Вариант № 3657611
1. B 5 № 27880. 
Касательные 
и 
к окружности образуют угол 
, равный 
. Найдите величину меньшей дуги 
, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Решение.
угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой, рассмотрим треугольник 
Ответ: 58.
Ответ: 58
2.B 5 № 27585. 
Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 и 10, а угол между ними равен 30°.
Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Поэтому
см2.
Ответ: 40.
Ответ: 40
3. B 5 № 27563. 
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (9;9).
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов
Ответ: 12.
Ответ: 12
4.B 5 № 27600. 
Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, и одна сторона на 3 больше другой.
Решение.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна a+3. Периметр будет соответственно равен
P = 2 
a + 2 (a + 3) = 18,
тогда одна из сторон будет равна 3, а другая 6. Поэтому
S = 3 6 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
5.B 5 № 27580. 
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).
Решение.
Площадь четырехугольника равна разности площади квадрата 4х4, четырех равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и 3 и двух равных квадратов 1х1. Поэтому
см2.
Ответ: 8.
Ответ: 8
6. B 5 № 27908. 
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.
Решение.
значит, 
Ответ: 18.
Приведем другое решение.
Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.
Ответ: 18
7. B 5 № 27692. 
Окружность с центром в начале координат проходит через точку P (8; 6). Найдите ее радиус.
Решение.
, а это и есть радиус окружности.
Ответ: 10.
Ответ: 10
8. B 5 № 27575. 
Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9).
Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Поэтому
.
Ответ: 14.
Ответ: 14
9. B 5 № 27745. 
В треугольнике 
угол 
равен 
, 
. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение.
так как треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
.
Ответ: 31.
Ответ: 31
10. B 5 № 27846. 
Найдите высоту параллелограмма 
, опущенную на сторону , если стороны квадратных клеток равны 1.
Решение.
проведем высоту 
из вершины 
. По рисунку находим ее высоту.
Ответ: 4.
Ответ: 4
Вариант № 3657662
1.B 5 № 27595. 
Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.
Решение.
Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их периметров. Пусть периметр и площадь меньшего многоугольника соответственно равны P 1 и S 1, периметр и площадь большего многоугольника соответственно равны P 2 и S 2. Поэтому
,
откуда
,
Поэтому S 2 = 50.
Ответ: 50.
Ответ: 50
2.B 5 № 27707. 
Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите длину вектора 
.
Решение.
Вектор образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. Поэтому по теореме Пифагора 
.
Ответ: 10.
Ответ: 10
3.B 5 № 27772. 
Острые углы прямоугольного треугольника равны 
и 
. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Решение.
так как 
– медиана, то 
(свойство медианы в прямоугольном треугольнике), а значит, углы и 
равны как углы при основании равнобедренного треугольника.
.
Ответ: 42.
Ответ: 42
4. B 5 № 27712. 
Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке 
.Найдите длину разности векторов 
и 
.
Решение.
Разность векторов и равна вектору 
. Длина вектора 
.
Ответ: 8.
Ответ: 8
5.B 5 № 27675. 
Точки O (0; 0), A (6; 8), B (6; 2), C (0; 6) являются вершинами четырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения его диагоналей.
Решение.
,
,
,
.
Противоположные стороны попарно равны, четырехугольник является параллелограммом, значит, точка P является серединой отрезка CB. Поэтому координаты точки P вычисляются следующим образом:
, 
.
Ответ: 4.
Ответ: 4
6.B 5 № 27845. 
Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение.
Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,
.
Ответ: 9.
Ответ: 9
7.B 5 № 27656. 
Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки O (0; 0) и A (6; 8).
Решение.
Координаты точки, делящей отрезок пополам, считаются по формуле:
, 
Ответ: 4.
Ответ: 4
8. B 5 № 27708. 
Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов и 
.
Решение.
Сумма векторов и равна вектору . Вектор образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. Поэтому по теореме Пифагора .
Ответ: 10.
Ответ: 10
9.B 5 № 27594. 
Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому
см2.
Ответ: 6.
Ответ: 6
10.B 5 № 27832. 
В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
Вариант № 3657799
1.B 5 № 27671. 
Найдите ординату точки пересечения оси Oy и прямой, проходящей через точку B (6; 4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A (6; 8).
Решение.
Уравнение прямой имеет вид: 
, где 
— угловой коэффициент. Тогда, подставляя значения абсцисс и ординат точек 
и 
, решая уравнения одновременно, получаем:
.
Так как прямые параллельны, то
.
Теперь подставляя значения и точку с координатами 
, зная еще, что координата второй точки, принадлежащей прямой, 
, находим 
.
Ответ: −4.
Ответ: -4
2.B 5 № 27584. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.
Решение.
Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину 
. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Поэтому сторона квадрата, площадь которого равна 36, равна 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
3. B 5 № 27596. 
Найдите площадь круга, длина окружности которого равна 
.
Решение.
Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется формулой S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR. Поэтому
, значит,
Ответ: 0,25.
Ответ: 0,25
4.B 5 № 245001. 
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади большого треугольника и маленького треугольника. Поэтому
.
Ответ: 3
5. B 5 № 27719. 
Диагонали ромба пересекаются в точке и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .
Решение.
Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Диагонали в ромбе перпендикулярны. Так как косинус прямого угла равен нулю, то и скалярное произведение тоже равно нулю.
Ответ: 0.
Ответ: 0
6.B 5 № 27680. 
Точки O (0; 0), A (10; 8), B (8; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки .
Решение.
Пусть точка P является серединой отрезков OA и BC. Координаты точки P вычисляются следующим образом:
, ,
но с другой стороны,
, 
.
Поэтому 
, 
.
Ответ: 6.
Приведем другое решение.
Поскольку 
имеем: 
Следовательно, ордината точки С равна 6.
Ответ: 6
7. B 5 № 27848. 
Найдите среднюю линию трапеции , если стороны квадратных клеток равны 1.
Решение.
.
Ответ: 3.
Ответ: 3
8. B 5 № 27456. 
Найдите тангенс угла 
.
Решение.
Достроим угол до треугольника 
, 
. 
делит основание 
пополам, значит, – высота. Из рисунка находим 
.
.
Примечание.
Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1.
Ответ: 1.
Ответ: 1
9. B 5 № 27562. 
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. В ответе запишите 
.
Решение.
Площадь фигуры равна трем четвертым площади круга, радиус которого равен 
см. Поэтому
см2.
Ответ: 12.
Ответ: 12
10. B 5 № 27681.
Точки O (0; 0), B (8; 2), C (2; 6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки A.
Решение.
Пусть точка P является серединой отрезков OA и BC. Координаты точки P вычисляются следующим образом:
, 
,
но с другой стороны,
, 
.
Поэтому 
, 
.
Ответ: 10.
Ответ: 10
Вариант № 3657850
1. B 5 № 27689. 
Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3 x + 2 y = 6 и y = x.
Решение.
Решая систему этих двух уравнений, получаем, что y = x = 1,2.
Ответ: 1,2.
Ответ: 1,2
2. B 5 № 27941. 
В четырехугольник вписана окружность, 
, 
и 
. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
Решение.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда 
значит,
Ответ: 14.
Ответ: 14
3. B 5 № 27628. 
Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.
Решение.
.
Ответ: 7.
Ответ: 7
4. B 5 № 27845. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение.
Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,
.
Ответ: 9.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 30 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |