При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи с nв-ветвями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо решить систему из nв уравнений. Для снижения числа решаемых уравнений и

1.3.1 Метод контурных токов

При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи с n_в -ветвями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо решить систему из n_в уравнений. Для снижения числа решаемых уравнений и упрощения расчетов используют метод контурных токов и узловых напряжений. Метод контурных токов позволяет снизить число решаемых уравнений до числа независимых контуров. В его основе лежит введение в каждый контур условного контурного тока i_к, направление которого обычно выбирают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК. В частности, для каждого из выделенных контуров можно составить уравнения по ЗНК. Рассмотрим резистивную цепь, схема которой изображена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - Иллюстрация метода контурных токов

Для контурных токов i_к1 и i_к2 этой схемы можно записать уравнения по ЗНК в виде:

-u_г1 + (R₁ + R₃)i_к1 + R₃i_к2 = 0; (3.1)

-u_г2 + R₃i_к1 + (R₂ + R₃)i_к2 = 0. (3.2)

Перенесем u_г1 и u_г2 в правую часть системы и получим так называемую каноническую форму записи уравнений по методу контурных токов:

R₁₁i_к1 + R₁₂i_к2 = u_к1, (3.3)

R₂₁i_к1 + R₂₂i_к2 = u_к2, (3.4)

где R₁₁ = R₁ +R₃; R₂₂ = R₂ + R₃ называют собственными или контурными сопротивлениями 1-го и 2-го контуров; R₁₂ = R₂₁ = R₃ - взаимным сопротивлением 1-го и 2-го контуров; u_к1 = u_г1; u_к2 = u_г2 - контурными задающими напряжениями. Истинные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов: i₁ = i_к1, i₂ = i_к2, i₃ = = i_к1 + i_к2.

Решая систему уравнений, находят величины контурных токов:

i_к1 = D₁/D_R ; i_к2 = D₂/D_R; i_кk = D_k/D_R. (3.5)

где D_R - определитель системы:

. (3.6)

Определитель D_k находится путем замены k-го столбца правой частью приведённой выше системы. Например, для D₁ имеем:

. (3.7)

Иллюстрация метода контурных токов

Полученный результат отражает рассмотренный ранее принцип наложения.

Для линейных электрических цепей важную роль играет принцип взаимности (теорема обратимости). Он гласит: если источник напряжения, помещенный в какую-либо ветвь l пассивной линейной электрической цепи, вызывает в другой ветви k ток определенной величины, то этот же источник, будучи помещенный в ветвь k, вызывает в ветви l ток той же величины. Справедливость этого принципа следует непосредственно из уравнений i_kk с учетом того, что D_lk = D_kl.

1.3.2 Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений широко применяется для расчета электрических цепей, в частности в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем. Метод узловых напряжений базируется на ЗТК и законе Ома. Он позволяет снизить число решаемых уравнений до величины, равной n_у-1. В основе этого метода лежит расчет напряжений в (n_у-1)-м узле цепи относительно базисного узла. После этого на основании закона Ома находятся токи или напряжения на соответствующих ветвях. Рассмотрим сущность метода узловых напряжений на примере резистивной цепи, изображенной на рисунке 3.2 а.

1) Примем потенциал V₃ = 0 (базисный узел) и преобразуем источники напряжения в эквивалентные источники тока (рис. 3.2 б), где i_г1 = u_г1G₁; i_г2 = u_г2G₂; i_г3 = u_г3G₃; G₁ = 1/R₁; G₂ = 1/R₂; G₃ = 1 /R ₃; G₄ = 1/R₄; G₅ = 1/R₅.

2) Составим уравнения для узлов 1 и 2 по ЗТК: -i₁ + i₂ - i₄ + i₅ = 0; i₄ + i₃ - i₂ = 0.

3) Каждый из этих токов можно выразить через узловые напряжения и токи i_г1, i_г2, i_г3:

i₁ = i_г1 - u₁G₁; i₂ = i_г2 - (u₂ - u₁)G₂; i₃ = i_г3 + u₂G₃; i₄ = (u₂ - u₁)G₄; i₅ = u₁G₅. (3.8)

Рисунок 3.2 - Расчёт схем по методу узловых напряжений

4) Подставив эти значения в уравнения для узлов, получим после группировки членов при u₁, и₂ и переносе i_г1, i_г2, i_г3 в правую часть:

(G₁ + G₂ +G₄ + G₅)u₁ - (G₂ + G₄)u₂ = i_г1 - i_г2; (3.9)

-(G₂ + G₄)u₁ + (G₂ + G₃ + G₄)u₂ = i_г2 - i_г3. (3.10)

5) Введем следующие обозначения:

(G₁ + G₂ +G₄ + G₅) = G₁₁; (G₂ + G₃ + G₄) = G₂₂; (G₂ + G₄) = G₁₂ = G₂₁; (3.11)

i_г1 - i_г2 = i_у1; i_г2 - i_г3 = i_у2. (3.12)

Тогда получим систему уравнений:

G₁₁u₁ - G₁₂u₂ = i_у1; (3.13)

-G₂₁u₁ + G₂₂u₂ = i_у2. (3.14)

Проводимости G₁₁ и G₂₂ представляют собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, подсоединенных соответственно к узлам 1 и 2, они называются собственными проводимостями узлов 1 и 2. Проводимости G₁₂ = G₂₁ равны арифметической сумме проводимостей всех ветвей, включенных между узлами 1 и 2, и называются взаимными проводимостями узлов 1 и 2. Алгебраическую сумму задающих токов i_у1 и i_у2 источников тока, подключенных соответственно к узлам 1 и 2, называют задающими узловыми токами узлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической сумме берутся со знаком “+”, если положительное направление задающего тока источника ориентировано к соответствующему узлу, и “-”, если от узла.

