Моделі оптимальних партій постачань при дефіциті {теорія розкладів)

Моделі оптимальних партій постачань при дефіциті {теорія розкладів)

Приклад 12. [22] Модель оптимальної партії постачання, ко­ли незадоволені вимоги ставляться на облік.

Попит на нестандартну продукцію складає 1900 одиниць у рік. Вартість збереження, включаючи втрати від нерухомості за­собів у запасах і зв'язані зі зниженням цін при нєреалізації про­дукції, дорівнює 19 тис. грн. за одиницю в рік. Витрати розміщен­ня замовлення не перевищують 200 грн. Незадоволені вимоги бе­руться на облік. Питомі витрати дефіциту — 81 тис. грн. за недо­стачу одиниці продукції протягом року.

Треба визначити оптимальну партію постачання, макси­мальну величину заборгованого попиту, інтервал поновлення постачання, місце розміщення замовлення (#= 1 місяць = 1/12 ро­ку) і річні втрати функціонування системи.

1. Оптимальна партія постачання знаходиться за формулою:

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Модель оптимальної партії постачання з урахуванням незадоєолених вимог {теорія розкладів)

Приклад 13. [22] Підприємство випускає партіями магнітні сердечники п'яти типів. Продуктивність — 1500 сердечників за добу.

Середній обсяг споживання кожного типу сердечників — 300 штук за добу. Вартість переналагодження устаткування при переході від одного типу до іншого складає 1200 тис. грн. Вар­тість зберігання одного сердечника — 0,03 тис. грн. за добу. Неза­доволені вимоги беруться на облік. Питомі витрати дефіциту — 0,15 тис. грн. за сердечник за добу. Треба визначити оптимальні параметри роботи системи.

Маємо: Я = 1500 шт. за добу, V = 300 шт. за добу, ДО — 1200 тис. грн., S = 0,03 тис. грн. за штуку за добу, d (витрати де­фіциту) = 0,15 тис. грн. за штуку за добу.

Зміну рівня запасу в системі можна показати графічно (рис. 2.7):

Рис. 2.7. Графічне зображення зміни рівня запасу АВ — максимальна величина запасів; ED *— максимальна величина незадоволених вимог.

У точці Е надходить нова партія з інтенсивністю X. Площа трикутника АОС — середня величина запасу протягом циклу, а трикутника CDF — середня величина дефіциту.

АВ = Vr₂ і, відповідно, ED =Угз, де V— інтенсивність спожи­вання сердечників.

J___ L

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Модель визначення оптимальної величини партії є умовах знижки на розмір замовлення (теорія розкладів)

В умовах ринкових відносин враховується знижка, тобто зни­ження ціни при оптових закупівлях. Розберемо на прикладі одну з моделей [22].

Приклад 14. Цех випускає насоси. Витрати переналагодження складають ЗО тис. грн. Потреба в насосах постійна і дорівнює 600 штук у рік. Вартість насоса залежить від величини замовлення (табл.2.5). Витрати змісту — 2% від вартості продукції.

Таблиця 2.5 Зміна цін на насоси є залежності від розмірів партій

Величина замовлення, штук	Ціна за штуку, грн.
1-149 150-399 400 і більше	80 60 40

В.О. Василенко

3. Якщо 4п-і ^< Qn-h то довідаємося #п-2 Якщо Qn-2 ^a Q»-2 ' то для визначення оптимального рівня за­мовлення порівнюємо Шп-2), UQn-j) и L(Q_n) і т.д. Цей процес продовжується доти, поки q_i > Qj після чого порівнюються зна­чення-^')» L{Q_t.i),..., L{Q_n). Мінімальному значенню відпо­відає оптимальна партія замовлення.

Завдання оптимального використання ресурсу (лінійне програмування) Приклад 15. [22] Підприємство може виготовляти чотири ви­ди продукції П-1,17-2, П-3, П-4. Збут будь-якого її обсягу забезпе­чений. Підприємство користується протягом кварталу трудови­ми ресурсами в 100 чол.-змін, напівфабрикатами масою 260 кг, верстатним устаткуванням у 370 станко-змін. Норми витрати ре­сурсів і прибуток від одиниці кожного виду продукції представ­лені в табл. 2.6.

