+| 
|2 = 9·4 - 6·2·4· 
+16 = 28
| 
| = 
.
Для вычисления проекции вычислим сначала 
.
= 
= 12 | 
|2 + 5 | || | 
3| |2 = 12·4 + 5·2·4· - 3·16 = 0.
Найдём теперь 
= 
Чтобы найти площадь S, найдём сначала 
.
Вычислим 
:
| | ·| | · 
.
Наконец, вычислим площадь
23. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(2, -1, 1), В(5, 5, 4), С(3, 2, -1) и D(4, 1, 3).
Согласно перечисленным выше фактам,
V тетраэдра = 16 V параллелепипеда = 
Вычислим 
; 
; 
.
.
V тетраэдра = 
· |-18| = -3.
Применение векторного исчисления
в аналитической геометрии
Приведём примеры вывода уравнений плоскости и прямой. Без дополнительных объяснений мы будем пользоваться тем, что начала векторов можно помещать там, где нам удобнее, перенеся векторы параллельно самим себе (напомним, что вектора определены с точностью до параллельного переноса).
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 
перпендикулярную вектору 
.
Возьмём на плоскости произвольную точку 
и составим вектор.
.
Так как 
, то 
= 0.
В координатной форме последнее равенство запишется в виде:
=0
Это и есть уравнение искомой плоскости.
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 
параллельно векторам 
и 
.
Возьмём произвольную точку искомой плоскости. Составим вектор 
. Вектора 
, 
- компланарны, поэтому
0
или, через определитель, 
=0
Разлагая определитель по элементам первой строки, получим искомое уравнение плоскости 
где 
.
Найти уравнение прямой, проходящей через точку М 0 параллельно вектору 
.
Возьмём на прямой произвольную точку . Составим вектор 
. Вектора 
и параллельны. Условия параллельности векторов в координатной форме
.
Это каноническое уравнение прямой. Обозначим буквой t каждое из равных соотношений в канонических уравнениях
= t
Получим параметрические уравнения прямой
Эта форма уравнений удобна, например, при нахождении точки пересечения прямой и плоскости.
Найти уравнение прямой, проходящей через точку М 0 перпендикулярно векторам и .
Из условия задачи следует, что прямая параллельна вектору . Но вектор 
и потому уравнение искомой прямой следующее (см. предыдущую задачу):
Далее, нужно уметь по виду уравнений устанавливать геометрические характеристики объекта, который задаётся ими.
Дано уравнение А x + В y + C z + D = 0. Это уравнение плоскости, вектор нормали (перпендикуляр) к которой имеет координаты {А,В,С}.
Даны уравнения
Это уравнения прямой; она проходит через точку 
и параллельно вектору .
Дана система уравнений
Эти уравнения прямой (каждое уравнение – уравнение плоскости; система 2 уравнений плоскости – пересечение этих плоскостей, т.е. прямая).
Точка на прямой – любое решение этой системы.
Прямая параллельна вектору 
где 
- вектор нормали к плоскости А1х + В1у + C1z + D1 = 0, 
- вектор нормали к плоскости А2х + В2у + C2z + D2 = 0.
Приведём более сложные примеры.
Найти угол αмежду прямыми.
и 
.
Векторы 
и 
параллельны этим прямым и поэтому
.
Условие перпендикулярности 2 прямых:
, т.е. 
или 
=0.
Условие параллельности 2 прямых:
|| 
, т.е. 
или 
Найти угол α между прямой и плоскостью Ах + Ву + Cz + D = 0.
Вектор 
параллелен прямой; вектор 
перпендикулярен плоскости. Имеем:
sinα = |cosB |= | 
| = 
= 
.
Условие параллельности прямой и плоскости:
или 
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
|| или 
.
Пример 24. Даны точки А(-1, 2, 3), В(2, 2, -1) и С (5, 0, 4).
Найти: уравнение прямой АВ;
уравнение плоскости Р, проходящей через точку С и перпендикулярную прямой АВ;
точку пересечения прямой АВ и плоскости Р.
Вектор 
параллелен искомой прямой. Точка А лежит на прямой. Поэтому уравнения
и задают искомую прямую АВ.
Плоскость Р проходит через точку С и перпендикулярна вектору 
. Поэтому её уравнение имеет вид 3(х-5) + 0(у-0) - 4(z-4) = 0, т.е. 3х – 4z + 1 = 0.
Чтобы найти точку пересечения АВ с Р, запишем уравнения прямой в параметрической форме
и подставим их в уравнение плоскости Р:
3(3t-1) – 4(-4t+3) + 1 =0
25t – 14 = 0, t = 
.
Следовательно, искомая точка имеет координаты
; 
; 
.
Упражнения для самопроверки
1. 
. Найти 
.
2. 
. Укажите 
.
3. Вычислить 
.
4. Найти уравнение кривой, на которой расположены точки, удовлетворяющие условию 
.
5. Найти мнимую часть числа 
6. Найти модуль числа 
7. Пусть 
и 
. Найти АВ-ВА.
8. 
= 
Найти С13, С22, С23.
9. Матрица В имеет 3 строки и 2 столбца, матрица А – 2 строки и 4 столбца. Какое из произведений АВ или ВА можно составить? Каково строение у получившейся матрицы-произведения?
10. Определитель 
равен 2. Чем равен определитель матрицы 3А?
11. Чему равен определитель матрицы 3Е, где
Найти А·Е, где 
12. Определитель матрицы А равен 3. Чему равен определитель матрицы, полученной из А перестановкой третьего и пятого столбцов?
13. Найти алгебраическое дополнение А23 матрицы 
.
14. Вычислить определитель
15. Для матрицы
найти А-1. Проверить, что А и А-1 – симметричные матрицы (напомним, что матрица называется симметричной, если при перемене местами всех строк и столбцов она не меняется, т.е., если aij= aji при любых i и j).
16. Определитель матрицы А равен 2. Чему равен определитель матрицы А-1? Указание: воспользоваться тем, что определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, и тем, что определитель единичной матрицы Е равен1.
17. Однородная система имеет определитель 
. Сколько решений имеет эта система? Найти их (однородной называется система, у которой свободные члены равны нулю).
18. Определитель матрицы системы
равен -4. Найти 
.
19. Можно ли найти решение системы
матричным методом?
20. Не решая системы
выяснить, сколько она имеет решений.
21. 
. Найти 
.
22. Найти смешанное произведение 
.
23. При каком λ прямая 
параллельна плоскости
?
24. Чему равно смешанное произведение векторов , , 
?
25. Найти точку С пересечения плоскости 
с осью 0y.
Ответы к упражнениям для самопроверки
1). -8
2). 
3). 
4). 
5). -7
6). 
7). 
8). 17; 0; 10
9). ВА; 3х4
10). 18
11). 81; А
12). -3
13). -31
14). -30
15). 
16). ½
17). Решений одно, нулевое
18). -15
19). Нет
20). Бесконечно много
21). 
22). -1
23). 6
24). 0
25). (0, 2, 0).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
В задачах 1-10, используя метод Гаусса, найти решение системы или доказать её несовместность.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
В задачах 11-20 дана матрица А. Найти обратную матрицу А-1 и проверить, что
А-1А=АА-1=Е. При помощи обратной матрицы найти решение 
системы, записанной в матричной форме AX=B, где 
.
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
В задачах 21-30 найти указанное x i по формулам Крамера.
21-24. 
21. 
? 22. ? 23. 
? 24. 
?
25-28. 
25. ? 26. ? 27. ? 28. ?
29-30. 
29. ? 30. ?
В задачах 31-40 найти: 
; площадь треугольника со сторонами, совпадающими с векторами 
и 
; смешанное произведение векторов ( 
); при каком 
векторы и 
ортогональны?
31. 
; 
; А(0,-2,1); В(-1,1,3).
32. 
; 
; А(1,2,3); В(2,-2,0).
33. 
; 
; А(3,0,1); В(0,1,-2).
34. 
; 
; А(2,-2,0); В(1,2,-1).
35. 
; 
; А(1,1,1); В(-1,0,-2).
36. 
; 
; А(3,-2,1); В(0,1,1).
37. 
; 
; А(0,1,3); В(-1,2,1).
38. 
; ; А(-1,0,2); В(-3,1,1).
39. 
; 
; А(1,2,0); В(0,-1,2).
40. 
; 
; А(3,-2,1); В(4,0,1).
В задачах 41-50 найти (, ) и длину вектора 
.
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
|
Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 21 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
