Ульяновский политехнический институт 6 страница

– АПР система ССР не обеспечивает высокого качества работы, её достоинством является простота конструкции, особенно при реализации её в универсальных токарных станках, где она и может найти преимущественное использование.

ГЛАВА TРЕТЬЯ. СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ИЗМЕРЕНИЕМ РАДИУСАСА ОБРАБОТКИ

На практике при реализации системы ССР широкое примене­ние находят датчики радиуса обработки с дискретным представ­лением информации [136,45, 70, 3]. В тех случаях, когда к точности поддержания скорости резания не предъявляются высокие требования, например, при черновой обработке изделий, систему ССР можно значительно упростить за счёт уменьшения её аппаратурного состава и упрощения конструкции датчика радиуса, измеряя R со значительной дискретностью. Исходя из этих же соображений, при дискретном измерении R наиболее целесообразно применять АПР и ПДС системы ССР, т.к. они обладают наименее сложной конструкцией.

Если системы СCР с дискретным измерением R можно было бы представить в виде линейных звеньев и квантователя R по уровню [21,33], то при исследовании динамических процессов в этих системах достаточно было рассмотреть их на одном уровне дискретизации. Характер протекания процессов на других уровнях дискретизации при этом был бы таким же [10,38,128]. Однако в связи с этим, что системы ССР содержат нелинейные элементы, процессы в них при переходе R с одного уровня дискретизации на другой будут различными [29,102].

Дискретный характер работы систем ССР начинает проявляться лишь при определённым значении дискретности измерения R, который может быть оценен с помощью теоремы Котельникова.

3.1 Влияние шага дискретизации радиуса на характер процессов в системах.

Дискретное измерение радиуса обработки R в системах ССР может производиться с постоянным шагом дискретизации r₀ и переменным – r_i, как это показано на рис. 3.1. При этом структурные схемыАПР, АППР и ПДС систем ССР (см. рис. 1.11, рис 1.13, рис. 1.14) принимают вид, показанный на рис. 3.2 – рис. 3.4, где с помощью квантователя КВ учитывается дискретное измерение R. Дискретные АППР и ПДС системы ССР, как и непрерывные, являются эквивалентными друг другу и все выводы, полученные для одной системы, полностью справедливы для другой.

Дискретизация R производится, начиная со значения радиуса R_д, которому соответствует нулевой уровень дискретизации N, т.е. N=0 (см. риc. 3.1). Значение R_д определяется условиями технологии и как будет видно из дальнейшего требуемой точностью стабилизации V, максимальным количеством уровней дискретизации, обуславливающих аппаратурную сложность системы, и значением R_r (1.12), который в общем случае меньше R_д. При этом на выходе KB формируется дискретное значение радиуса обработки R_N, в случае фиксированного шага r₀, равное

R_M= R_д +r₀ N, (3.1)

а при переменном значении шага r_i

R_N= R_д при N=0

при N= 1, 2, 3… (3.2)

Обозначив шаг дискретизации независимо от того фиксированный он или переменный через r, найдем время между смежными моментами дискретизации R, т.е. период дискретизации T_g. С учетом того, что скорость поперечной подачи S_R описывается (1.9), получим

(3.3)

Подставив в (3.3) из (1.57), (1.72) значение для АПР и ПДС (АППР) систем ССР в установившемся режиме, запишем соответственно для этих систем

Рис. 3.1. Дискретное измерение радиуса обработки.

, (3.4)

(3.5)

Дискретные системы автоматического управления, в соответствии с теоремой Котельникова могут рассматриваться как непрерывные и дискретные в зависимости от периода квантования входного воздействия с граничной частотой w _с. Граничная частота w _с определяется шириной спектра воздействий на систему, но, главным образом, полосой фильтров, используемых в замкнутой системе автоматического регулирования. У большинства дискретных систем можно выделить непрерывную часть разомкнутой системы, поэтому в качестве граничной частоты w _с, с помощью которой определяется дискретный характер системы, может быть выбрана частота среза передаточной функции непрерывной части разомкнутой системы [118].