6) Решив систему относительно и₁ и u₂, определим узловые напряжения цепи. Искомые токи находим по закону Ома.

Иллюстрация метода узловых напряжений

Полученный результат можно обобщить на произвольную резистивную схему с п узлами. Если принять п-й узел за базисный, то система уравнений по методу узловых напряжений будет иметь вид:

G₁₁u₁ - G₁₂u₂ -... - G_1(n-1)u_(n-1) = i_у1; (3.15)

-G₂₁u₁ + G₂₂u₂ -... - G_2(n-1)u_(n-1) = i_у2;

..........................................................

-G_(n-1)1u₁ - G_(n-1)2u₂ -... + G_(n-1)(n-1)u_(n-1) = i_у(n-1),

где i_у1, i_у2,..., i_у(n-1) - задающие узловые токи в узлах 1, 2,..., (n - 1). Решение системы можно получить с помощью определителей:

u₁ = D₁/D_G; u₂ = D₂/D_G;...; u_(n-1) = D_(n-1)/D_G, (3.16)

где D _G - определитель системы:

(3.17)

Определители D₁, D₂ ,..., D_(n-1) находятся путем замены соответствующего столбца в системе задающими узловыми токами i_у1, i_у2,..., i_у(n-1). Отсюда следует, чтоузловые напряжения определяются алгебраической суммой частных узловых напряжений, обусловленных действием каждого задающего узлового тока в отдельности, т. е. как и в методе контурных токов, эти уравнения отражают принцип наложения, характерный для линейных электрических цепей.

1.3.3 Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора используется в случае, когда необходимо найти ток, напряжение или мощность в одной ветви. При этом удобно всю остальную часть цепи, к которой подключена данная ветвь, рассматривать в виде двухполюсника. Двухполюсник называют активным, если он содержит источники электрической энергии, и пассивным - в противном случае. На рисунках активный двухполюсник будем обозначать буквой А, а пассивный - П. Различают две модификации метода эквивалентного генератора: метод эквивалентного источника напряжения и метод эквивалентного источника тока.

Метод эквивалентного источника напряжения. Этот метод базируется на теореме Тевенина, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником (генератором) напряжения с задающими напряжением, равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 - Суть теорем Тевенина и Нортона

После замены активного двухполюсника эквивалентным источником на рисунке 3.3, в соответствии с этой схемой имеем:

i = u_xx/(R + R_э), (3.18)

где R_э - можно найти либо экспериментальным, либо расчетным путем.

Пример. Найти ток в сопротивлении R₃ (рисунок 3.4, а ) методом эквивалентного источника напряжения.

Рисунок 3.4 - Применение метода эквивалентного источника напряжения

Разомкнем ветвь с R₃ и определим u_хх (рис. 3.4, б) по ЗНК для 1-го контура:

1) u_хх + R₂i₂ - u_г2 = 0. Отсюда u_хх = u_г2 - R₂i₂, где i₂ = (u_г2 - u_г1)/(R₁ + R₂).

2) Эквивалентное сопротивление R_Э пассивного двухполюсника определяется из схемы на рисунке 3.4, в: R_Э = R₁R₂/(R₁ + R₂).

3) Подставив u_хх и R_Э в уравнение для i, найдем: i₃ = u_хх / (R₃ +R_Э).

Метод эквивалентного источника тока. В основе этого метода лежит теорема Нортона, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви (см. рисунок 3.3. в).

Искомый ток можно найти по формуле: i = i_кз[R_э/(R + R_э)].

Пример. Найти ток в резистивном элементе R₃ (рисунок 3.4, а) методом эквивалентного источника тока.

Замкнем ветвь с R₃ (рис.3.4, г) и найдем ток i_3кз, методом наложения:

i_3кз = i^'_3кз + i^''_3кз = u_г1/R₁ + u_г2/R₂.

Эквивалентную проводимость определим согласно схеме на рис. 3.4, в:

G_э = 1/R₁ + 1/R₂ = (R₁ + R₂)/R₁R₂ = 1/R_э.

Подставив значения R_э и i_3кз в выражение для i, получим искомое значение тока i₃.

Очевидно, что методы эквивалентного источника как напряжения, так и тока дают один и тот же результат. Применение того или иного метода определяется удобством и простотой нахождения u_хх или i_кз.

Принцип дуальности и баланс мощности

Дата добавления: 2015-09-30