Ответ: 9
5. B 5 № 27811. 
Найдите диагональ прямоугольника, две стороны которого равны 
и 
.
Решение.
по теореме Пифагора диагональ равна 
.
Ответ: 10.
Ответ: 10
6. B 5 № 27685.
Точки O (0; 0), A (6; 8), B (8; 2) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.
Решение.
Точки C и D являются серединами сторон треугольника, тогда
, 
, 
, 
.
Поэтому
Ответ: 5.
Приведем другое решение.
Заметим, что длина OA равна 
. Длина средней линии вдвое меньше — она равна 5.
Ответ: 5
7. B 5 № 27737. 
Найдите квадрат длины вектора 
+ 
.
Решение.
Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор имеет координаты 
, вектор имеет координаты 
. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат. Тогда вектор 
имеет координаты 
. Длина вектора 
. Поэтому квадрат длины вектора равен 
.
Ответ: 200.
Ответ: 200
8. B 5 № 27719. 
Диагонали ромба 
пересекаются в точке 
и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов 
и 
.
Решение.
Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Диагонали в ромбе перпендикулярны. Так как косинус прямого угла равен нулю, то и скалярное произведение тоже равно нулю.
Ответ: 0.
Ответ: 0
9. B 5 № 27657.
Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O (0, 0) и A (6, 8).
Решение.
Координаты точки, делящей отрезок пополам, считаются по формуле:
, 
.
Ответ: 3.
Ответ: 3
10. B 5 № 27770. 
Острые углы прямоугольного треугольника равны 
и 
. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение.
.
Ответ: 16.
Ответ: 16
Вариант № 3657882
1. B 5 № 27858. 
Найдите хорду, на которую опирается угол 
, вписанный в окружность радиуса 3.
Решение.
, значит, 
, т. к. является центральным углом, опирающимся на ту же хорду. Соответственно, треугольник 
– равносторонний, так как 
.
Ответ: 3.
Ответ: 3
2. B 5 № 27588. Площадь прямоугольного треугольника равна 
16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Пусть неизвестный катет равен a. Тогда
см2,
откуда a = 8 см.
Ответ: 8.
Ответ: 8
3. B 5 № 27604. 
Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 98. Найдите большую сторону прямоугольника.
Решение.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Площадь и периметр прямоугольника будут соответственно равны S = a 
b = 98, P = 2 a + 2 b = 42. Решая одновременно эти два уравнения, получаем, что a 1 = 7, a 2 = 14, b 1 = 14, b 2 = 7. Поэтому большая сторона равна 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
4. B 5 № 315124. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение.
Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
5. B 5 № 27688. 
Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением 3 x + 2 y = 6, с осью Oy.
Решение.
Данная прямая проходит через точки (0; y) и (x; 0). Тогда подставляя эти точки в исходное уравнение прямой, получаем x = 2, y = 3
Ответ: 3.
Ответ: 3
6. B 5 № 27691. 
Найдите угловой коэффициент прямой, заданной уравнением 3 x + 4 y = 6.
Решение.
Общий вид уравнения прямой y = kx + b. Тогда выражая y из исходного уравнения, получаем, что y = −0,75 x + 1,5. Поэтому k = −0,75.
Ответ: −0,75.
Ответ: -0,75
7. B 5 № 27758. 
В треугольнике 
– биссектриса, угол 
равен 
, угол 
равен 
. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение.
так как – биссектриса, она делит угол пополам. Имеем
.
Ответ: 74.
Ответ: 74
8. B 5 № 27572. 
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому
см2.
Ответ: 9.
Ответ: 9
9. B 5 № 27779. 
В треугольнике угол 
равен 
, угол равен 
. , 
и 
– высоты, пересекающиеся в точке . Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Угол между высотами равен углу между сторонами, к которым они проведены: 
.
Ответ: 82.
Ответ: 82
10. B 5 № 245005. 
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади трапеции, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
см2.
Примечание.
