скалярное произведение векторов и , если

(; ) =

= 10 + 27 + 51 + 135 + +72 + 252 = 547.

Пример 8. Найти векторное произведение векторов и .

= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)

[ .

Пример 9. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).

(ед²).

Пример 10. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

(ед²).

Пример 11. Доказать, что векторы , и компланарны.

Найдем смешанное произведение векторов:

, следовательно, векторы компланарны.

Пример 12. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Пример 13. Найти объем треугольной пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов:

Тогда объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

S_осн = (ед²)

Т.к. V = ; (ед)

Дата добавления: 2015-10-21