МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ, НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА БІОКІБЕРНЕТИКИ ТА АЕРОКОСМІЧНОЇ МЕДИЦИНИ
Домашня робота
З дисципліни: «Техніка експериментальних досліджень»
На тему: «Аналіз даних ЕЕГ – сигналів для інтерфейсів мозок – комп’ютер за допомогою спектрів вищих порядків»
Виконала:
студентка групи ІАСУ 513М
Сковрига О. І.
Перевірив:
асистент Булигіна О. В.
Київ – 2012
Зміст
1.Спектри вищих порядків для аналізу ЕЕГ сигналів інтерфейсів мозок- комп’ютер.
1.1.Спектри вищих порядків.
1.2. Зсув і дисперсія алгоритму оцінювання.
1.3. Переваги, які дає HOSA - аналіз для дослідження ЕЕГ сигналів мозок – комп’ютер.
2. Збір даних. Опис методики та виконання експерименту.
2.1. 1 – й тип: блок даних по двом змінним.
2.2 2 – й тип: блок даних дійсних і уявних рухів (4 змінних).
3.Побудова біспектру для даних ЕЕГ лівої і правої руки.
3.1.Оцінювання семіінваріантів.
3.2. Оцінювачі на основі критеріїв
3.3. Квадратичний фазовий зв’язок
4. Дослідження та аналіз сигналів уявних рухів.
5. Побудова біспектру із застосуванням функції для оцінки зведених статистик та побудови біспектру.
5.1. Застосування функції пошуку статистик до даних ЕЕГ лівої і правої руки.
5.2. Застосування функції пошуку статистик до ЕЕГ сигналу уявного руху правої руки назад.
5.3. Застосування функції пошуку статистик до ЕЕГ сигналу уявного руху лівої руки назад.
6. Висновки.
7. Література.
1.Спектри вищих порядків для аналізу ЕЕГ сигналів інтерфейсів мозок- комп’ютер
1.1.Спектри вищих порядків
Очевидно, що на практиці безпосередньому виміру піддаються середні відвипадкові величини або середні від їх функцій, тобто деякі моментні функції. Кумулянти ж, як показують співвідношення, які, з точки зору обчислення їх на практиці, можуть бути прийняті в якості визначення кумулянтів, для свого виміру вимагають відповідно додаткового, і в загальному випадку великого,числа моментів нижчих порядків. Що ж тоді спонукає нас при описі випадкових величин чи процесів дозволити підхід, заснований на аналізі їх кумулянтів перед методом,характеризує випадкові величини послідовністю їх моментів. Щоб відповісти на це питання необхідно зрозуміти статистичний зміст кумулянтів,що, природно, неможливо без опису їх найбільш загальних властивостей.
Для того щоб охарактеризувати негаусові складові, що містяться в ЕЕГ сигналах, був запропонований новий метод знаходження статистичних характеристик заснований на HOSA - аналізі, і застосовується для класифікації сигналів ЕЕГ для покращення систем інтерфейсів мозок-комп'ютер, що працюють на основі ЕЕГ.
При статистичному описі фізичних процесів або систем, для яких звичайна характерна кінцева пам'ять про минулі значеннях або станах, корисним, у порівнянні з моментами, є наступна властивість кумулянтів. Якщо випадковий процес X (T) володіє кінцевою довжиною статистичних зв'язків, тобто його значення Х(t1) і X(t2) стають статистично незалежні при | t1 - t2 | ®¥, то всякий кумулянт
á x (t 1),…, x (tn)ñ ®0 (| tk – tl | ® ¥),
Якщо хоча б для однієї пари часових аргументів | tk – tl | ® ¥. Наприклад,
á x [2](t 1), x [2](t 2)ñ ® 0, при | t 1 – t 2|®¥,
Тоді як для моменту
á x [2](t 1) x [2](t 2)ñ ®á x [2](t 1)ñá x [2](t 2)ñ при | t 1 – t 2|®¥.
Наведені вище міркування, що розкривають статистичний сенс кумулянтів як величин, що характеризують певні статистичні зв'язки і залежності,притаманні конкретним випадковим величинам або процесам, дають нам можливість розглядати кумулянти як ті незалежні елементи, з яких можна побудувати повний статистичний опис даного випадкового явища. Дійсно, з усіх найбільш відомих способів статистичного опису саме при кумулянтному описі окремі його елементи найменш залежні від інших, тому ступінь перекривання інформації, що міститься в різних кумулянтах, найменша.
Автокореляційна функція або послідовність стаціонарного процесу х (n),
визначається як:
(1-1)
де E {.} позначає оператор очікування. Спектр потужності
формально визначається як перетворення Фур'є (FT) автокорреляційної послідовності (теорема Вінера-Хінчина)
(1-2)
де f означає частоту. Еквівалентнt визначення:
(1-3)
де 
є перетворенням Фур'є х(n)
(1-4)
Достатня, але не обов'язкова, умова існування спектра потужності: автокореляція –така, що може обов’язково бути просумована. Спектр потужності приймає дійсні та невід’ємні значення, тобто 
якщо х(n) має дійсні значення, то спектр потужності також симетричний, тобто 
Як ми побачимо далі, вищі моменти є природним узагальненням
автокореляції і кумулянти - конкретні нелінійні комбінації цих
моментів.
Першого порядку кумулянти стаціонарного процесу є середнім, C 1 x:= E { x (t)}. Вищих порядків кумулянти - інваріантні до зсуву середнього, отже, зручно визначити їх в припущенні нульового середнього, якщо процес має ненульове середнє, значить, ми віднімаємо середнє, а потім застосовуємо такі визначення до результуючого процесу. Другого, третього і четвертого порядків семі інваріанти з нульовим середнім стаціонарним процесом визначаються в [4].
C 2 x (k) = E { x *(n) x (n + k)} (1-5)
C 3 x (k, l) = E { x *(n) x (n + k) x (n + l)} (1-6)
C 4 x (k, l, m) = E { x *(n) x (n + k) x (n + l) x *(n + m)}-
– C 2 x (k) C 2 x (l – m) – C 2 x (l) C 2 x (k – m)
– (m) M 2 x (k – l) (1-7)
де M2x (m) = E { x (n) x (n + m)} і дорівнює C2x (m), для процесу, що має дійсні значення.
Першого порядку кумулянти є середнім арифметичним процесу та другого порядку кумулянти є автоковаріаційними послідовностями. Зазначимо, що для складних процесів, є кілька способів визначення кумулянтів залежно від того, що поєднане.
Кумулянти з нульовою затримкою мають спеціальні назви: C2x (0) - дисперсіїя і звичайно позначається 
C 3 x (0,0) і C4x (0,0,0) як правило, позначаються 
і 
Ми будемо називати нормовані величини: 
- асиметрією, 
- ексцесом. Ці нормованої величини - одночасно інваріанти і зсуву і масштабу. Якщо x (n) симетрично розподіленй, його ассиметрія обов'язково рівна нулю (але не навпаки), якщо x (n) - має гаусовий розподіл, його ексцес обов'язково рівний нулю (але не навпаки). Часто терміни асиметрії та ексцесу використовується для позначення
ненормованих величин і .
Якщо х (n) є i.i.d. процеси його кумулянтов відмінні від нуля лише в початку координат. Якщо х (n) статистично не залежить від y (n), і z (n) = x (n) + y (n), то
C 4 z (k, l, m) = C 4 x (k, l, m) + C 4 y (k, l, m),
з подібними зв’язками для кумулянтів всіх порядків. Це властивість адитивності спрощує аналіз, що базується на кумулянтах.
Кумулянти стаціонарних, дійсних значень процесів є симетричними в своїх аргументах, тобто
C 2 x (k) = C 2 x (– k)
C 3 x (k, l) = C 3 x (l, k) = C 3 x (– k, l – k)
C 4 x (k, l, m) = C 4 x (l, k, m) = C 4 x (k, m, l) = C 4 x (– k, l – k, m – k)
Таким чином, фундаментальна область значень -це не вся k -D площина. Наприклад, для к = 2, C 2 x (k), k. 0, визначає C 2 x (k) у всьому світі. Легко показати,що ненадлишковиа область C 3 x (k,l) є клином
А для 
це конус
Поліспектр к-го порядку визначається як перетворення Фур’є відповідної кумулянтної послідовності:
Які, відповідно спектром потужності, біспектром та триспектром. Зверніть увагу, що біспектр є функцією двох частот, в той час як триспектр є функцією трьох частот. На відміну від спектру потужності, який є спектром дійсних значень, да додатнім, біспектр та триспектр є спектрами комплексних значень.
Для процесу,що приймає дійсні значення, симетричні властивості кумулянтів переходять у симетр. властивості поліспектру. Спектр потужності – симетричний: 
Симетричні властивості біспектру подані в [56]:
Отже, не надлишкова область значень буспектру це трикутник з векторів (0,0), (1/3,1/3) and (1/2,0); нагадаємо, що ми прийняли нормалізовану частоту дискретизації 1 Гц.
Властивості симетрії триспектру включають в себе:
Література є дещо незрозумілою як в доведенні, так і в Ооисі ненадлишкових областей. Ненадлишкові області, для процесів, які постійні за часом, з обмеженою смугою пропускання, з частотою Найквіста 0,5 Гц, є трикутниками з вершинами (0,0), (1/4, 1/4), (1/2, 0). Посібник з відмінностей між випадками безперервними за часом і дискретними за часом дається в [47], пов'язані обговорення можна знайти в [63]. Ненадлишкові області триспектру обговорюється в [6, 9, 47].
Подібно до крос-кореляції, ми можемо також визначити поперечні кумулянти, наприклад, 
Поперечний біспектр визначається 
Зверніть увагу, що біспектр 
є окремим випадком поперечного біспектру отриманого за умови х = у = Z.
Поперечна бікогерентність - інша прикладна статистика, яка визначається як 
квадратичний нормалізований біспектр
Наприклад, біспектр 
, ф перетворення та комплексна згортка, недостатньо спроможна оцінка
(Sigl & Chamoun 1994)
В фізиці плазми використовують 
Найбільш прийнятна формула (Hagihira 2001 and Hayashi 2007):
Автобікогерентність отримується, коли х = у = Z. М-файл bicoherx може бути використаний для оцінки поперечної бікогерентності та когерентності.
Поперечна бікогерентність з трьох процесів визначається
і є коректним, тільки якщо 
відмінней від нуля в усьому діапазоні.
Навіщо потрібні статистики вищого порядку?
Причиною використання кумулянтів і поліспектру порядку к> 2 дається наступним виразом (m k = (m 1..., mk -1)):
• Якщо z (n) = x (n) + y (n), і x (n) and y (n) є незалежними один від одного
процесами, то 
• Якщо x (n) є гауссовським, то 
• Таким чином, якщо z (n) = x (n) + w (n), де w (n) є гауссовським і не залежним від x (n) то для к> 2, 
. Таким чином, ми можемо відновити більш високого порядку кумулянти негауссовського сигналу навіть за наявності кольорового гаусівсбкого шуму.
• Нехай x (n) є лінійним процесом, тобто 
де u (n) – це i.i.d. процес. Тоді, випливає, що:
Де 
Зауважимо, що спектр потужності не несе жодної інформації про фазу H (¦). Напротивагу, якщо u (n) – не гаусів, то ця інформація про фазу може бути відновлена зі поліспектру вищих порядків. Таким чином, стандартне мінімально-фазове припущення, яке необхідне, коли процес гаусів або статистики тільки другого порядку, які використовуються, можуть бути видалені.
• Будь-який процес завжди можна розглядати як лінійний процес щодо його статистик другого порядку, тобто, враховуючи 
, ми завжди зможемо знайти 
і некорельований процес u (n), такий що, 
де 
Іншими словами, автокореляційна послідовність не може дати жодних доказів нелінійності. І навпаки, кумулянти більш високого порядку можуть говорити про нелінійність.
• Процеси вигляду 
, де фаза - многочлен часу t, називаються поліноміальними процеси фази; перетворення Фур’є таких процесів, як правило, прямі лінії, в той час як визначені відповідно частини спектру вищого порядку дають структуру, що дозволяє оцінити р і 
Підводячи підсумок, кумулянти є зручними:
(1) якщо адитивний шум є гаусовим, а сигнал - ні,
(2) лінійна система не є мінімально фазовою (тобто, змішаної фази), або
(3) процес носить нелінійний характер.
1.2. Зсув і дисперсія алгоритму оцінювання
На практиці, при оцінці семіінваріантів і поліспектру використовуємо дані. Ці оцінки є самі по собі, випадковими, і характеризуються своїм зсувом і дисперсією. Нехай x (n) позначає стаціонарний процес, ми вважаємо, що всі відповідні статистики існують і мають кінцеві значення. Позначимо через S деякі статистики, засновані на x (n). Нехай 
позначає оцінку статистики на основі N спостережень, 
Оскільки x (n) є випадковим процесом, оцінка є також випадковою, очевидно, не буде рівна s.
Оцінка - хороша, якщо знаходиться "поруч" з s. Це поняття уточнюється шляхом застосування понять зсуву і спроможності.
Зсув оцінки визначається як 
, оцінка називається незсуненою, якщо зсув дорівнює нулю, тобто
Часто це справедливо тільки в цьому випадку, якщо 
, в кожному випадку коли оцінка вважається асимптотично незсуненою.
Зсув, сам по собі, не в повній мірі характеризує оцінку. Якщо оцінка хороша, ми очікуємо, що буде приймати значення навколо істинного значення s. Природною мірою розкиду -це квадратне відхилення навколо істинного значення s
Оцінка називається (асимптотично) спроможною, якщо квадратичне відхилення прамує до нуля, так як 
Цей стан іноді називають середньоквадратично спроможною. Спроможна оцінка обов'язково має бути (асимптотично) незсуненою.
Спроможна оцінка в математичній статистиці – це точкова оцінка, що збігається за ймовірністю до оцінюваного параметра.
1.3. Переваги, що дає HOSA - аналіз для дослідження ЕЕГ сигналів мозок – комп’ютер.
Гаусовість(Gaussianality) і умова мінімальної фази(minimum-phase) в ЕЕГ сигналах, тобто амплітуди ЕЕГ сигналів розподілені за нормальним законом, їх статистичні властивості не змінюються з плином часу, і їх частотні компоненти не корельовані.
При цих припущеннях сигнал ЕЕГ розглядається як лінійне накладення статистично незалежних синусоїдальних або інших хвильових компонентів, і тільки оцінки частоти і потужності враховуються, в той час як фазова інформація, як правило, ігнорується. У дійсності, однак, ЕЕГ сигнали генеруються типовою нелінійною системою, що складається з, наприклад, пост-синаптичних нейронів, чиї потенціали дії засновані на тому, що мембранний потенціал більше порогового значення. Таким чином, ЕЕГ сигнали матимуть багато синусоїдальних компонентів різних частот, взаємодіючих нелінійно, і виробляючи один або кілька синусоїдальних складових на сумарних та різницевих частотах [18], які не можуть бути повністю охарактеризовані автокореляційноюї функцією, як це робиться AR моделями або PSD методами оцінки.
Визначення та властивості кумулянт третього порядку і біспектру
Для негауссового стаціонарного випадкового процесу {X (T)} третього порядку його кумулянти третього порядку в дискретній формі визначаються виразом:
де E - очікування над процесом помножується на 2 версії запізнення цього ж процесу. Відповідний біспектр визначається як 2D перетворення Фур'є кумулянт третього порядку:
Якщо випадковий процес x(t) є гаусовим, то 
таким чином, негаусів процес може бути виявлений цією
властивістю. Якщо 
де W (T) - гаусів і не залежить від X (T), то 
Тому, кольоровий або білий шум пригнічуються і біспектр негаусового сигналу
може бути відновлений. При використанні статистик високого порядку, припущення мінімальної фази, яке необхідне коли процес характеризується лінійною моделлю, заснованою на гаусовості або використовуються статистики тільки другого порядку, може бути видалене. Крім того, кумулянти більш високого порядку можуть свідчити про нелінійність, в той час як автокореляційна послідовність - ні. Ці властивості були б дуже корисні в якості функцій для класифікації ЕЕГ сигналу.
2.Збір даних. Опис методики та виконання експерименту.
2.1. 1 – й тип: блок даних по двом змінним.
ЕЕГ складається з фактичних випадкових рухів лівої(left), i правої руки(right), записані з закритими очима. Кожен рядок представляє собою один електрод. Порядок електродів FP1 FP2 F3 F4 C3 C4 P3 P4 O1 O2 F7 F8 T3 T4 T5 T6 ФЗ CZ PZ. Запис було зроблено на 500 Гц з використанням «Neurofax ЕЕГ», яка використовує ланцюжок монтажу. Ці дані були експортовані із загальним опорним використанням Eemagine ЕЕГ. AC лінії в цій країні працюють на частоті 50 Гц.
Рис.1 1 – й тип даних із двох змінних.
Електроди розташовувалися на поверхні голови відповідно з міжнародною системою «10-20» у відведеннях Fp1; Fp2; F7, F3, Fz, F4, F8;T3, C3, Cz, С4, Т4; T5, P3, Pz, P4, T6, O1, O2. Референтні електроди розташовувалися на мочках вух, заземлюючий - у відведенні FPZ. Опір електродів не перевищував 5 кОм. Частота оцифровки ЕЕГ становила 500 Гц, смуга пропускання 0,5 - 30 Гц. Одночасно використовувалися такі критерії як: відхилення потенціала від ізолінії перевищує 75 мкВ, відхилення низькочастотної складової сигналу 0-1 Гц, відхилення високочастотної складової сигналу 20-35 Гц, що перевищує 35 мкВ.
В даний час більшість існуючих схем для розрахунку ЕЕГ параметрів(характеристик) - на основі авторегресійних моделей або адаптивних моделей AR (AAR) та спектральній щільності потужності (PSD). В практиці, фізіологічно значущі функції ЕЕГ можуть бути отримані з різних частотних діапазонів, записаних ЕЕГ-сигналів. McFarland і співавтори повідомляють, що сигнали уявних рухів відображені в β-ритмі (13-22 Гц). Pfurtscheller показав, що амплітуди µ(8-13 Гц) і/або β-ритмів можуть служити ефективним входом BCI для розрізнення уявлень руху. Moon і співавт. використовували алгоритм згладжування для потужності в полосі α-µ (8-13 Гц) і тета-групи (5-7 Гц) частот кривої ЕЕГ і дисперсію ширини імпульсу отриманого з кривої ЕКГ, для створення своїх відповідних кривих, тоді три відповідні параметри застосовуються до «невизначеної» системи для оцінки розумового навантаження. Однак, традиційні методи виділення параметрів на основі AR моделей і PSD припускають лінійність.
2.2. 2 – й тип: блок даних дійсних і уявних руків (4 змінних).
Набір складається з наступного архіву даних:
Рис.2 Робоче поле набору даних 2-го типу
LeftBackward 1,2,3 – фактичні рухи лівої руки з закритими очима.
LeftBackwardImagined
LeftForwardImagined
RightBackwardImagined
RightForwardImagined - – уявні рухи вперед, назад.
3.Побудова біспектру для змінних left і right
3.1.Оцінювання семі інваріантів
На практиці, у нас є обмежена кількість даних 
, і ми повинні отримати спроможні оцінки кумулянтів. Оцінки вибірки:
де N1 і N2 вибрані так, що підсумовування включають тільки x (n)’s з n I [0, N – 1]; незсунені оцінки одержимо, якщо 
встановлюється рівним фактичному числу членів, які усереднюються, наприклад
Зазвичай ми встановлюємо 
на N і отримуємо оцінки, які є асимптотично незміщеними. Автокумулянти одержуємо, коли 
. Ці оцінки, як відомо,бутуть послідовними за умови процесу х (n) задовольняти деяким умовам слабкого перемішування [5]. Наприклад, для великих N, дисперсія оцінки вибірки перехресного кумулянта третього порядку дається 
де з кінцевою константою, яка залежить від авто-і крос-моментів (кумулянтів) порядку від 1 до 6 процесів х (n), у (n) і z (n). Ці визначення припускають, що процеси нульові середні, на практиці,вибіркове середнє видаляється першим. Процедури cum2x, cum3x і cum4x можуть бути використані для оцінки перехресних кумулянтів порядків 2, 3 і 4; cumest може бути використаний для оцінки автокумулянтів.
Припусмо, що left і right – змінна розміром 19х51 - негаусів ARMA процес, а потім оцінимо його кумулянти
n=25
y=filter([1,-2], [1,-1.5,0.8], left);
for k=-n:n;
cmat(:,k+n+1)=cumest(y+ left,3,n,128,0,'biased',k);
end
subplot(1,2,1), mesh(-n:n,-n:n,cmat)
subplot(1,2,2),contour(-n:n,-n:n,cmat,8)
Рис. 3 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (left - змінна розміром 19х51).
Рис. 4 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (right - змінна розміром 19х51).
Часові серії у поділено на сегменти по 128 відліків кожен, без перекриття; зміщені оцінки семіінваріанівв третього порядку отримуються з кожного сегмента і потім усереднюються, (i,j) –елемент функції cmat буде містити оцінку 
для 
Можна використовувати функцію cumtrue для розрахунку і відображення кумулянтів.
Графік на рис. показує основну симетрію кумулянтів третього порядку, а саме 
Інші властивості симетрії можуть бути перевірені за допомогою ф-ї cumtrue щоб оцінити істинні значення кумулянтів лінійного процесу.
3.2. Оцінювачі на основі критеріїв
FT, на частоті w o, може розглядатися як фільтр, який пропускає тільки компоненти з частотою w o, придушуючи інші. При даних кінцевої довжини, однак, спектральна оцінка страждає від проблем витоку «бічних пелюсток» (з деталями, що залежатимуть від вибору функції вікна).
Розглянемо кінцеву імпульсну характеристику(FIR) фільтра довжиною р,
де вхідний 
вважається нульовим середнім. Дисперсія виходу фільтра
дається:
де 
і 
це 
автокорреляційна матриця.
Ми хотіли б, позначити дисперсію 
мірою потужності спектральної
Щільності x (n) при частоті ¦ o. Крім того, FIR фільтри повинні пропускати
синусоїди на частоті ¦ o. з коефіцієнтом посилення єдності і, отже, у нас є обмеження,
Ми також хочемо звести до мінімуму внесок від синусоїд з частотами, відмінними від частоті ¦ o., це може бути досягнуто за рахунок мінімізації вихідної дисперсії (1-152) з урахуванням обмежень в (1-153). В результаті оцінка
де 
Ця оцінка, яку називають по-різному:
Максимальної правдоподібності Капона або оцінкою дисперсії мінімальних спотворень [8, 27], не є істинною оцінкою спектральної щільності.
Наприклад, якщо x (n) складається з гармонік на частоті ¦ o і потужності Р, яка
спостерігається в білому шумі з дисперсією 
, то
де р-число автокореляційних затимок, що використовується; зверніть увагу, що потужність шуму Вклад був зменшений з коефіцієнтом р. Роздільна здатність цього
оцінки, як повідомляється в [27]
де SNR є відношеням сигнал-шум (відношення дисперсії сигналу до дисперсії шуму), а р-довжина автокореляційної послідовності. Ця оцінка
здійснюється в harmest і doa.
Спектральна оцінка максимальної ентропії Бурга заснована на наявності
точно відомих затримок автокореляції, (в кожному випадку
гаусова PDF(probability density function - функція щільності ймовірностей) і AR(p) модель отримана для процесу x (n)). trench може бути використана для оцінки параметрів моделі AR. Роздільна здатність
Для 
максимальна оцінка ентропії кращу роздільну здатність, ніж це робить оцінка максимальної правдоподібності Капона, які в свою чергу краща, ніж оцінки Блекмана-Тьюкі.
Семіінваріанти четвертого порядку задаються так:
Зокрема, діагональний зріз задається:
Якщо w (n) є гаусовським, то 
Якщо 
- i.i.d. негаусів, то
є дельта-функцією в початку координат. Зауважимо, що при 
- гаусовому або i.i.d. негаусовому, схожий до автокорреляційної послідовності безшумного сигналу. Отже, всі аналізи, засновані на автокорреляції переносяться на кумулянти четвертого порядку. Зокрема, розвиток спектральних оцінок: «Власних векторів», Писаренка, ML-Capon, AR, MUSIC,, Мін-норми, і beamformer, які засновані на статистиках другого порядку, також можуть бути засновані на статистиках четвертого порядку. Точно так само ми можемо грунтувати ESPRIT на матриці перехресних кумулянтів четвертого порядку. Четвертого порядку статистики найбільш корисні коли аддитивний шум є вузькосмуговим шумом Гаусса.
harmest реалізує алгоритми для проблеми гармонійного пошуку:
оцінює спектр за використання власних векторів, MUSIC, Писаренка, ML, і AR
алгоритмів, заснованих на діагональному зрізі кумулянтів четвертого порядку.
doa реалізує алгоритми такої задачі: оцінює ангулярний спектр використовуючи власні вектори, MUSIC, Писаренка, ML-Capon, ML, і AR алгоритми, засновані на діагональному зрізі кумулянтів четвертого порядку. doa реалізує відповідні алгоритми
на основі статистик другого порядку, і реалізує ESPRIT.
Pxx=harmest(змінна,12,6,'unbiased',256,2);
function [Pxx,ar1,ar2] = harmest(y,maxlag,p_order,flag,nfft,norder)
%HARMEST Frequencies of harmonics in colored Gaussian noise.
% [Pxx,ar1,ar2] = harmest(y,maxlag,p_order,flag,nfft,norder)
% y - data matrix [nsamp x nrecs]
% maxlag - number of cumulant lags to compute [default = nsamp/12]
% p_order - order to use (dimension of signal subspace)
% user will be prompted if p_order <= 0
% flag - 'biased' or 'unbiased'
% nfft - fft length for spectra [default = 256]
% norder - cumulant order to use: 2 or 4 [default = 4]
%
% Pxx - a nfft x 7 matrix of spectral estimates
% ar1 - estimated parameters for the AR method.
% ar2 - estimated parameters for the min-norm method
%
% The seven columns of Pxx contain the spectral estimates based on
% the Eigenvector, Music, Pisarenko, ML, AR, periodogram methods,
% and the minimum-norm method.
[nsamp,nrecs] = size(y);
if (nsamp == 1) nsamp = nrecs; nrecs = 1; y = y(:); end
if (exist('p_order') ~=1) p_order = 0; end
if (exist('flag') ~= 1) flag = 'biased'; end
if (flag(1) ~= 'b') flag = 'unbiased'; end
if (exist('maxlag') ~= 1) maxlag = nsamp/12; end
if (exist('nfft') ~= 1) nfft = 256; end
if (exist('norder') ~= 1) norder = 4; end
if (norder ~= 2 & norder ~= 4)
error('cumulant order - norder - should be 2 or 4')
end
Pxx = zeros(nfft,7);
% ------------ estimate second/fourth-order cumulants --------------
if (norder == 4)
M = maxlag;
cum_4y = cumest(y,4,M,nsamp,0,flag,0,0);
cum_4y = (cum_4y(M+1:2*M+1) + conj(cum_4y(M+1:-1:1)))/2;
cum_4y = cum_4y/cum_4y(1);
Amat = toeplitz(conj(cum_4y),cum_4y);
else
Amat = zeros(maxlag+1,maxlag+1);
ind = [0:-1:-maxlag];
for n=maxlag+1:nsamp
xf = y(n+ind,:);
xb = conj(flipud(xf));
Amat = Amat + xf * xf' + xb * xb';
end
mu = mean(mean(y));
Amat = Amat - mu*mu'; % remove mean
Amat = Amat / (nrecs*(nsamp-maxlag));
end
[U,S,V] = svd(Amat); sval = diag(S);
% ----------- how many harmonics? -------------------------
hold off, clf,
set(gcf,'Name',...
['Hosa HARMEST - cum-order=', int2str(norder)])
ls = length(sval);
plot(1:ls, sval,'-', 1:ls,sval,'go'), grid on
title(['sval: cum-',int2str(norder)])
drawnow
p = p_order;
while (p <= 0 | p > ls)
p = input([' enter order to use [1,' int2str(ls) '] ---> ']);
if (isempty(p)) p = 0; end
end
% ---------- Noise subspace methods --------------
M = maxlag+1;
nvec = M - p; mfft = nfft/2;
wte = ones(nvec,1)./ sval(p+1:M);
Pvm = V(:,p+1:M) * V(:,p+1:M)';
Pve = V(:,p+1:M) * diag(wte) * V(:,p+1:M)';
psum = zeros(nfft,2);
psum(1,1) = sum(diag(Pve));
psum(1,2) = sum(diag(Pvm));
for k=1:maxlag
psum(k+1,1) = sum(diag(Pve,k));
psum(nfft-k+1,1) = sum(diag(Pve,-k));
psum(k+1,2) = sum(diag(Pvm,k));
psum(nfft-k+1,2) = sum(diag(Pvm,-k));
end
Pxx(:,1:2) = ones(nfft,2)./ real(fft(psum,nfft));
[u1,s1,v1] = svd(Amat(1:p+1,1:p+1)); v1 = v1(:,p+1);
Pxx(:,3) = ones(nfft,1)./ abs(fft(conj(v1),nfft)).^2;
% ------------ signal subspace method -----------------------------
% mlcapon
for k=1:p
Pxx(:,4) = Pxx(:,4) + abs(fft(conj(V(:,k))/sqrt(sval(k)),nfft)).^ 2;
end
% --------- AR method -----------------------------------------------
% --------- SVD low-rank approximation (a la Cadzow) ----------------
Amat = U(:,1:p) * diag(sval(1:p)) * (V(:,1:p))';
Ahat = [];
[m,n] = size(U);
for k=p+1:n
Ahat = [Ahat; Amat(:,k-p:k)];
end
% force unity modulus solution
avec = [1; -Ahat(:,2:p+1) \ Ahat(:,1)];
avec = conj(avec);
if (exist('debug') == 1)
ncol = floor((p+2)/2);
nflip = floor((p+1)/2);
Ahat(:,1:nflip) = Ahat(:,1:nflip) + Ahat(:,p+1:-1:p+2-nflip);
avec = Ahat(:,2:ncol) \ Ahat(:,1);
avec = [1; -avec];
avec = [avec; avec(nflip:-1:1)];
end
ar1 = avec;
Pxx(:,5) = ones(nfft,1)./ abs(fft(avec,nfft)).^2;
% ----------- The periodogram estimate ----------------------
ind = [1:nsamp]';
for k=1:nrecs
ys = y(ind);
ys = ys - mean(ys);
Yf = fft(ys,nfft) / nsamp;
Pxx(:,6) = Pxx(:,6) + Yf.* conj(Yf);
ind = ind + nsamp;
end
Pxx(:,6) = Pxx(:,6) / nrecs;
Pxx(1,6) = Pxx(2,6); % dynamic range problems, else
% ----------------- Minimum-norm method -------------------
gvec = U(1,1:p).';
gmat = U(2:length(sval),1:p);
ar2 = [1; - conj(gmat) * gvec / (1 - gvec' * gvec)];
Pxx(:,7) = fft(ar2, nfft);
Pxx(:,7) = ones(nfft,1)./ (Pxx(:,7).* conj(Pxx(:,7)));
% ----------- Display estimates ---------------------
waxis = [-mfft:mfft-1]/nfft;
Pxx = Pxx([mfft+1:nfft,1:mfft],:);
% - scale to max abs of unity for plots only
spmax = max(Pxx);
spmax = ones(1,length(spmax))./ spmax;
clf,
subplot(421), plot(1:ls, sval,'-', 1:ls,sval,'g.'), grid on
title(['sval: cum-',int2str(norder)])
subplot(422), plot(waxis,10*log10(Pxx(:,6)*spmax(6))), title('pxx'),grid on
subplot(423), plot(waxis,10*log10(Pxx(:,1)*spmax(1))), ylabel('eig'),grid on
subplot(424), plot(waxis,10*log10(Pxx(:,2)*spmax(2))), ylabel('music'),grid on
subplot(425), plot(waxis,10*log10(Pxx(:,3)*spmax(3))), ylabel('pisar'),grid on
subplot(426), plot(waxis,10*log10(Pxx(:,4)*spmax(4))), ylabel('ml'),grid on
subplot(427), plot(waxis,10*log10(Pxx(:,5)*spmax(5))), ylabel('ar'),grid on
subplot(428), plot(waxis,10*log10(Pxx(:,7)*spmax(7))), ylabel('min-norm'),
grid on
return
Pxx=harmest(right,12,6,'unbiased',256,2);
Pxx=harmest(left,12,6,'unbiased',256,2);
Рис. 5 Сингулярні значення матриці кумулянтів та оцінка спектру (harmest)
Дані складаються з двох реальних гармонік однакової амплітуди, забруднені кольоровим гаусовим шумом з дисперсією 0.5; спектр шуму має полюс на 0,15 Гц, коефіцієнт загасання 0,9.
3.3. Квадратичний фазовий зв’язок
Фаз. зв'язок існує за рахунок нелінійних взаємодій між гармонійними компонентами. Три гармоніки з частотами ¦ k і фазами f k, k = 1,2,3 - вважаються квадратично пов'язаними, якщо ¦3 = ¦1 + ¦2 і f3 = f1 + f2. Квадратичний фазовий зв’язок (зв'язок у сумі та різниці частот) присутній тоді, коли Сигнал передається через пристрій зведення до квадрат, наприклад, і можуть бути виявлені
з біспектру.
Розглянемо сигнал х (п), яка являє собою суміш гармонік з незалежними фазами, та квадратично пов'язаними синусоїдами, тобто
Де 
¦’s - всі різні, і 
, і 
- всі i.i.d.(identically distributed random variables рівномірно розподілені випадкові величини) і рівномірно розподілені на 
Потім, третього порядку кумулянт процесу x (n) має вигляд [66]
А діагональний зріз 
має вигляд:
2-D FT для (1-164) дає біспектр
Очевидно, що статистично значима(визначена)(не надлишкова) область біспектру дає піки тільки
на фазі і частотіи зв'язаних bifrequencies(бічастот) 
. FT діагонального зрізу в (1-165), з іншого боку, дає піки на кожній з трьох частот, які беруть участь у фазовому-зв'язку.
Розглянемо () з Nq = 1. Опускаючи непотрібні індекси, маємо
де 
Зазначимо, що діагонал. зріз кумулянта третього порядку виражений у вигляді суми трьох гармонік. Опираючись на матеріал з моделі AR
для гармонік, відзначимо, що C 3 x (t,t) задовольняє само-керовані AR(6) моделі, чиї корені: exp(± j 2p¦ k), k = 1, 2, 3., к = 1, 2, 3. Якщо оцінити многочлен АR, ми можемо обчислити параметричний біспектр
Оцінка Параметричного біспектру здійснюється в qpctor.
Графіки сингулярних значень
Рис.6 Оцінка Параметричного біспектру: [arvec,bspec]=qpctor(left,18,12);
Рис.7 Оцінка Параметричного біспектру: [arvec,bspec]=qpctor(right,18,12);
Зауважимо, що ¦1 + ¦2» 0.25, що відповідає третьому піку в амплітуді спектру, так що ми можемо зробити висновок, що три з чотирьох гармонік - квадратично пов'язані за фазою.
Графік сингулярних значень показує шість значних сингулярних значень, відповідних одному квадратично поєднаному триплету, як і у випадку спектра потужності (гармоніки з шумом), переоцінка (перебільшення) числа гармонік зазвичай призводить до кращого результату, в даному випадку ми використовували AR порядку 12.
Рис.8 Оцінка Параметричного біспектру: [arvec,bspec]=qpctor(LeftBackwardImagined,18,12); Maximum of bispectrum: B(0,0) = 16285631.0028
Рис.9 Оцінка Параметричного біспектру: [arvec,bspec]=qpctor(RightBackwardImagined,18,12)/ Maximum of bispectrum: B(0,0) = 182719254.6834
4. Дослідження та аналіз сигналів уявних рухів.
RightBackwardImagined -уявний рух павої руки назад:
n=25
y=filter([1,-2], [1,-1.5,0.8],RightBackwardImagined);
for k=-n:n;
cmat(:,k+n+1)=cumest(y+RightBackwardImagined,3,n,128,0,'biased',k);
end
subplot(1,2,1), mesh(-n:n,-n:n,cmat)
subplot(1,2,2),contour(-n:n,-n:n,cmat,8)
Рис. 10 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (RightBackwardImagined).
LeftBackward1- дійсний рух правої руки:
n=25
y=filter([1,-2], [1,-1.5,0.8],LeftBackward1);
for k=-n:n;
cmat(:,k+n+1)=cumest(y+LeftBackward1,3,n,128,0,'biased',k);
end
subplot(1,2,1), mesh(-n:n,-n:n,cmat)
subplot(1,2,2),contour(-n:n,-n:n,cmat,8)
Рис. 11 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (LeftBackward1).
LeftLeg – ліва нога:
Рис. 12 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (LeftLeg – ліва нога).
Рис. 13 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (RightLeg - права нога).
Рис. 14 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (LeftForwardImagined - уявний рух лівої руки вперед).
Рис. 15 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (RightForwardImagined - уявний рух лівої руки вперед).
Рис. 16 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (LeftForward2 - дійсний рух лівої руки вперед).
Рис. 17 Оцінки кумулянтів третього порядку процесу ARMA для досліджуваного сигналу ЕЕГ (RightForward2 - дійсний рух правої руки вперед).
5. Побудова біспектру із застосуванням функції для оцінки зведених статистик та побудови біспектру.
Ми використовували glstat для перевірки на гаусовість і лінійність. Ймовірність того, що гіпотеза про негаусовість хибна = 0 (PFA - probability of false alarm), тобто ми практично впевнені, що дані мають ненульовий біспектр, таким чином, тест показує, що дані негаусові, як і очікувалося (нагадаємо, що Гістограма показує, що одновимірна PFA є негаусовою, і що асиметрія становить близько одиниці). Оцінені і теоретичні значення R, відстань між квартилями оцінених значень бікогерентності значно відрізняються, що видно на графіках.
Диференціація (Різницювання) даних- стандартний прийом в досліденні-аналізі даних, ми можемо використовувати функцію MATLAB diff для обчислення різниць першого порядку.
Графік сингулярних значень(harmest) вказує на чотири або шість значних сингулярних значень, р = 6, отримано спектри потужності показані на інших панелях. Знову ж таки,
використовуючи roots, ми оцінюємо періоди (AR метод).
Наведемо алгоритм функції пошуку статистик 2, 4 або 6 порядку:
% A. Swami April 15, 1995
% Copyright (c) 1991-2001 by United Signals & Systems, Inc.
% $Revision: 1.6 $
% RESTRICTED RIGHTS LEGEND
% Use, duplication, or disclosure by the Government is subject to
% restrictions as set forth in subparagraph (c) (1) (ii) of the
% Rights in Technical Data and Computer Software clause of DFARS
% 252.227-7013.
% Manufacturer: United Signals & Systems, Inc., P.O. Box 2374,
% Culver City, California 90231.
%
% This material may be reproduced by or for the U.S. Government pursuant
% to the copyright license under the clause at DFARS 252.227-7013.
clear,
echo on
load left.mat
sp = left(:,2);
figno(1) = gcf;
clc
subplot(211), plot(1:length(sp),sp), grid on
subplot(212), hist(sp),
set(gcf,'Name','left data')
%Hit any key to continue
pause
% These are the Canadian lynx data, counts for years 1821-1934
% these data are all positive valued
% differencing the data is useful in such cases
% The histogram (univariate) is almost symmetric, but the data have
% non-zero bispectrum.
sp = diff(sp);
sp_txt = 'left data (differenced)';
ex_eda
echo on
% End of lynx-data demo
% Hit any key to clear all plots, and return to previous menu
pause
echo off
for k=1:length(figno)
close(figno(k)) % figno has figure numbers returned by ex_eda
end
clear figno
return
5.1. Застосування функції пошуку статистик до ЕЕГ сигналів left і right
ЕЕГ – сигнал left
Застосуємо дану функцію до ЕЕГ сигналів left і right (аналогічно):
load left.mat
sp=lynx(:,2);
eda(sp);
eda(diff(sp))
Отримуємо
Рис. 18 Гістограма та оцінки параметричного біспектру Left за допомогою використання алгоритмів для оцінки АР параметрів: ESPRIT, мінімальної норми, Писаренка, MUSIC, та стандартних АР-коефіцієнтів.
Test statistic for Gaussianity is 11.5649 with df = 6, Pfa = 0.0717
glstat: cparm (0.51) is too large or nfft (18) is too small
estimated interquartile range (R) set to NaN
Linearity test: R (estimated) = NaN, lambda = 2.2849, R (theory) = 4.399, N = 0
% If the PFA is very small, the data are consistent with the hypothesis of
% non-zero bispectrum. If, in addition, the estimated and theoretical values
% of 'R' are very different from one another, then, the linearity hypothesis
% must be rejected.
% -------- the bispectrum
figure
figno(length(figno)+1) = gcf;
[Bspec, w] = bispeci(sp, clags);
Warning: Could not find an exact (case-sensitive) match for 'bispeci'.
G:\12345\Новая папка\BISPECI.M is a case-insensitive match and will be used instead.
You can improve the performance of your code by using exact
name matches and we therefore recommend that you update your
usage accordingly. Alternatively, you can disable this warning using
warning('off','MATLAB:dispatcher:InexactCaseMatch').
This warning will become an error in future releases.
> In EX_EDA at 85
In EX_LYNX at 44
echo off
Hit any key to continue
(left)
Рис. 19 Біспектр для сигналу left.
ЕЕГ – сигнал right
clear,
echo on
load right.mat
sp = right(:,2);
figno(1) = gcf;
clc
subplot(211), plot(1:length(sp),sp), grid on
subplot(212), hist(sp),
set(gcf,'Name','right data')
%Hit any key to continue
pause
sp = diff(sp);
sp_txt = 'right data (differenced)';
ex_eda
echo on
% End of lynx-data demo
% Hit any key to clear all plots, and return to previous menu
pause
echo off
for k=1:length(figno)
close(figno(k)) % figno has figure numbers returned by ex_eda
end
clear figno
return
Рис. 20 Сигнал і гістограма right
load right.mat
sp=lynx(:,2);
eda(sp);
eda(diff(sp));
% The histogram (univariate) is almost symmetric, but the data have
% non-zero bispectrum.
sp = diff(sp);
sp_txt = 'right data (differenced)';
ex_eda
echo off
Data and histogram plotted in figure window
------ Summary stats
Mean 0.607667
Variance 393.068
Skewness (normalized) 0.34093
Kurtosis (normalized) 0.931325
% -------- power spectra and harmonic models:
figure
figno(length(figno)+1) = gcf;
[p2,a2,b2] = harmest(sp, rlags, 0, 'u', rfft, 2);
enter order to use [1,18] --->
Рис. 21 Розподіл та оцінки параметричного біспектру за допомогою використання алгоритмів для оцінки АР параметрів: ESPRIT, мінімальної норми, Писаренка, MUSIC, та стандартних АР-коефіцієнтів.
% -------- power spectra and harmonic models:
figure
figno(length(figno)+1) = gcf;
[p2,a2,b2] = harmest(sp, rlags, 0, 'u', rfft, 2);
enter order to use [1,18] ---> 14
Warning: Rank deficient, rank = 9, tol = 1.2587e-010.
EDA at 57
echo off
Estimated cycles
2.1226
2.6043
3.5426
3.8698
5.5969
11.9934
% Hit any key to continue
Pause
(right) 
(left)
Рис. 22 Біспектр для сигналів left і right.
5.2. Застосування функції пошуку статистик до ЕЕГ сигналу RightBackwardImagined:
clear,
echo on
load RightBackwardImagined.mat
sp = RightBackwardImagined(:,2);
figno(1) = gcf;
clc
subplot(211), plot(1:length(sp),sp), grid on
subplot(212), hist(sp),
set(gcf,'Name','RightBackwardImagined data')
%Hit any key to continue
pause
sp = diff(sp);
sp_txt = 'RightBackwardImagined data (differenced)';
ex_eda
echo on
% End of lynx-data demo
% Hit any key to clear all plots, and return to previous menu
pause
echo off
for k=1:length(figno)
close(figno(k)) % figno has figure numbers returned by ex_eda
end
clear figno
return
Рис. 23 Сигнал і гістограма RightBackwardImagined
sp = diff(sp);
sp_txt = 'RightBackwardImagined data (differenced)';
ex_eda
echo off
Data and histogram plotted in figure window
------ Summary stats
Mean -0.00177582
Variance 498.859
Skewness (normalized) 0.0460494
Kurtosis (normalized) -1.56538
Hit any key to continue
Рис. 24 Розподіл RightBackwardImagined
figure
figno(length(figno)+1) = gcf;
[p2,a2,b2] = harmest(sp, rlags, 0, 'u', rfft, 2);
enter order to use [1,31] ---> 20
Рис. 25 Оцінки параметричного біспектру RightBackwardImagined за допомогою використання алгоритмів для оцінки АР параметрів: ESPRIT, мінімальної норми, Писаренка, MUSIC, та стандартних АР-коефіцієнтів.
echo off
Estimated cycles
2.5108
2.7900
3.2336
3.3484
4.0565
4.8591
5.7510
7.2038
10.0445
2.0000
2.0000
% Hit any key to continue
Pause
Рис. 26 Біспектр RightBackwardImagined
5.3. Застосування функції пошуку статистик до ЕЕГ сигналу LeftBackwardImagined
load LeftBackwardImagined.mat
y=y(1:1400);
sp=(y-mean(y))/std(y);
figure(1)
subplot(2,1,1),plot(1:length(sp),sp),grid
subplot(2,1,2),hist(sp),grid
c1=mean(sp); c2=cumest(sp,2);
c3=cumest(sp,3)/c2^(3/2);
c4=cumest(sp,4)/c2.^2;
fprintf('математичне сподівання %g\n',c1);
fprintf('Дисперсія %g\n',c2);
fprintf('Асиметрія(нормована) %g\n',c3);
fprintf('Ексцес(нормований) %g\n',c4);
figure(2), specgram(sp,512,8000, hamming(256),240);
figure(3), [px2,a21,a22]=harmest(sp,25,12,'biased',512,2);
figure(4),[px4,a41,a42]=harmest(sp,25,8,'biased',512,4);
r21=roots(a21); r22=roots(a22);
r41=roots(a41); r42=roots(a42);
figure(5)
subplot(2,2,1),polar(angle(r21), abs(r21), 'x'),grid
subplot(2,2,2),polar(angle(r22), abs(r22), 'x'),grid
subplot(2,2,3),polar(angle(r41), abs(r41), 'x'),grid
subplot(2,2,4),polar(angle(r42), abs(r42), 'x'),grid
glstat(sp,0.51,256);
figure(6), [Blaf,w]=bispecd(sp,256,1,100,0);
figure(7), dB=abs(diag(Blaf));
plot(w,dB), grid, title('diagonal slice')
[loc, val]=pickpeak(dB,3)
disp(w(loc))
figure(8), qpctor(sp,25,10,512,100,0);
Рис. 27 Сигнал і гістограма LeftBackwardImagined
-------- power spectra and harmonic models:
figure
figno(length(figno)+1) = gcf;
[p2,a2,b2] = harmest(sp, rlags, 0, 'u', rfft, 2);
enter order to use [1,31] --->
-------- power spectra and harmonic models:
figure
figno(length(figno)+1) = gcf;
[p2,a2,b2] = harmest(sp, rlags, 0, 'u', rfft, 2);
enter order to use [1,31] ---> 7
echo off
Estimated cycles
3.3483
4.9984
10.0448
2.0000
% Hit any key to continue
Pause
Рис. 28 Оцінки параметричного біспектру LeftBackwardImagined за допомогою використання алгоритмів для оцінки АР параметрів: ESPRIT, мінімальної норми, Писаренка, MUSIC, та стандартних АР-коефіцієнтів; біспектр LeftBackwardImagined.
Класифікація ЕЕГ завдань, заснована на характеристиках статистик високих порядків ЕЕГ сигналів в інтерфейсах мозок-комп'ютер.
При використанні статистик високого порядку, припущення мінімальної фази, яке необхідне коли процес характеризується лінійною моделлю, заснованою на гаусовості або використовуються статистики тільки другого порядку, може бути видалене. Крім того, кумулянти більш високого порядку можуть свідчити про нелінійність, в той час як автокореляційна послідовність - ні. Ці властивості були б дуже корисні в якості функцій для класифікації ЕЕГ сигналу.
Висновки
За допомогою біспектрів можна отримати спроможні оцінки оцінюванням біспектру з сегментів і усередненням їх (частотна роздільність обмежується довжиною сегмента), або, застосуванням відповідного вікна згладжування (в області частот, даних або затримок).
Моменти і кумулянти вищих порядків складних нестаціонарних негаусових процесів ЕЕГ – сигналів уявних рухів можуть бути визначені по-різному і їх поліспектр не володіє усіма властивостями симетрії їх реальних аналогів. ЕЕГ сигнали ведуть себе як негаусові,що свідчить про наявність нелінійного ефекту фаз зв’язку. Додаткова інформація – зосереджена в спектрі вищих порядків, тому і упущена в лінійному аналізі еег сигналів. Біспектр запезпечує і амплітудну і фазову інформацію сигналів. Бльше того сигнали можуть бути забруднені адитивным гаусовим шумом з невідомою коваріацією. Біспектр аналіз придушує гаусів шум. Канал Сz вказує на незалежність від сигналів уявних лівих і правих рухів. Тому тільки канали С3 і С4 використровуються для розрахунку функцій.
Література
1. Рудаков І.В., Павлов А.В. Моделювання вхідних даних для стохастичних імітаційних моделей систем / / Інформаційні технології. - 2006. - № 11. - С. 8-12.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 35 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Description of dishes or gastronomy items | | | Pernod Ricard Rouss и Торговая марка Becherovka |