Федеральное агентство по образованию 1 страница

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет»

Новые информационные технологии

Учебно-методический комплекс

(для студентов физико-математического

факультета дневного отделения)

Специальность 010400 - «Физика»

Гвоздарев А.Ю.

Горно-Алтайск

Учебно-методический комплекс по новым информационным технологиям (для студентов физико-математического факультета, специальность 010400 «Физика»). / Гвоздарев А.Ю. [Текст]: Методическое пособие. – Горно-Алтайск: ГАГУ, 2010 – 42 с.

В пособии представлен учебно-методический комплекс для курса «Новые информационные технологии (математическое моделирование)» для студентов, обучающихся по специальности «Физика». Комплекс включает квалификационные требования, рабочую программу курса, графики учебной и самостоятельной работы, задания для лабораторных работ и краткое содержание лекций.

Рецензенты:

к.ф.-м.н., доцент кафедры общей физики Новосибирского государственного технического университета А.В.Баранов

к.ф.-м.н., профессор кафедры физики и МПФ ГАГУ С.П. Михайлов

Печатается по решению кафедры физики и МПФ ГАГУ

© Гвоздарев А.Ю., 2010

1. Квалификационная характеристика

1.1. Основные области профессиональной деятельности выпускника по специальности 010400 «Физика»

Квалификация выпускника - физик. Нормативный срок освоения основной образовательной программы подготовки физика по специальности 010400 Физика при очной форме обучения - 5 лет.

Деятельность специалиста направлена на исследование и изучение структуры и свойств природы на различных уровнях ее организации от элементарных частиц до Вселенной, полей и явлений, лежащих в основе физики, на освоение новых методов исследований основных закономерностей природы.

Специалист подготовлен к деятельности, требующей углубленной фундаментальной и профессиональной подготовки, в том числе к научно-исследовательской работе, а при условии освоения дополнительной образовательной программы педагогического профиля - к педагогической деятельности.

Виды профессиональной деятельности специалиста:

n научно-исследовательская: экспериментальная, теоретическая и расчетная;

n педагогическая.

Специалист подготовлен к решению следующих задач:

а) научно-исследовательская (экспериментальная, теоретическая и расчетная деятельность):

n научные исследования поставленных проблем;

n формулировка новых задач, возникающих в ходе научных исследований;

n разработка новых методов исследований;

n выбор необходимых методов исследования;

n освоение новых методов научных исследований;

n освоение новых теорий и моделей;

n обработка полученных результатов научных исследований на современном уровне и их анализ;

n работа с научной литературой с использованием новых информационных технологий, слежение за научной периодикой;

n написание и оформление научных статей;

n составление отчетов и докладов о научно-исследовательской работе, участие в научных конференциях.

б) педагогическая деятельность:

n подготовка и чтение курсов лекций;

n подготовка и ведение семинарских занятий;

n ведение занятий в учебных лабораториях;

n руководство научной работой студентов;

n руководство дипломными работами студентов.

Сферами профессиональной деятельности являются высшие учебные заведения, научно-исследовательские институты, лаборатории, конструкторские и проектные бюро и фирмы, производственные предприятия и объединения, учреждения системы высшего и среднего специального образования.

В соответствии с полученной за время обучения дополнительной квалификацией «Преподаватель» - может быть преподавателем средней школы и среднего профессионального учреждения, в соответствии с дополнительной квалификацией «Преподаватель высшей школы» - может быть также преподавателем вуза.

