В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например:

-7-

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например:

Пусть — измеримое^[1] множество n-мерного вещественного пространства, — функция на .

Разбиение множества — это набор попарно непересекающихся подмножеств , такое что .

Мелкость разбиения — это наибольший диаметр множеств .

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.

Кратным (n-кратным) интегралом функции на множестве называется число (если оно существует), такое что, какой бы малой -окрестностью числа мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

: :

Здесь — мера множества .

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения и множества точек рассмотрим интегральную сумму

Кратным интегралом функции называют предел

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

· В векторном виде: ,

· Либо ставят значок интеграла раз, записывают функцию и дифференциалов: .

· Интегральная теорема о среднем. Пусть — компакт, функция непрерывна и интегрируема на , тогда

Дата добавления: 2015-10-21