Таблиця 2.6. Вихідні дані для розе 'язання завдання

,------------ _----------------- _--------------- Ресурси	Продукція	Об'єм ресурсів
П-1	/7-2	П-3	П-4
Трупові ресурси люпино-змін	2.5	2.5		1 5
Напівфабрикати, кг
Станочне обладнання, станко-змін
Прибуток ві л одиниці пролукшї. тис. грн.					maxZ
План випуску	х;	Х2	хз	Х4

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Необхідно:

1. Визначити план випуску продукції, максимізуючий прибуток.

2. Розв'язати завдання з вимогами комплектації, щоб кількість
одиниць третьої продукції була в 3 рази більше кількості оди­
ниць першої.

3. З'ясувати оптимальний асортимент при додаткових умовах:
першого продукту випускати не менш 25 одиниць, третього — не
більш ЗО, а другого і четвертого —- у відношенні 1:3.

Запишемо математичну модель завдання: цільова функція — максимум прибутку:

тах:2= 40х₁ + 50х₂ + 100х₃ + 80х₄ при обмеженнях:

а) на трудові ресурси: 2,5х₂ + 2,5х₂ + 2х₃ + 1,5х₄ <100;
на напівфабрикати: 4х_; + 10х₂ + 4х₃ + 6х₄ <2бО;

на верстатне устаткування: 8х_г + 7х₂ + 4х₃ + 10х₄ <370. Умова невизначеності х_}- > 0, j =1,4;

б) додаткова вимога комплектації виразиться умовою Зх₁ -х₃ = 0;

в) граничні умови й умови комплектації представимо так:

Xj >25, х₃ <30, Зх₂ =х₄.

Завдання про вибір оптимальних технологій (лінійне програмування) Приклад 16 [22]. Підприємство може вести роботи трьома тех­нологічними способами. Витрата ресурсів за одиницю часу при відповідній технолога і продуктивність кожної технології в грив­нях за одиницю часу представлені в табл. 2.7.

Визначити інтенсивність використання кожного технологіч­ного способу xj.

Таблиця 2.7

Ресурси	Продукція	Об'єм ресурсів
Т-1	Т-2	Т-3
Робоча сила, людино - годин
Сировина, т		3	2,5
Електроенергія. кВт. ч
Виробництво технологічного способу				maxZ
План використання технологічних способів	XI	Х2	ХЧ

В.О. Василенко

Завдання про розкрій матеріалів (лінійне програмування) >₍

Раціональний розкрій промислових матеріалів — важливе джерело економії ресурсів. Він підвищує коефіцієнт використан­ня матеріалів. Централізація розкрою на постачальницько-збу­тових базах могутньої корпорації дозволяє скоротити асорти­мент матеріалів, що веде до укрупнення замовлень. Сутність за­вдання про оптимальний розкрій полягає в розробці таких тех­нологічно допустимих планів розкрою, при яких виходить не­обхідний комплект заготівель, а відходи за площею, вагою чи вартістю зводяться до мінімуму.

В даний час найбільш вивчені питання розкрою довгомірних і листових матеріалів.

Приклад 17. Постачальницько-збутова база одержала від по­стачальників дві партії прутиків сталевого прокату. Перша партія містить 100 прутиків довжиною по 6,5 м, друга — 250 по 4 м. З цих прутиків потрібно виготовити комплекти по п'ять де­талей: дві деталі по 2 м і три по 1,25 м (табл. 2.8).

Необхідно. Розрізати прутики таким чином, щоб одержати максимальну кількість комплектів.

Таблиця 2.8 Матриця варіантів розкрою прутиків

Заготовка, м	Варіант розкрою	Розмір деталі, м	Число заготовок	План розкрою
Лі =2	Л, = 1.25
6,5	1 2 3 4	3 2 1 0	2 3 5		XII Х12 хіз Х14
	1 2 3	2 1 0	0 1 3		Х21 Х22 Х23
Входе до комплекту			maxZ

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Матрицю можна одержати емпірично. Наприклад, безпосе­редньою перевіркою легко встановити, що прутик довжиною 6,5 м можна розрізати на деталі по 2 і 1,25 м чотирма способами:

1) три деталі по 2 м;

2) дві по 2 м і дві по 1,25 м;

3) одна деталь по 2 м і три по 1,25 м;

4) п'ять деталей по 1,25 м.

Прутик довжиною 4 м може бути розрізаний на деталі потрібного розміру трьома способами:

1) дві деталі по 2 м:

2) одна деталь по 2 м і одна — по 1,25 м;

3) три деталі по 1,25 м.

_2]

Математична модель прийме вигляд max: Z = х при обмеженнях: за ресурсами заготівель —

умова незаперечності — х_у- >. 0.

Наведемо найпростішу модель розкрійного завдання у ви­падку критерію — мінімізація відходів при розкрої. Розглянемо завдання оптимального розкрою за одним виміром довгомірних матеріалів (прутиків, труб, профільного прокату й ін.). Нехай Z — довжина вихідного матеріалу;

Лі — довжина заготівлі і-го виду;

bj — потрібна кількість заготівель і-го виду;

а_і} — кількість заготівель і-го виду, одержуваних при розкрої одиниці вихідного матеріалу noj-му варіанті;

cj — відхід при розкрої одиниці вихідного матеріалу по j-му варіанті.

Невідома величина Xj — інтенсивність використання j-го варіанта, тобто скільки одиниць вихідного матеріалу буде роз­кроюватися за у-іш варіантом.

Математична модель завдання може бути представлена у вигляді:

В.О. Василенко

Завдання розкрою за одним виміром довгомірних матері­алів може бути використана для подовжнього розкрою рулонів. Приклад 18. Прутики сталевого прокату довжиною 750 см, відповідно до заявок споживачів, потрібно розкроювати на за­готівлі трьох видів з довжиною: A_s- 250 см, Л₂ = 200 см і А₃ = 150 см. Заявки надійшли на 200 тис. штук заготівель першого ви­ду, 250 тис. — другого і 50 тис. — третього.

Знайти: а) оптимальний план розкрою за критерієм мінімуму відходів; б) мінімізувати кількість прутків, що підлягають роз­крию, для задоволення заявленої потреби. Насамперед, побу­дуємо таблицю всіх можливих варіантів розкрою (табл. 2.9).

Таблиця 2.9 Матриця практично можливих варіантів розкрою прокату

при обмеженнях:

3xj + 2%2 + 2х₃ + х₄ + xs + х₆ = 200000;

х₂ + 2х₄ + х₅ + Зх₇ + 2х₈ + х₉ = 250000;

х₃ + 2х₅ + 3x_tf + x₇ + 2 х# + 3jc₉ + 5х_!0 ~ 50000;

Xj>O,y= 1,10.

Аналогічно, хоча і трохи складніше, можна розв'язувати за­вдання за допомогою лінійного програмування за розкроєм склІі, лінолеуму й інших матеріалів.

Приклад 19. {лінійне програмування). Власник володіє чотир­ма видами ресурсів (т = 4) Це, наприклад, кошти, виробничі приміщення, устаткування, сировина.²

Необхідно розподілити ресурси між шістьма підприємствами («= 6). Підприємства розрізняються за економічними умовами діяльності, місцем розташування, системою оподаткування, вартістю енергії, оплатою праці і т д., у зв'язку, з чим будуть різні витрати виробництва (табл. 2.10.)

Таблиця 2.10 Відносні рівні витрат на підприємствах

Номер варіанту	Розмір заготовок	Зали	План
	Лі = 250	Лі = 200	Дч =150	шок	розкрою
					XI
					Х2
					хз
					Х4
					Х5
					Хб
					Х7
					Х8
					Х9
					ХНІ
Кількість заготовок, тис. шт.

Побудуємо математичну модель завдання: функція мети — мінімум відходів, тобто

min: Z = 50х, + 100х, + 100x4 + 50х« + + 50х_я + Ю0х_д

Підприємства
Витрати	0,4	0,5	0,2	0,8	0,6	0,3

Розподіл ресурсів за підприємствами поєднано з не­обхідністю обліку ряду обмежень, що можуть бути описані систе­мою чотирьох рівнянь регрєсіиного виду із шістьма невідомими

1 - й вид ресурсов 4х, + х₄ г= 16,

2-й вид ресурсов 2х₂ +x_s- 10,

3-Й вид рссурсрв х₃ + 2х_А + бх, = 76,

4-Й вид ресурсов 4х, + Зх₂ +х₆= 24,

х, £00*1,2,.,4) ₍₂₁₎

² За основу взято завдання, наведене в джерелі В.А. Абчук. Економіко-математичні методи. Елементарна математика і логіка. Методи дослід­ження операцій. - СПб: Союз,1999. — 370 с.

В.О. Василенко

Зміст першого рівняння в нашому прикладі в тім, що ресурс виду І, загальний обсяг якого складає 16 одиниць, може розміща­тися в кількості чотирьох одиниць на підприємстві першого типу й однієї одиниці — на підприємстві четвертого типу. Аналогічно роз­кривається зміст другого і наступного рівнянь. Остання умова го­ворить про те, що кількість підприємств не може бути негативною.

Необхідно визначити, яку кількість підприємств кожного ти­пу варто мати, щоб загальні витрати були мінімальними.

Відповідно до табл. 2.10 цільова функція, що підлягає оп-
тимізації, має вигляд
у = 0,4х, + 0,5*, + 0,2х, + 0,8*, + О.бх, + 0,3*₆. _{(2 2)}

Розв 'язок

Розв'язання завдання зводиться до виконання обмежень, за­даних рівняннями (2.1), з урахуванням умови мінімізації виразу (2.2).

У нашому випадку (коли п-т=2) кожне з лінійних рівнянь (2.1), а також лінійна функція (2.2) можуть бути представлені в двомірному просторі (на площині). Для цього необхідно вирази­ти всі відомі через незалежні величини. Наприклад, х, і х₂ відпо­відні координатним осям, щодо яких буде вироблятися побудова (рис. 2.8).

Теорія І практика розробки управлінських рішень

(2-3) (2.4)

х_А = 24-4*. -Зх, SO. _; (2.5)

Кожному з нерівностей (2.5) на графіку (див. рис. 2.8) відповідає нагавплощина, у межах якої знаходяться всі допустові даною нерівністю значення змінної величини x{j = 1,2,..., б).

Так, нерівності х_} > 0 відповідає напівплощина вправо від осі х₂ (границя її заштрихована).

Нерівності х₃ = 8x1 + 12х₂ — 16> 0 відповідає напівплощи­на вправо і нагору від лінії граничного значення даної нерівності (при х = 0). Рівняння цієї лінії

х+-д:,-2 = 0. ¹ 2 ²

У такий же спосіб можна побудувати границі, зумовлені іншими рівняннями.

Нерівностям (2.5) відповідає деяка область — шестикут­ник ABCDEF, утворений границями згаданих вище напівплощин. Ця область може бути названа областю припустимих планів, ос­кільки будь-яка точка в її межах відповідає вимогам накладених обмежень (2.1).

З усіх допустимих планів нас цікавить оптимальний план, при якому функція мети (у) досягає мінімуму.

Цільовій функції відповідає сімейство прямих рівнобіж­них ліній. Розглянемо одну з них, що проходить через початок координат, що буде мати місце за умови, коли в ~ 22,8. При цьо­му х₂ = Зх_}

B.O. Василенко

Цікавляча нас пряма в = 22,8, як видно з рис. 2.8, має на­хил вправо від осі х₂. Задаючи різними значеннями в, одержимо сімейство прямих ліній, рівнобіжних прямій в = 22,8, що прохо­дить через точку 0. При цьому, чим менше буде значення в, тим, мабуть, правіше буде розташовуватися відповідна пряма.

Оскільки ми домагаємося мінімального значення в, то нас буде цікавити пряма, розташована в найбільшому видаленні вправо від прямої в = 22,8 і минаюча через багатокутник ABCDEF, тобто пряма у_тіп

Єдиною точкою, що відповідає оптимальному плану, буде та вершина багатокутника ABCDEF (див. рис. 2.8), що одночасно належить області допустимих планів і відповідає вимозі мінімі­зації цільової функції в, — вершина С. З рівняння прямої ВР, що проходить через точку 3, випливає, що Xj = 4. З рівняння прямої DC, що проходить через ту ж точку, випливає, що х₂ = 0.

Підставляючи отримані значення х₂ = 4 і х₂ = 0 у рівняння (2.3), визначимо величину іншої перемінної, складової оптималь­ного плану.

Теорія і практика розробки управлінських рішень

При розв'язанні цих завдань цільова функція розрахо­вується за формулою, аналогічною

(2.8)

y=3₁x₁+3₂x₂+...+c_jf+c_nK_n,

де у — цільова функція, що підлягає максимізації. Відмінність полягає в тім, що знаки перед усіма постійними ко­ефіцієнтами міняються "плюс" на "мінус" (с) = -с у.

Приклад 20. (Динамічне програмування). Літак ванта­жопідйомністю G = 83 умовних одиниць вантажу передбачається завантажити чотирма типами вантажу (т - 4) відповідно до да­них, наведених в таблиці 2.11?

Таблиця 2.1J Маси і вартості вантажу 1-го типу (в умовних одиницях)

Показник, умовні одиниці	Тип вантажу, і
Рі Сі		16 50	22 85	24 96

Необхідно завантажити літак таким чином, щоб загальна цінність вантажу була максимальною.

Розв 'язок

У даному прикладі немає природного поділу операції за­вантаження на кроки. Такий поділ, в інтересах розв'язання за­вдання, доцільно ввести штучно, приймаючи за кроки заванта­ження літака предметами різних типів. Таких кроків буде чотири. Послідовність розрахунків при цьому буде наступною. На пер­шому колі оптимізація починається з четвертого типу вантажу — четвертого кроку. При цьому приймається, що літак завантажу­ють тільки предметами 4-го типу. У цих умовах максимальна цінність вантажу на четвертому кроці:

a>₄=f₄(G)=Max{x₄,3₄} (2.9)

при умовах, що випливають з параграфа 13.3 (с. 243),

¹ Джерело те ж (В.А.Абчук)

35*?

В.О. Василенко

356

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Для кожного з цих чотирьох значень обчислюється величи­на, що стоїть у фігурних дужках формули (2.10), причому f₄(G) розраховується за формулою (2.9).

Підставивши відповідні цифри і виконавши нескладні арифметичні дії, одержимо наступні значення:

Для х₃ = 0- 288; х₃ = 1 - 277; х₃ = 2- 266 і для х₃ = 3 вели­чину, рівну 255.

Потім розраховується максимальна величина з отриманих значень:

A3) = мах (288; 277; 266; 255) = 288.

Відповідна цій найбільшій цінності кількість вантажу х₃ = 0 і буде умовним оптимальним керуванням на третьому кроці:

U₃=x₃ = 0.

Далі переходимо до попереднього, другого кроку — до за­вантаження предметів другого типу, для якого аналогічним шля­хом знаходимо

fi(G) = 288 і відповідне U₂=x₂ = 0. Точно так само, для пер­шого кроку

f₁(G) = 308\U_l =_Xl = L

Для першого кроку умовне оптимальне керування одночас­но є оптимальним керуванням U_}*:

и_}*=и!=1.

Потім починається друге коло оптимізації від першого кро­ку до останнього кола нашого завдання.

Оскільки нам відомо, що оптимальне керування на першо­му кроці вимагає однієї одиниці вантажу першого типу, то надалі розподіляється тільки те, що залишається на інші типи вантажу, а саме:

G' = 83 - 1 • 10 = 73 одиниці.

Роблячи розрахунки, аналогічні до тих, що виконувалися на першому колі, послідовно одержуємо оптимальні керування для другого, третього і четвертого кроку:

U₂*=0; U₃*=0;U₄*^3.

Оптимальне керування забезпечує наступну максимальну загальну цінність вантажу, що розраховується за формулою на­веденою в теоретичній частиш параграфа 13.3 (с. 243):

W= 1 • 20 + 0* 50 + 0' 85 + 3 * 96 - 308.

У розглянутому прикладі оптимізація могла бути здійсне­на, починаючи з будь-якого типу предметів. Прийнятий нами по­рядок відповідає загальній ідеї динамічного програмування.

В.О. Василенко

Приклад 21. Маємо п'ять видів ресурсів (т =5), призначе­них для чотирьох об'єктів (п = 4). Відомі характеристики об'єктів і ресурсів: матеріальний ефект при розподілі на і-й об'єкт будь-якого ресурсу (Аі) і коефіцієнти аі, що характеризують можливос­ті кожного з ресурсів стосовно до конкретних об'єктів (табл. 2.12)4

Таблиця 2.12 Характеристики об'єктів і ресурсів

Характеристики	Номери об'єктів
Аі.
аі	ОД	ОД	ОД	ОД

Необхідно визначити кількість ресурсів (х), використання яких на кожнім з об'єктів забезпечить максимальний ефект.

Розв 'язок

У даному прикладі так само, як і в попередньому, немає природного поділу операції на етапи. Такий поділ в інтересах розв'язання завдання вводиться штучно. За кроки приймається послідовний розподіл ресурсів за об'єктами. Таких кроків буде чотири.

На першому колі знаходиться умовне оптимальне керуван­ня — кількість ресурсів, виділених на кожен об'єкт, починаючи з останнього.

На першому кроці позначимо х_г, кількість ресурсів, що на­правляються на останній об'єкт (рахунок кроків ведеться з кінця). При цьому ефективність на останньому кроці

(2.12)

Значення X; нам невідомо, тому що це та кількість ресурсів, що залишилася від умовного оптимального керування на передо­станньому (другому з кінця) кроці.

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Переберемо всі можливі значення х_} і для кожного з них зробимо розрахунок f_}(xj за формулою (2.12).

Як видно з умови завдання, х_г може приймати значення 0, 1,2, 3, 4, 5. Для цих значень і зробимо розрахунок (табл. 2.13).

Таблиця 2.13 Можливі значення х, і ефективності

X!	ftfxi)
	'0,190
	0,363
	0.518
	0,659
	0.787

На другому кроці (з кінця) виділяється х₂ ресурсів на пере­достанній об'єкт, а відповідна ефективність на цьому кроці со₂ по­винна враховувати, крім ефекту від другого кроку, також і ефект в результаті умовного оптимального керування на першому (з кінця) кроці:

де 0<х₂<х₂

Оскільки х₂ — кількість ресурсів, призначених для забезпе­чення як передостаннього, так і останнього об'єкта, то х₂ > х₂. Ви­ходячи з цього, роблять припущення про всі можливі значення х₂ (х₃ =0, 1, 2, 3, 4, 5) і для кожного з них розраховується ефек­тивність (табл. 2.14).

Одночасно знаходиться і значення х₂ (умовне оптимальне керування), при якому f₂(x₂) досягає максимуму. Оскільки воно залежить від х₂, позначимо його х/х₂) і також приведемо в табли­цю 2.14.

^А Джерело те ж (В.А.Абчук) 358

В.О. Василенко

Таблиця 2.14

Можливі значення х₂, максимальні ефективності і відповідні до них значення х₂ (х^

Х2	Ї2(Х2)	Хі(Х2)
0
	1.150
	2,175
	3.108
	3.954
	4.722

Далі аналогічним шляхом для всіх можливих значень х₃ об­числюються /₃(хз) і х₂(х₃), наведених у таблиці. 2.15.

У такий же спосіб розраховується й умовне оптимальне ке­рування на четвертому (з кінця) кроці. Але оскільки на цьому кроці ми підійшли до вихідного (початкового) значення кількості одиниць ресурсів, призначених для всіх об'єктів (т = 5), то вели­чина х₃ визначається тільки для х₄ = 5. Як показує розрахунок, х₃(х₄ = 5) =2.

Таблиця 2.15

Можливі значення х₃, максимальні ефективності/₃(хз) і відповідні до них значення х₂(х₃)

Хз	F3(x3)	Х2(Хз)
	1,330
	2;541
	3,508
	4,680
	5.804

Починається друге коло оптимізації в зворотному порядку (від четвертого кроку до першого). Оскільки спочатку в нас для всіх об'єктів є 5 од.р., а після виділення ресурсів на один з об'єктів відповідно до умовного оптимального керування на всі інші повинно залишитися х₃(х₄) = 2 одиниць ресурсів, то опти­мальне керування на четвертому (з кінця) кроці

U4* = х₄ = 5 ~ 2 = З одиниці.

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Оптимальне керування на третьому (з кінця) кроці повинно бути таким, щоб при розподілі 5 - 2 =3 одиниці ресурсів, що за­лишилися, дотримувався принцип оптимальності. Як ми вже знаємо, при цьому х₃* = x₃(xj = 2.

Як показує аналіз таблиць 2.13, 2.14 і 2.15, при х₃ = 2 х₂{х₃) = 0, при х₂ = 0х₁(х₂) = 0. Отже, х₂* = Xj* = 0.

Отже, оптимальним цільовим розподілом одиниць ресурсів (од. рес.) за об'єктами буде:

U4* - 3 ед. p., U3* = 2 ед.р., U2* = 0ед.р., Ul* = 0 ед.р. Загальний збиток при цьому

Приклад 22. (Стохастичне програмування). Розглянемо за­вдання розподілу двох видів ресурсів для випуску двох наймену­вань виробів [13].

Математична постановка завдання має вигляд:

В.О. Василенко

Вихідні, дані, необхідні для розв'язання цього завдання, наве­дені в табл. 2.16, 2.17.

D

Таблиця 2.16 Вихідні параметри завдання

d

Параметри

XI

Таблиця 2.17 Необхідні обмеження й умови

Обмеження	Випадкові відхилення
аи	а?.	Ьі
an	Щіі	а а	°п	bi
	10 20	2 6	15 14	3 4	100 150

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Таблиця 2.18 Результати детермінованого розв 'язання

Параметр	^і-0	а, = 0,6
Х\	2,0
Х2	5.3	5,04
L	52,4	50,3
Р		4,0
Si		4,4
ь		5,8
Yi		4,4
Y2		5,1

Розглянемо тепер, як вплинуть на результат розв'язання за­вдання величини, що визначають її ймовірний характер. До та­ких величин відносять: заданий рівень ймовірності а_і і дисперсії <?,-, і &і. Почнемо з аналізу впливу а₁₂ (табл. 2.19).

Таблиця 2.19 Таблиця аналізу впливу випадкових факторів

	«і і
	0,5	0,6	0,77	0,89	0,96	0,987
X:	2,0	2,0	2,0	3,7!	3,07	2J65
х2	5,3	5,04	4,51	3.0	3,0	3,0
1	52,4	50,3	46,1	42,6	39,3	34,8
Р		4,0	12,0	18,7	25,0	33,6
		4,4	12,3	17,9	24,3	33,3
		5,1	14,8	16,5	23,2	26,0

З аналізу розв'язання цього завдання можна зробити наступні висновки: для забезпечення гарантованого (з ймовірністю а = 0,6) виконання плану необхідно мати додатково близько 5% кож­ного виду ресурсу. При відсутності додаткового ресурсу цільова функція може зменшитися на величину р = 4% внаслідок можли­вого скорочення випуску продукції х₂ від 5,3 до 5,04.

Приклад 23. (Теорія ігор). Підприємець володіє трьома видами товарів Л_ь А₂, А_І7, які він прагне реалізувати на ринку, де можливий продаж конкурентом аналогічних товарів — У_ь В₂ і В_3і відповідно.⁵

^; За основу взято завдання, наведена в джерелі В.А. Абчук. Економіко-математичні методи. Елементарна математика і логіка. Методи дослід­ження операцій. - СПб: Союз,1999. — 370 с.

В.О. Василенко

Підприємцю невідомо, який вид товарів переважно конку­рент буде продавати на ринку, а конкуренту невідомо, які товари підприємця на цьому ринку з'являться.

Підприємець має у своєму розпорядженні дані про те, яка ймовірність продати той чи інший товар при наявності на ринку товарів конкурента. Ці дані утворять матрицю гри (табл. 2.20).

Необхідно дати підприємцю рекомендації з раціонального вибору виду товарів для просування їх на ринок в умовах конку­ренції, при якому забезпечується одержання можливого найкра­щого результату — найбільшої ймовірності продажів, що б не починав конкурент.

Розв 'язок

Виписуємо праворуч мінімуми рядків і з них вибираємо найбільший <з₂= 0,4 (відзначений зірочкою). Це нижня ціна гри, чи максимін. Потім виписуємо внизу максимуми стовпців і з них вибираємо найменший (fa = 0,8) — відзначений зірочкою. Це верхня ціна гри, чи мінімакс.

Таблиця 2.20 Матриця гри

Підприємець	Конкурент
Ві	в2	Вз	ГЇ.1
Аі	0,0	0.4	0.9	0.4
А2	0.2	0.9	0.1	0.1
А.	0.8	0.0	1.0	0.0
0*	0,8	0,9	1,0

Розв'язання полягає в тім, що необхідно систематично за­стосовувати Максимівну стратегію — товар типу A_h При цьому підприємцю гарантується результат не менш/> = 0,4, що б не по­чинав конкурент (його задуми нам не відомі). Для конкурента найкраща стратегія — вибір товару виду В₂; при цьому він гаран­тує собі результат не більш р = 0,8 (чим прибуток підприємця більше, тим для нього гірше).