1.2. Список практических навыков и умений (компетенций)

Общие требования к образованности дипломированного специалиста

Специалист должен знать и уметь использовать:

- основные понятия, законы и модели механики, молекулярной физики, электричества и магнетизма, оптики, атомной физики, физики атомного ядра и частиц, колебаний и волн, квантовой механики, термодинамики и статистической физики, методы теоретических и экспериментальных исследований в физике;

- современное состояние, теоретические работы и результаты экспе­риментов в избранной области исследований, явления и методы исследований в объеме дисциплин специализаций;

- фундаментальные явления и эффекты в области физики, экспериментальные, теоретические и компьютерные методы исследований в этой области;

- математический анализ, теорию функций комплексной переменной, аналитическую геометрию, векторный и тензорный анализ, дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление, теорию вероятностей и математическую статистику;

- основные положения теории информации, принципы построения систем обработки и передачи информации, основы подхода к анализу информационных процессов, современные аппаратные и программные средства вычислительной техники, принципы организации информационных систем, современные информационные технологии;

2. Рабочая программа

2.1. Содержание дисциплины согласно ГОС

Дисциплина входит в региональный компонент.

2.2. Распределение часов курса по формам и видам работ

Номер семестра	Учебные занятия	Форма итоговой аттестации (зачет, экзамен)
Общий объем	в том числе
аудиторные	Самосто-ятельная работа
всего	из них
лекции	лабор.	практ.
							зачет

2.3. Содержание дисциплины

1. Основные этапы построения физико-математической модели.

2. Модели на основе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Модель Мальтуса в популяционных задачах.

3. Нелинейность в задачах моделирования. Логистическая модель в популяционных задачах.

4. Модели на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Популяционная задача с учётом пола.

5. Модели на основе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Моделирование падения тел в безвоздушной среде, а также с учётом вязкого и турбулентного трения.

6. Модели на основе систем дифференциальных уравнений второго порядка. Баллистическая задача.

7. Моделирование механических колебаний. Пружинный маятник с учётом трения скольжения и турбулентного трения. Физический маятник в безвоздушной среде и с учётом трения – отличие от малоуглового приближения. Нелинейные колебания.

8. Колебания численности в задаче «хищник-жертва». Нелинейность колебаний при большой амплитуде.

9. Методы спектрального анализа численных данных. Быстрое Фурье-преобразование. Вейвлет-анализ.

10. Модели на основе дифференциальных уравнений в частных производных. Задачи теплопроводности, диффузии, электростатики, магнитостатики.

2.4. Планируемые результаты изучения дисциплины

Курс направлен на развитие у студентов-старшекурсников навыков по решению «задач из реального мира». Не секрет, что большинство учебных задач, изучаемых при подготовке студента-физика, с целью облегчения решения используют такие приближения, что результаты расчётов получаются довольно далёкими от реальности. Рассмотрим, например, типичный случай – задача о горке, решаемая в любом курсе общей физики. При расчёте скорости движения лыжника, спустившегося с горки высотой 10 м, углом наклона 30 градусов и коэффициентом трения скольжения 0.1 без учета сопротивления воздуха (как обычно делается в курсе механики), мы получим скорость в нижней точке около 40 км/ч, а ехать по горизонтали до остановки такой лыжник будет более 80 м, – чего, конечно, нет в реальности. Причина таких расхождений опыта (в данном случае, повседневного) и расчёта очевидна, – для того, чтобы учесть силу сопротивления, в уравнения движения надо подставить силу сопротивления, которая пропорциональна квадрату скорости. В результате мы получим дифференциальное уравнение, решить которое первокурснику не под силу, а от второкурсника оно потребует значительных усилий. Между тем, в последнее время широкое распространение получили специализированные математические пакеты, которые позволяют довольно легко получать численные решения таких задач, которые трудно (если не невозможно) решить аналитически. Использование их значительно расширяет возможности будущего профессионала и позволяет «сделать шаг навстречу реальности». При этом студент должен развить навыки построения физической модели явления, оценки необходимых параметров, переходу к ёё математической записи, подбору алгоритма и обкатки полученной программы, включая анализ крайних случаев и варьирование параметров. Вторая, не менее важная задача курса состоит в повторном обращении к ранее изученному материалу из различных разделов физики и математики – ведь «повторение – мать учения».

