Решение.
При увеличении ребер в 3 раза площади треугольников, образующих грани октаэдра, увеличатся в 9 раз, поэтому суммарная площадь поверхности также увеличится в 9 раз.
Ответ: 9.
Ответ: 9
8. B 10. 
Найдите угол 
прямоугольного параллелепипеда, для которого 
=5, 
=4, 
=4. Дайте ответ в градусах.
Решение.
грань 
является квадратом со стороной 4, а 
– диагональ этой грани, значит, угол 
равен 
Ответ: 45.
Ответ: 45
9. B 10. 
Высота конуса равна 6, а диаметр основания – 16. Найдите образующую конуса.
Решение.
образующая конуса по теореме Пифагора равна
Ответ: 10.
Ответ: 10
10. B 10. Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.
Решение.
Радиус основания конуса, его высота и образующая связаны соотношением 
. В нашем случае 
, поэтому 
. Следовательно, диаметр основания конуса равен 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
Вариант № 3706631
1. B 10. 
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21 
, а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра.
Решение.
высота цилиндра равна
Ответ: 3.
Ответ: 3
2. B 10. 
Найдите тангенс угла 
многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение.
Опустим перпендикуляр 
из точки 
на отрезок . Угол равен углу 
. В прямоугольном треугольнике 
имеем:
Ответ: 2.
Ответ: 2
3. B 10. 
В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.
Решение.
По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 1/2 исходного объема, поэтому объем детали равен 3 литрам.
Ответ: 3.
Ответ: 3
4. B 10. 
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.
Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника складывается из четырех площадей квадратов со стороной 1, двух прямоугольников со сторонами 1 и 2 и двух граней (передней и задней), площади которых в свою очередь складываются из трех единичных квадратов каждая. Всего 4 + 4 + 6 = 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
5. B 10. 
Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
Решение.
Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой 
, поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в 22 = 4 раза.
Ответ: 4.
Ответ: 4
6. B 10. 
Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Решение.
Искомая поверхность состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной, вдвое меньшей ребра исходного тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников (см. рис.), поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 0,6.
Ответ: 0,6.
Ответ: 0,6
7. B 10. 
В правильной четырехугольной пирамиде 
точка 
– центр основания, 
– вершина, 
, 
. Найдите боковое ребро 
.
Решение.
в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно 
является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора
Ответ: 17.
Ответ: 17
8. B 10. В правильной треугольной пирамиде 
— середина ребра 
, — вершина. Известно, что 
, а площадь боковой поверхности равна 
. Найдите длину отрезка 
.
Решение.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: 
. Тогда 
.
Ответ: 2
9. B 10. 
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5:
.
Ответ: 110.
Ответ: 110
10. B 10. 
Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса.
Решение.
образующая конуса по теореме Пифагора равна
Ответ: 17.
Ответ: 17
Вариант № 3706686
1. B 10. 
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 4, 5 и площади двух квадратов со стороной 1:
.
Ответ: 92.
Ответ: 92
2. B 10. 
В правильной треугольной пирамиде 
– середина ребра , – вершина. Известно, что =5, а 
=6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
Отрезок является медианой равнобедренного треугольника 
, а значит, и его высотой. Тогда
Ответ: 45.
Ответ: 45
3. B 10. 
Найдите квадрат расстояния между вершинами 
и 
многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение.
рассмотрим прямоугольный треугольник 
По теореме Пифагора
Ответ: 11.
Ответ: 11
4. B 10. 
Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды 
, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
Решение.
Данные пирамиды имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их оснований. Площадь правильного шестиугольника со стороной 
равна 
Площадь же равнобедренного треугольника 
с боковой стороной и углах при основании 
равна 
Получаем, что площадь шестиугольника больше площади треугольника в 
раз и равна 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
5. B 10. Высота конуса равна 5, а диаметр основания – 24. Найдите образующую конуса.
Решение.
образующая конуса по теореме Пифагора равна
Ответ: 13.
Ответ: 13
6. B 10. 
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки 
, 
, 
, 
правильной треугольной призмы 
, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
Решение.
Заметим, что искомый объём равен разности объема призмы и двух треугольных пирамид, основания и высоты которых совпадают с основанием и высотой призмы:
Поэтому
Ответ: 4.
Ответ: 4
7. B 10. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке 
. Площадь треугольника 
равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка 
.
Решение.
Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, точка является центром основания, а — высотой пирамиды . Ее объем вычисляется по формуле 
. Тогда
.
Ответ: 1.
Ответ: 1
8. B 10. Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.
Решение.
Радиус основания конуса, его высота и образующая связаны соотношением . В нашем случае , поэтому . Следовательно, диаметр основания конуса равен 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
9. B 10. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 9 , а диаметр основания равен 3. Найдите высоту цилиндра.
Решение.
высота цилиндра равна
Ответ: 3.
Ответ: 3
10. B 10. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна , 
. Найдите объем пирамиды
Вариант № 3706719
1. B 10. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
, а высота — 1. Найдите диаметр основания.
Решение.
Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле: 
,
значит, 
.
Ответ: 2
2. B 10. 
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей параллелепипедов с ребрами 1, 6, 4 и 1, 4, 4 уменьшенной на удвоенную площадь квадрата стороной 4:
.
Ответ: 84.
Приведем другое решение
Площадь поверхности заданного многогранника равна площади прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6, 4, 2 уменьшенной на 4 площади квадратов со стороной 1:
Ответ: 84
3. B 10. 
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки 
, 
, , , 
, прямоугольного параллелепипеда 
, у которого 
, 
, 
.
Решение.
Из рисунка видно, что многогранник является половиной данного прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, объём искомого многогранника
Ответ: 30.
Ответ: 30
4. B 10. В правильной треугольной пирамиде — середина ребра , — вершина. Известно, что , а площадь боковой поверхности равна . Найдите длину отрезка .
Решение.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: . Тогда .
Ответ: 2
5. B 10. 
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
Решение.
Площадь поверхности куба выражается через его ребро как 
, поэтому при увеличении длины ребра на 
площадь увеличится на
Отсюда находим, что ребро куба равно
.
Ответ: 4.
Ответ: 4
6. B 10. 
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.
Решение.
Сторона ромба выражается через его диагонали 
и 
формулой
.
Найдем площадь ромба
Тогда площадь поверхности призмы равна
Ответ: 248.
Ответ: 248
7. B 10. В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что =5, а =6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
Отрезок является медианой равнобедренного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда
Ответ: 45.
Ответ: 45
8. B 10. 
Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
Решение.
Исходный и отсеченный конус подобны с коэффициентом подобия 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому площадь отсеченного конуса в 4 раза меньше площади поверхности исходного. Тем самым, она равна 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
9. B 10. 
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.
Решение.
Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы выражается через сторону ее основания и боковое ребро 
как
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 82 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |