Визначити головні центральні моменти інерції та моменти опору поперечного перерізу складеної форми, схема якого показана на рис.1, побудувати еліпс інерції.

Приклад 1.

Визначити головні центральні моменти інерції та моменти опору поперечного перерізу складеної форми, схема якого показана на рис.1, побудувати еліпс інерції.

1. Визначення геометричних характеристик елементів перерізу відносно власних центральних осей.

Поперечний переріз (рис.1) складається з трьох елементів, для яких визначаємо площу, положення центру ваги і моменти інерції відносно власних центральних осей. Для кутика і швелера геометричні характеристики виписуємо з таблиць сортаменту (ГОСТ 8240-72 та ГОСТ 8509-72), для смуги – обчислюємо за формулами прямокутника:

а) смуга (прямокутник) 200х10 мм

б) кутик рівнобічний 75х5

, ,

в) швелер №18 (з нахилом внутрішніх граней полиць)

.

Загальна площа поперечного перерізу:

2. Визначення координат центру ваги перерізу.

Координати центру ваги визначаємо відносно початкових осей, за які зручно приймати центральні осі одного з елементів перерізу (наприклад, центральні осі смуги у₁, z₁).

Викреслюється в масштабі схема попечного перерізу, вказується положення центрів ваги і центральні осі кожного з елементів та виконується прив’язка (вказуються відстані) центрів ваги кожного з елементів відносно початкових осей (рис.2).

Координати центрів ваги елементів відносно початкових осей y₁, z₁:

Рис. 2. Визначення центру ваги перерізу

Координати центру ваги перерізу:

На схемі перерізу (рис. 2) від початкових осей відкладаємо координати центру ваги та і проводимо центральні осі.

Для перевірки правильності визначення положення центру ваги перерізу використовуємо умову рівності нулю статичного моменту площі перерізу відносно центральних осей.

Координати центрів ваги елементів відносно центральних осей:

Відносна похибка складає:

.

Відносна похибка складає:

.

3. Обчислення моментів інерції перерізу відносно центральних осей.

Осьові та відцентровий моменти інерції перерізу обчислюємо за формулами паралельного переносу (від власних центральних осей елементів до центральних осей всього перерізу):

4. Визначення положення головних центральних осей.

Положення головних центральних осей визначається кутом :

Проводимо головні осі перерізу u, v, повертаючи відповідно центральні осі у_с, та z_с на кут в додатному напрямку (проти руху годинникової стрілки) (рис. 3).

5. Обчислення головних центральних моментів інерції перерізу.

Рис. 3

а)

б)

в)

Перевіряємо умову інваріантності осьових моментів інерції:

6. Обчислення головних радіусів інерції та побудова еліпсу інерції перерізу.

На головних центральних осях інерції будується еліпс з центром в центрі ваги перерізу і півосями, що дорівнюють головним радіусам інерції (рис. 3). При цьому на осі и відкладають відрізки , а на осі v – .

7. Обчислення головних моментів опору перерізу.

По малюнку (рис. 3) визначаємо відстані від найбільш віддалених точок перерізу до осей и та v:

Знайдені відстані перевіряємо аналітично. Найбільш віддалена від осі v точка має координати (відносно центральних осей) . ЇЇ координата в головних осях:

Найбільш віддалена від осі и точка має координати (відносно центральних осей) . ЇЇ координата в головних осях:

Головні моменти опору перерізу:

;

.

Дата добавления: 2015-09-29