В результате изучения дисциплины студенты

должны знать:

1. Основные принципы математического моделирования, последовательность построения физико-математической модели явления

2. Иметь представление об использовании обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах механики, электромагнетизма, кинетики, радиоактивного распада, биологических и популяционных задачах;

Должны уметь:

1. Решать при помощи численного моделирования в среде MATLAB задачи, основанные на обыкновенных дифференциальных уравнениях 1-го и 2-го порядка, а также их системах;

2. Использовать полученные знания и навыки, а также учебную и справочную литературу для самостоятельного решения задач по моделированию физических процессов.

2.5. ГРАФИК УЧЕБНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Наименование вида работ

Номер недели

1.Аудиторные занятия:

-лекции

-лабораторные занятия

2.Самостоятельная работа:

Домашняя текущая работа

3.Формы текущей аттестации:

- защита лабораторной работы (ЗК)

ЗР

ЗР

ЗР

ЗР

-контрольный опрос (КО)

2.6. Программа лекционного курса

Номер лекции	Тема лекции
	Основные особенности и этапы моделирования. Модели на основе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Модель Мальтуса в популяционных задачах.
	Нелинейность в задачах моделирования. Логистическая модель в популяционных задачах. Модели на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Популяционная задача с учётом пола.
	Модели на основе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Моделирование падения тел в безвоздушной среде, а также с учётом вязкого и турбулентного трения
	Модели на основе систем дифференциальных уравнений второго порядка. Баллистическая задача.
	Моделирование механических колебаний. Пружинный маятник с учётом трения скольжения и турбулентного трения. Физический маятник в безвоздушной среде и с учётом трения – отличие от малоуглового приближения. Нелинейные колебания.
	Колебания численности в задаче «хищник-жертва». Нелинейность колебаний при большой амплитуде.
	Методы спектрального анализа численных данных. Быстрое Фурье-преобразование. Вейвлет-анализ
	Модели на основе дифференциальных уравнений в частных производных. Задачи теплопроводности, диффузии, электростатики, магнитостатики

2.7. Темы лабораторных занятий

Неделя	Номер занятия	Тема	Число часов
всего	ауд.	дом.
		Моделирование задачи теплопроводности
		Модели на основе дифференциальных уравнений первого порядка
		Модели на основе дифференциальных уравнений второго порядка
		зачетное занятие

3. Методические материалы

3.1. Задания к лабораторным работам

Лабораторная работа 1

Остывание тел

Задачу остывания тела рассмотрим на примере остывания чашки кофе.

1. Остывание чашки кофе

Природа переноса тепла от кофе к окружающему пространству сложна и в общем случае включает в себя механизмы конвекции, излучения и теплопроводности. В данном случае, когда разность температур между объектом и окружающей средой не очень велика, скорость изменения температуры объекта можно считать пропорциональной этой разности температур. Это утверждение более строго можно сформулировать на языке дифференциального уравнения:

, (1.1)

где T — температура тела, T_S — температура окружающей среды, r — «коэффициент остывания».

Этот «коэффициент остывания» зависит от механизма теплопередачи, площади тела, находящегося в контакте со средой и тепловых свойств самого тела. В зависимости от степени идеализации задачи он может быть либо числом, либо вычисляемым выражением. Это соотношение (1.1) называется законом теплопроводности Ньютона.

Задание 1.

Моделирование в системе MatLab процесса остывания чашки кофе и сравнение результатов с экспериментальными данными.

1. Занесите в виде двух векторов tt и yy экспериментальные данные для остывания настоящей чашки кофе. Температура регистрировалась с точностью 0.1 °С. Температура окружающего воздуха равнялась 22.0 °С.

Время, мин.	Т, °С	Время, мин.	Т, °С	Время, мин.	Т, °С	Время, мин.	Т, °С
0.0	83.0	4.0	71.1	8.0	64.7	12.0	59.9
1.0	77.7	5.0	69.4	9.0	63.4	13.0	58.7
2.0	75.1	6.0	67.8	10.0	62.1	14.0	57.8
3.0	73.0	7.0	66.4	11.0	61.0	15.0	56.6

2. Постройте график экспериментальных данных

plot(tt,yy)

3. Напишите М-функцию cool.m, описывающую решение уравнения (1.1).

function dy=cool(t,y,ys,r)

dy=[-r*(y-ys)];

4. Смоделируйте процесс остывания чашки кофе для таких же условий, как в экспериментальных данных. «Коэффициент остывания» возьмите равным 0.1

[t,y]=ode45(@cool,[0,15],83,[],22,0.1)

5. Постройте график рассчитанной и экспериментальной зависимостей

plot(t,y,’-‘,tt,yy,’--‘)

Анализ данных

Используя массивы экспериментальных данных и команды (пп. 4–5), проведите следующие вычислительные эксперименты и составьте отчет с требуемыми результатами и выводами.

1. Вы должны заметить, что рассчитанная Вами кривая охлаждения T(t) не соответствует экспериментальным данным. Подберите такое значение константы r, чтобы Ваша кривая охлаждения была как можно ближе к экспериментальной. Найденное значение укажите в отчете.

2. Начальная разность температур между кофе и окружающей средой равна 61 °С. Сколько времени надо остужать кофе, чтобы эта разность температур составила 61/2 = 30.5 °С? Через какое время разность температур уменьшится до 61/4 и до 61/8?

3. «Коэффициент охлаждения» можно вычислить по формуле

,

где — теплопроводность материала чашки, l — толщина стенок чашки, s — площадь боковой поверхности стенок чашки, c — удельная теплоемкость кофе, m — масса кофе в чашке.

Рассчитайте и постройте кривую охлаждения T(t) со следующими данными:

, , , , .

Сравните ее с экспериментальной кривой и сделайте выводы. Сравните рассчитанное и подобранное в п. 1 значения «коэффициента охлаждения» и сделайте выводы.

4. Пусть начальная температура кофе 90 °С, однако наслаждаться кофе можно, когда температура опустится ниже 75 °С. Допустим, что при 90 °С добавление молока понижает температуру кофе на 5 °С. Если Вы торопитесь и хотите охладить кофе как можно быстрее, будете ли Вы добавлять сначала молоко и ждать, пока кофе остынет, или же подождете до тех пор, пока кофе остынет до 80 °С, а затем добавите молоко?

Лабораторная работа 1/1

Радиоактивный распад

При радиоактивном распаде за интервал времени dt распадается некоторое количество атомов dN, при этом вероятность распада dN/N прямо пропорциональна длительности интервала времени dt:

,

где - константа распада. Отсюда легко получить дифференциальное уравнение, описывающее радиоактивный распад

, (1.2)

Задание

1. Смоделируйте процесс распада радона за несколько суток, если период полураспада 3.8235 сут. Через какое время активность уменьшится: а) до уровня 75 %; б) 50%; в) 25% от начального уровня? Считать начальный уровень равным 1450 Бк/м³ (уровень активности радона на Северной 16). Сколько времени потребуется до снижения активности до гигиенического норматива 100 Бк/м³? В результате распада радона образуется изотоп висмута ²¹⁰Bi с периодом полураспада 5.01 сут, который превращается в изотоп полония ²¹⁰Po с периодом полураспада 138.4 сут. Постройте графики их активности за это время.

2. Смоделируйте распад изотопов урана ²³⁵U (период полураспада 703.8 млн лет) и ²³⁸U (период полураспада 4468 млн лет), считая, что их начальные концентрации равны. Постройте графики зависимости доли изотопов от времени. Оцените, сколько времени назад их концентрации были равными, если в настоящее время доля ²³⁵U составляет 0.72%.

Вынужденный распад ядер

При высоких концентрациях радиоактивного материала необходимо учитывать вынужденный распад ядер. Вероятность такого распада пропорциональна интенсивности нейтронного потока, который в первом приближении можно считать пропорциональным количеству радиоактивного материала

Здесь - некий коэффициент, зависящий от геометрии задачи, эффективности захвата нейтронов и т. д. Учет вынужденного распада приводит к появлению нелинейности в уравнении радиоактивного распада

.

Именно нелинейные компоненты уравнения отвечают за эффекты типа ядерного взрыва.

Задание

Смоделируйте процесс радиоактивного распада урана ²³⁵U (период полураспада 703.8 млн лет) с учетом нелинейных эффектов. Зная, что критическая масса, при которой происходит ядерный взрыв, составляет величину порядка 20 кг, определите значение , при котором за 1 час распадется половина радиоактивного материала.

Лабораторная работа 1/2

Диффузия

При диффузии за интервал времени dt некоторое количество молекул dN проходит через поверхность площадью S, при этом скорость диффузии пропорциональна градиенту концентрации вещества grad n и описывается уравнением Фика:

, (1.4)

где D – коэффициент диффузии.

В качестве примера рассмотрим диффузию кислорода из крови, распространяющейся по кровеносному сосуду радиуса R со скоростью v в окружающие ткани. Градиент концентрации определяется концентрацией кислорода в крови n, в окружающих тканях n ₀ и толщиной сосудистой стенки h:

.

Выход dN молекул кислорода приводит к уменьшению его концентрации в крови на величину dn = dN / V, где – некий объем крови, помещаемый в участке капилляра длиной l. Площадь боковой поверхности, через которую идет диффузия . В этом случае уравнение (1.4) может быть записано в виде

.(1.5)

Учитывая, что давление кислорода связано с концентраций соотношением

p=nkT,

где k -постоянная Больцмана, T - термодинамическая температура, его можно записать в виде

. (1.6)

Задание

1. Смоделируйте процесс диффузии крови в ткани в процессе ее транспортировки по кровеносному сосуду. Считать, что скорость движения равна 1 см/с, коэффициент диффузии . Радиус капилляра R =10 мкм, толщина капиллярной стенки h =1 мкм. Давление кислорода в артериальной крови равно 96 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133 Па). Давление кислорода в тканях p ₀ принять равным 50 мм рт.ст. Постройте графики зависимости концентрации кислорода в крови от времени траспортировки и от расстояния, пройденного от начала капилляра. При какой длине капилляра и времени транспортировки давление кислорода упадет до уровня 60 мм рт.ст., равному давлению кислорода в венозной крови (время истощения)? Сопоставьте эти величины со временем кругооборота крови (1 мин) и средней длиной капилляра (около 10 см).

2. Постройте аналогичные зависимости при радиусе капилляра 100 мкм (толщина стенки 10 мкм) и 1 мм (толщина стенки 100 мкм). В каком капилляре эффективнее идет диффузия? Постройте зависимость времени истощения от радиуса капилляра, при условии, что толщина стенки составляет десятую долю от нее?

3. Смоделируйте процесс насыщения крови кислородом в легких. Давление кислорода в венозной крови 60 мм.рт.ст., в воздухе - 100 мм рт ст, толщина капиллярной стенки 0.4 мкм, радиус капилляра 2 мкм. Подберите такое значение коэффициента диффузии, чтобы при скорости 1 мм/с и длине капилляра 10 мм происходило насыщение кислородом крови до давления 95 мм рт. ст.

4. Смоделируйте процесс диффузии кислорода из артериальной крови в ткани с учетом изменения диаметра кровеносного сосуда от 1 см в артерии до 10 мкм в капилляре. Считать, что толщина стенки составляет 10% от радиуса сосуда. Параметры давления взять из 1-го задания, коэффициент диффузии – подобранный в 3-м задании. Скорость движения считать равномерной.

Дата добавления: 2015-09-29