С5. При каких а уравнение |x2 – 2x -3| - 2a =|x2 – a| - 1 имеет ровно три корня?

С5. При каких а уравнение | x² – 2x -3| - 2a =|x² – a| - 1 имеет ровно три корня?

Преобразуем наше уравнение

| x² – 2x -3| =|x² – a| +2а – 1

В левой части выражение независящее от параметра.

Параметр а в правой части.

Рассмотрим функции f(x) = | x² – 2x -3| и g(x) =| x² – a| +2а – 1

График первой функции можно построить (красная линия)

Функция g(x) – при любом значении параметра а будет функцией четной,

С двумя минимумами (не дифференцируемые точки функции, в которых производная не существует) (синяя линия) и эти минимумы, в зависимости от параметра а, имеют координаты и . Функция четная. Эти координаты в зависимости от а, лежат на параболе y = 2x² – 1

(черная линия) - верное равенство

Приведем пример при а=1

По графику видно, что при а=1 уравнение имеет три корня,

Наша задача найти другие значения а, при которых уравнение имеет

тоже три корня. Решения графические нестрогие, зато наглядные. При желании можно довести решение до строгого доказательства.

У графиков f(x) и g(x) ветви идущие вверх пересекаются в одной точке

При а = 0

При а=0 уравнение имеет только два корня

При увеличении а, график функции g(x) будет пересекать график функции f(x) в 3 точках из уравнения

Пересечение ветвей идущих вниз

об этой точке говорили ранее

пересечение ветви идущей вниз f(x) и ветви идущей вверх g(x)

Найдем параметр а, когда Минимумы g(x) лежат на f(x)

Значения x, при которых пересекаются f(x) и y = 2x² – 1

При слева

При только два корня (x₂, x₃ – совпадают)

При справа

При только два корня

- одно решение

Уравнение имеет три решения

При и

В ответах пособия под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко приведен другой ответ. ЕГЭ -2013 и ЕГЭ -2015 многие задачи и ответы в позднем издании не изменили.

Дата добавления: 2015-09-29