Теорема Котельникова накладывает ограничение на длительность периода дискретизации в данном случае T_g. Анализ с этой точки зрения выражений (3.4), (3.5) показывает, что Т_g увеличивается при увеличении R. Таким образом, определение систем ССР как непрерывных или дискретных по теореме Котельникова должно производиться на максимальных радиусах обработки. При этом, как показывают исследования не прерывных систем ССР, их можно линеаризовать по методу замороженных коэффициентов, положив положив R(t)=R₀=const. В этом случае структурные схемы АПР и АППР систем ССР можно представить так, как это показано на рис. 3.5, рис. 3.6, где дискретное изменение R_N заменяется эквивалентным дискретным изменением V₃, которое выполняется с помощью импульсного элемента, состоящего из ключа К_u и фиксирующего элемента (фиксатора нулевого порядка) с передаточной функцией W_фэ(р) [129] равной

Рис. 3.5. Структурная схема линеаризованной АПР системы ССР с дискретным измерением радиуса обработки.

Рис. 3.6. Структурная схема линеаризованной АППР системы ССР с дискретным измерением радиуса обработки.

, (3.6)

Поскольку в линеаризованных системах ССР (см. рис. 3.5, рис. 3.6) импульсный элемент не охвачен обратной связью, то передаточные функции непрерывной части АПР и АППР систем ССР: относительно w запишутся соответственно в следующем виде

, (3.7)

. (3.8)

Найдём амплитудно-частотную характеристику A(w) непрерывной части АПР системы ССР, для чего подставим в выражение (3.7) значения W₁(p), W₂(p) из (1.28), (1.29), W_фэ(р) из (3.6) U₀ из (1.54) и, произведя замену р = j w _r, получим

или

. (3.9)

С учётом того, что A(w_r) =|W_нч(j w _r)|, на основании (3.9) запишем

или

.

Откуда найдём

. (3.10)

Произведя аналогичные математические выкладки для передаточной функции непрерывной части АППР системы ССР (3.8), определим её амплитудно-частотную характеристику

(3.11)

Из выражений (3.10), (3.11) при подстановке в них Т_g, описывающегося соответственно (3.4), (3.5), находится с помощью графо-аналитических или численных методов решения трансцендентных уравнений w _с, исходя из условия A (w_c)=1. Проверка условия, накладываемого теоремой Котельникова, т.е.

(3.12)

позволяет определить, непрерывна (при выполнении (3.12)) и дискретна рассматриваемая система ССР.

Исследования АПР и АППР (ПДС) систем ССР показывают, что при действии усилия резания, приводящего к появлению не минального момента на валу электродвигателя главного движения, дискретность систем проявляется при r > 10-15 Мкм, K_g <0,03мм/рад, R₀>200мм. Таким образом, системы ССР для токарных станков о ЧПУ в большинстве случаев можно считать непрерывными, т.к. в них как правило r≤ 5Мкм.

3.2. Установившиеся режимы работы

В том случае, когда неравенство (3.12) не выполняется, необходимо учитывать дискретный характер измерения R и исследовать систему ССР как дискретную. При этом угловая скорость в АПР системе ССР (см. рис. 3.2) определяется следующим выражением

(3.13)

Для установившегося режима работы с учётом выражений (1.28), (1.29), (1.54), описывающих W₁(p),W₂(p),U₀, из (3.13) найдём

(3.14)

и скорость резания равна

(3.15)

Продифференцировав (3.15) дважды поR, получим

(3.16)

откуда видно, что V на уровне дискретизации N изменяется в общем случае экстремальным образом, имея максимум при значении радиуса R_экс, которое определяется из (3.16) при равенстве этого выражения нулю, т.е.

(3.17)

Опыт исследования систем ССР показывает, что R_экс всегда больше максимального радиуса обработки, т.е. R_экс >R_max, при этом выполняется записанное на основании (3.16) следующее неравенство

(3.18)

Здесь необходимо отметить, что характер процессов в исследуемых, системах ССР при переходе на более высокие и низкие уровни N остаётся одним и тем же. Поэтому в дальнейшем рассмотрение будем проводить, предполагая движение системы в сторону увеличения N.

Скорость резания в начале V_NH и в конце уровня дискретизации N определяется тем, что R принимает в крайних точках уровня N значенияR_N и R_N+1, отличающиеся на шаг дискретизации r_N данного уровня

(3.19)

(3.20)

Угловая скорость шпинделя w _NH и V_Nk в начале и конце уровня N находится делением V_NH и V_NK соответственно на R_N и R_N+1.

Из выражений (3.19), (3.20) видно, что изменение скорости резания на уровне дискретизации обусловлено действием двух величин – V₃ стремится увеличить V к концу уровня, a F уменьшить её. При этом V_N может быть как больше, гак и меньше V₃. В этом случае на изменение V_N в зависимости от её ошибки стабилизации необходимо наложить следующие ограничения

(3.21)

Система ССР работает при различных значенияхF от нулевых до максимальных, поэтому при анализе неравенств (3.21) они должны быть усилены за счёт соответствующего выбора FиR.

Из (3.18) следует, что V_NK >V_NH, поэтому в первое неравенство (3.21) подставляем из (3.20) V_NK и усиливаем его, пренебрегая членом, содержащим F, получаем

(3.22)

Это неравенство определяет на каждом уровне N шаг r_N, обеспечивающий стабилизацию V с ошибкой не ниже заданной.

В случае фиксированного шага r₀ в (3.22) необходимо положить N=0, т.к. при этом, как это следует из (3.20), V_NK максимально, отсюда можно записать

(3.23)

Второе неравенство (3.21) анализируем с помощью (3.19), усиливая его подстановкой R_Nmax – значение радиуса обработки на последнем, максимальном уровне N, откуда найдём

(3.24)

Подставив (3.24) в (3.18), определим условия, при которых выполняется (3.18), приняв в нём R=R_max, запишем

Приняв во внимание (3.22) и то, что R_max-rn ≤ R_Nmax ≤ R_{max ,} получим из последнего выражения

(3.25)

Из неравенства (3.25) следует, что для выполнения (3.18) т.е. G≥1 необходимо обеспечить

В АППР (ПДС) системе ССР (см. рис. 3.3, рис. 3.4) угловая скорость шпинделя на уровнях дискретизации равна

(3.26)

Произведя математические выкладки, аналогичные сделанным выше, и, приняв во внимание, что K_Д определяется (1.71), найдём выражения, описывающие установившийся режим работы АППР и ПДС систем ССР

(3.27)

, (3.28)

, (3.29)

, (3.30)

, (3.31)

. (3.32)

Учитывая справедливость для этого случая сделанных выше предположений и допущений, получим, что r_N и r₀ описываются выражениями (3.22), (3.23), а К_рv определяется следующим неравенством

(3.33)

Проверка в этом случае условия G >1 с учётом (3.33) даёт те же результаты, что и для АПР системы ССР, т.е G ≥1 при

На рис. 3.7, 3.8 показаны зависимости V_N и w_N от R в рассматриваемых дискретных системах ССР, в которых , R_д =20мм, а К_pv определяется в зависимости от V₃, так чтобы обеспечить заданную при переменном шаге дискретизации. Анализ этих зависимостей показывает, что дискретизация R с переменным шагом позволяет значительно сократить аппаратурный состав систем при обеспечении заданной точности стабилизации скорости резания. Причём исследуемые системы обладают приблизительно равными показателями качества в установившемся режиме.

Как видно из выражений (3.14), (3.15), (3.27), (3.28) приF=0 изменение координат в системах происходит одинаковым образом. Подставив значение w_N, найденное для этого случая из (3.14) или (3.27) в (1.10), проинтегрировав и определив постоянную интегрирования, найдём зависимость радиуса R_N на уровне дискретизации N от времени

. (3.34)

Поскольку при F=0 w_n=V₃/R_N=const, то зависимость скорости резания V_N(t) от времени определяется на основании основного соотношения режима ССР (1.1) и равна

Рис. 3.7. Зависимости скорости резания от радиуса обработки в дискретных системах ССР. Кривая I при F=0; 2, 3 при F = 100 Н; 2– в АПР системе ССР; 3 - в АППР и ПДС системах ССР.

Рис. 3.8.Зависимости угловой скорости шпинделя от радиуса обработки в дискретных системах ССР. Кривая 1 при F=0; 2-F=100 Н

V_N(t)=w_N R_N (t) (3.35)

В том случае, когда F≠0, зависимость R_N(t) в АПР системе ССР находится из (3.14) при подстановке в неё значения угловой скорости из (1.40), т.е., w=R'/K_R откуда получим

. (3.36)

решение (3.36) запишем в виде

(3.37)

Зависимость угловой скорости от времени наN уровне дискретизации определим из (3.37) на основании (1.40)

. (3.38)

Для ПДС и АППР систем ССР зависимости радиуса и угловой скорости от времени на N уровне дискретизации имеют вид

, (3.39)

. (3.40)

Зависимость скорости резания от времени в этих системах при F≠0 находится в соответствии (3.35), приняв во внимание, что угловая скорость является в этом случае функцией времени и описывается выражениями (3.38), (3.40).