Данный четырёхугольник можно разбить на прямоугольный треугольник, с катетами 1 и 3, прямоугольную трапеию с основаниями 3 и 1 и прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Поэтому его площадь равна 4.
Ответ: 4
Вариант № 3657951
1.B 5 № 27686. 
Точки O (0; 0), A (10; 0), B (8; 6), C (2; 6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.
Решение.
Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Следовательно,
,
.
Поэтому средняя линия трапеции равна
.
Ответ: 8.
Ответ: 8
2. B 5 № 27925.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Решение.
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника 
. Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:
откуда 
Тогда по теореме синусов:
Ответ: 6.
Приведем другое решение (Р. А., СПб.).
Хорды AD, DC и CB равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги. Вписанный угол А равен 60°, он опирается на две из этих дуг и равен половине их суммы. Поэтому каждая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ является диаметром. Отсюда получаем, что искомый радиус равен 6.
Ответ: 6
3. B 5 № 27582. 
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
Решение.
Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.
Ответ: 0,5.
Ответ: 0,5
4. B 5 № 27576. 
Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.
Решение.
Площадь параллелограмма равна разности площади прямоугольника и двух равных прямоугольных треугольников. Поэтому
см2.
Ответ: 6.
Ответ: 6
5. B 5 № 27941. 
В четырехугольник вписана окружность, 
, 
и 
. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
Решение.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда 
значит,
Ответ: 14.
Ответ: 14
6. B 5 № 27689. 
Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3 x + 2 y = 6 и y = x.
Решение.
Решая систему этих двух уравнений, получаем, что y = x = 1,2.
Ответ: 1,2.
Ответ: 1,2
7. B 5 № 27456. 
Найдите тангенс угла .
Решение.
Достроим угол до треугольника 
, 
. 
делит основание 
пополам, значит, – высота. Из рисунка находим 
.
.
Примечание.
Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1.
Ответ: 1.
Ответ: 1
8. B 5 № 27836.
Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение.
средняя линия трапеции равна:
.
Ответ: 10.
Ответ: 10
9. B 5 № 315122. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Решение.
Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153.
Ответ: 153.
Ответ: 153
10. B 5 № 27544. 
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому
см2.
Ответ: 6.
Ответ: 6
Вариант № 3658019
1. B 5 № 27682. 
Точки O (0; 0), B (8; 2), C (2; 6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки A.
Решение.
Пусть точка P является серединой отрезков OA и BC. Координаты точки P вычисляются следующим образом:
, 
,
но с другой стороны,
, 
.
Поэтому 
, 
Ответ: 8.
Ответ: 8
2. B 5 № 27665. 
Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0; 0) и A (6; 8), с осью абсцисс.
Решение.
Если опустить из точки перпендикуляр на ось абсцисс, то получится прямоугольный треугольник. Длина
.
Тогда получается, что
.
Ответ: 0,8.
Ответ: 0,8
3. B 5 № 27716. 
Диагонали ромба равны 12 и 16. Найдите длину вектора 
.
Решение.
Разность векторов равна вектору 
. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Вектор является гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Поэтому 
.
Ответ: 10.
Ответ: 10
4. B 5 № 315133. 
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?
Решение.
Заметим, что 
Тогда 
поэтому 
Поэтому площадь сектора равна 
от площади круга. Следовательно, площадь круга равна 
Ответ:96.
Ответ: 96
5. B 5 № 27544. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому
см2.
Ответ: 6.
Ответ: 6
6. B 5 № 245005. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади трапеции, маленького прямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому
см2.
Примечание.
Данный четырёхугольник можно разбить на прямоугольный треугольник, с катетами 1 и 3, прямоугольную трапеию с основаниями 3 и 1 и прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Поэтому его площадь равна 4.
Ответ: 4
7. B 5 № 27737. Найдите квадрат длины вектора + .
Решение.
Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор имеет координаты , вектор имеет координаты . Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат. Тогда вектор имеет координаты . Длина вектора . Поэтому квадрат длины вектора равен .
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 23 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |