Федеральное агентство по образованию 4 страница

Произведём расчёт, используя эту функцию.

g=9.8; eta=1.86e-5; ro=7800; R=5e-2;

gamma=9*eta/(2*ro*R*R);

Vo=100; alpha=30*pi/180;

xmax=Vx*T/3; ymax=g*T*T/2/3;

[t,y]=ode45(@ballist,[0,T],[0 Vx 0 Vy],[],9.8,1e-3]);

plot(y(:,1),y(:,3)); xlabel(‘x,m’), ylabel(‘y,m’)

axis([0 Vx*T/3 0 g*T*T/2/3]);

text(xmax*0.8,ymax*0.8,'V_0='), text(xmax*0.85,ymax*0.8,V_0)

text(xmax*0.8,ymax*0.75,'k_2='), text(xmax*0.85,ymax*0.75,K)

В результате действия турбулентого трения траектории тела брошенного под углом 30^0- и 60⁰ уже не совпадает - по настильной траектории тело летит дальше. Это связано с большим временем движения при броске навесом, в результате сила трения успевает совершить большую работу.

КОЛЕБАНИЯ

Механический (пружинный) маятник

Из второго закона Ньютона и закона Гука нетрудно получить уравнение динамики для маятника

,

которое легко преобразуется в уравнение свободных колебаний

,

где - квадрат циклической частоты собственных колебаний.

Математическая постановка задачи сводится к замене переменных, в результате которой мы из ОДУ второго порядка получаем систему ОДУ первого порядка

Алгоритм

function dy=oscillator_m(t,y,m,k)

a=k/m;

dy=[y(2); -a*y(1)];

Результаты расчёта по данному алгоритму представлены на рис.10-11. Как видно из них, наблюдаются гармонические колебания, причём при увеличении массы в 4 раза период колебаний удваивается (см. рис.11).

Рис. 10. Зависимости от времени координаты и скорости механического осциллятора (слева). Справа показана фазовая диаграмма колебаний.

Рис. 11. Зависимость координаты и скорости механического осциллятора от времени при различных значениях массы

Учет трения

Математическая постановка задачи производится аналогичной заменой

Алгоритм

function dy=oscillator_m1(t,y,m,k,mu,k2)

g=9.8; a=k/m; a2=mu*m*g;

dy=[y(2); -a*y(1)-(a2+k2*y(2).y(2)).*sign(y(2))];

Рис. 12. Зависимости от времени координаты и скорости механического осциллятора с трением. Справа показана фазовая диаграмма колебаний.

Колебания физического маятника

основное уравнение динамики вращательного движения

m g

-момент инерции стержня

Математическая постановка задачи возможна в двух вариантах: точная

и в малоугловом приближении

Как известно, в последнем случае должны получаться гармонические колебания.

Алгоритм

function dy=oscillator(t,y,m,l)

g=9.8;

J=m*l*l/3;

a=(m*g*l)/(2*J);

dy=[y(2); -a*sin(y(1))];

При малых амплитудах наблюдаются гармонические колебания маятника. Энергия превращается из кинетической в потенциальную и наоборот, суммарная энергия сохраняется. В фазовой плоскости траектория колебаний представляет собой эллипс.

При увеличении амплитуды колебаний период увеличивается за счет нелинейных эффектов (момент силы растет медленнее, чем угол отклонения). В результате угловая скорость уменьшается по сравнению с моделью гармонических колебаний, а период растёт. Таким образом, при колебаниях физического маятника период зависит от амплитуды (см.рис. 13).

Рис. 13.Колебания физического осциллятора при различных значениях начального отклонения.

Учет трения

Сопротивление среды приводит к появлению дополнительного момента силы

,

который можно получить интегрированием элементарных моментов силы вязкого трения

и турбулентного трения

действующих на участки стержня бесконечно малой длины.

Математическая постановка задачи приводит к системе уравнений

Алгоритм

function dy=oscillator1(t,y,m,l,k,k2)

g=9.8;

J=m*l*l/3;

a=m*g*l/J/2;

dy=[y(2); -a*sin(y(1))-(k*y(2)*l^2/2+k2*y(2).*y(2)*l^3).*sign(y(2))/3];

Рис. 14. Колебания физического осциллятора с трением при различных значениях начального отклонения.

Результаты расчёта по данному алгоритму представлены на рис.14. Хорошо видно, как убывает амплитуда колебаний, также заметна зависимость периода колебаний от их амплитуды.

Колебания численности в системе «хищник- жертва»

Рассмотрим динамику численности популяций хищников и их жертв. Пусть N – численность зайцев; M – численность лис.

Приближения:

1. Численность не зависит от пространственных координат

2. При отсутствии взаимодействия обе популяции подчиняются закону Мальтуса: численность зайцев экспоненциально растет, численность лис – экспоненциально падает;

3. Естественная смертность зайцев и естественная рождаемость лис несущественна;

4. Эффект насыщения численности обеих популяций не учитывается.

5. Скорость убыли числа зайцев пропорциональна числу лис, скорость роста числа лис пропорциональна числу зайцев

Модель

Равновесные численности

Можно представить численности в виде отклонений от равновесных значений , . Тогда

и в пренебрежении слагаемыми второго и третьего порядка малости получаем уравнение гармонических колебаний

с циклической частотой . В фазовой плоскости такие колебания имеют вид эллипса.

Алгоритм

function dy=fox_rabbit(t,y,alpha,beta,gamma,delta)

dy=[alpha*y(1)-gamma*y(1).*y(2);

-beta*y(2)+delta*y(1).*y(2)];

Как видно из рис. 15, в результате расчёта по алгоритму получаются колебания, похожие на гармонические. Однако при увеличении отклонений от положения равновесия колебания становятся ангармоничными, отклонения от положения равновесия становятся несимметричными, частота падает и становится зависимой от амплитуды, фазовая диаграмма деформируется.

Рис. 15. Колебания численности популяций лис и зайцев в модели Лотки-Вольтерра.

Рис. 16. Фазовая диаграмма.

4. Самостоятельная работа студентов

№ недели	Содержание	Число часов	Контроль
	1.1. Изучение Лк. № 1
	2.1. Изучение Лк. № 2
	3.1. Изучение Лк. № 3
	4.1 Изучение Лк. № 4
	5.1. Изучение Лк. № 5.
	6.1. Изучение Лк. № 6.
	7.1. Изучение Лк. № 7.
	8.1. Изучение Лк. № 8.
	15.1. Подготовка к лабораторной работе №1		Защита л.р.
	16.1. Подготовка к лабораторной работе №2		Защита л.р.
	17.1. Подготовка к лабораторной работе №3		Защита л.р.

5. рекомендуемая литература

Основная литература

1. Самарский А.А. Математическое моделирование: идеи, методы, примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с.

Дополнительная литература

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков[Текст].– Москва – Санкт-Петербург: Физматлит, Невский диалект, Лаборатория базовых знаний, 2002. – 632 с.

[1] О методе Рунге-Кутты см. например http://stratum.ac.ru/textbooks/modelir/lection15.html

Дата добавления: 2015-09-29