3.3. Динамика систем с дискретным

измерением радиуса обработки

Динамические процессы в дискретных как и в непрерывных системах ССР обусловлены действием V₃, когда система движется до установившегося значения V при отсутствии возмущающего воздействия (F=0), появлением возмущающего воздействия (F=Const) в момент врезания при установившемся значении V, а также дискретизацией радиуса в процессе работы системы, т.е. изменением значения R_{N .}

Найдём выражения, определяющие поведение координат дискретных систем ССР в динамических режимах. Подставив в (3.13) значения W₁(p), W₂(p), U₀ из (1.28), (1.29), (1.54), запишем для АПР системы ССР следующее уравнение

, (3.41)

с учётом (1.40) это выражение примет вид

, (3.42)

Обозначив на каждом уровне N корни однородного уравнения, соответствующего уравнению (3.42) , частное решение (3.42)–B, а постоянные интегрирования – С_1N, С_2N, C_3N, запишем решение (3.42) в виде

, (3.43)

. (3.44)

Постоянные интегрирования определяются на каждом уровне N при t=0. В соответствии с методом припасовывания [53,137] начальными значениями уровня N, т.е. значения R_N (0) и его производных, являются конечные значения уровня N_-1, найденные в момент времени t_N, когда

R_N-1(t_N)=R_N. Первая производная R_Nv(t) радиуса по времени и вторая –

R_NU (t) равны

(3.45)

(3.46)

Постоянные интегрирования С_1N, C_2N, C_3N находим из следующих уравнений

(3.47)

гдеR(_N-1)v – значение первой производной радиуса в конце (N-1) уровня дискретизации;

R(_N-1)u– значение второй производной радиуса в конце (N-1) уровня дискретизации.

Откуда находим

, (3.48)

(3.49)

. (3.50)

Поскольку по требованиям технологии обработка изделии должна начинаться, когда шпиндель вращается с заданной скоростью и все процессы в системе установились, то в начале уровня N=0 угловая скорость имеет заданное значение, а R_N=R_д. При этом в выражениях (3.47) – (3.50) необходимо принять R_N=R_д, R_(N-1)V=V₃K_R/R_д, R_(N-1)U=0.

Угловая скорость w_N (t) в данном случае на основании (1.40)

. (3.51)

Исследование динамических процессов в АПР системе ССР можно упростить, допустив, что к моменту перехода на следующий уровень.дискретизации процессы в системе установились и уровень N процессы в системе установились и описываются выражениями (3.14), (3.15). При этом с учетом (1.40)

(3.52)

. (3.53)

Для ПДС и АППР систем ССР с учётом W₁(p), W₂(p), K_Д, описывающихся (1.28), (1.29), (1.71), на основании (3.26) получим

(3.54)

На рис. 3.9, 3.10 показаны переходные функции по w_N и V_N в рассматриваемых системах ССР, значение параметров которых определяется (1.77).Здесь необходимо отметить, что в пусковом режиме, т.е. при N=0 переходные функции в ПДС и АППР системах могут быть улучшены и иметь максимальное перерегулирование не более 3 – 4 % за счёт снижения в этом режиме значения К_рv, так как это делалось для непрерывных систем.

В том случае, когда F=0 или весьма близко к этому значению, например, при холостом ходе станка или обработке с малыми усилиями резания, выражение (З_.42) принимает вид

(3.59)

Откуда при комплексно-сопряжённых корнях характеристического уравнения получаем

(3.60)

(3.61)

(3.63)

(3.64)

Производные радиуса по времени равны (3.64)

Pис. 3.9. Переходные функции систем ССР по угловой скорости шпинделя при V₃ = 2 м/с, , R _д =20мм, K_R=0,08мм/рад, F=100Н. Кривая 1 в ПДС и АППР системе при К_рv=6; кривая 2 - в АПР системе при K_pv =22.

Рис. 3.10. Переходные функции систем ССР по скорости резания при V₃ = 2м/с, , R _д =20мм, K_R=0,08мм/рад, F=100Н. Кривая I - в ПДС и АППР системе при К_рv=6; кривая 2 - в АПР системе при K_pv=22.

(3.65)

Постоянные интегрирования C_1N, C_2N и коэффициент B_N определяются из уравнений, аналогичных (3.47), т.е.

(3.66)

Дата добавления: 2015-10-21