Оскільки в розглянутому прикладі немає сідлової точки (а Ф fy, це означає, що отримані рекомендації вірні лише для ви­падку, коли конкурент не має у своєму розпорядженні даних про обране підприємцем рішення. Це так звана хитка стратегія. Якщо конкурент довідається про те, що підприємець став застосовува­ти товар типу А₂ він відразу ж почне застосовувати товар виду В₃ і тим самим поліпшить свій результат до р = ОД. 364

Теорія і практика розробки управлінських рішень

У тих випадках, коли в подібному завданні конкурент має у своєму розпорядженні дані про вибір підприємця, необхідно шу­кати розв'язання в змішаних стратегіях.

Приклад 24. В умовах прикладу 23. підприємцю стали відомі можливі кількості одиниць кожного з його товарів, що можуть бути продані при різних варіантах появи товарів конкурента на ринку (табл. 2.21).

Необхідно дати підприємцю рекомендації, при викорис­танні яких середньоочікувана кількість проданих товарів буде найбільшою, що б не починав конкурент.

Таблиця 2.21 Матриця гри

Підприємець	Конкурент
в,	в2	В3	а.
А, А2 А,	5 8 9		7 6	7* 6
ft		f ""

Розв 'язок

Виписуємо праворуч мінімуми рядків і з них вибираємо найбільший а₂^ 7 (відзначений зірочкою). Це нижня ціна гри, чи максимін. Потім виписуємо внизу максимуми стовпців і з них ви­бираємо найменший /?₂ - 7 (відзначений зірочкою). Це верхня ціна гри, чи мінімакс.

Розв'язання полягає в тім, що необхідно систематично за­стосовувати свою оптимальну стратегію — товар А₂ При цьому гарантується результат не менше М = 7, що б не починав конку­рент (його задуми нам не відомі). Для конкурента оптимальна стратегія — вибір товару В₂; при цьому він гарантує собі резуль­тат не більше М-1 (чим результат підприємця більше, тим для нього гірше).

Ціна гри v = а — ft відповідає сідловій точці (обведена кружком).

В.О. Василенко

Те, що в розглянутому прикладі є сідлова точка (а - /?), оз­начає, що отримані рекомендації вірні незалежно від того, во­лодіє конкурент даними про обране рішення чи ні.

Це так звана стійка стратегія. Якщо конкурент, довідав­шись, що підприємець вибрав товар А₂ стане як відповідний хід використовувати стратегію В_г чи В₂ він тільки поліпшить резуль­тат підприємця до М₂₁ = 8 чиМ₂₃ = 7 відповідно.

Приклад 25. Банк зацікавлений у покупці акцій деякого акціонерного товариства. Прагнучи зробити покупку як можна більш вигідною, банк постачає продавця інформацією про реаль­ну вартість акцій, що може бути як правдивою {А_}), так і свідомо помилковою (AJ.

Продавець може як повірити інформації (YJ, так і не на­дати їй значення (У₂).

Умови завдання можна представити у вигляді ігрової ма­триці (табл. 2.22), що містить дані про величину можливої ус­пішності угоди — приросту вартості стосовно вкладених коштів.

Таблиця 2.22 Матриця гри

Банк	Продавець акцій
Ві І В2 І «.і
Аі	0.608	1,000	0.608
А?	1.000	0.440	0.440
ft	1,000	1,000

Необхідно вибрати таку стратегію банку, при якій резуль­тат виявиться максимально можливим.

Розв язок

Виписуємо праворуч мінімуми рядків і з них вибираємо найбільший а₁ = 0,608 (відзначений зірочкою). Це нижня ціна гри чи максимін. Потім виписуємо внизу максимуми стовпців і з них вибираємо найменший Щ = fil = 1,000 (відзначені зірочкою). Це верхня ціна гри, чи мінімакс.

Оскільки гра не має сідлової точки {а *Р), оптимальний роз­в'язок в чистій стратегії неможливий. Вибір як вирішення ходу A_v що має найбільшу ефективність, як ми бачили вище (приклад 23),

Дата добавления: 2015-09-29