Методические указания и контрольные задания 2 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Пример 15. Решить систему

Вычислим определитель матрицы системы

=3 + 2 + 24 + 4 – 4 + 9 = 38

Поскольку ≠0, решение системы существует, оно единственно и может быть найдено по формулам Крамера.

Вычислим

= -5 – 4 + 84 – 8 – 14 – 15 = 38

= 21 – 5 + 16 + 28 +10 + 16 = 76

= 6 – 14 – 30 – 5 – 8 – 63 = -114

(Определители вычислялись по правилу треугольника).

Находим решение по формулам Крамера:

, , .

Решение системы

матричным методом

Положим

Система (1) эквивалентна матричному уравнению

АХ = В (2)

Действительно, система (1) эквивалентна матричному уравнению

(3)

Так как (по определению) матрицы равны, если равны между собой элементы матриц, стоящие в строках с одинаковыми номерами. Далее, согласно определению произведения матриц

= ,

Так что левая часть равенства (3) совпадает с АХ. Следовательно, система (1) эквивалентна уравнению (2).

Предположим, что m = n и det А≠0, тогда существует А^-1. Для отыскания решения уравнения (2) нужно умножить обе части уравнения (2) на А^-1 слева. Получим:

А^-1АХ = А^-1В, ЕХ = А^-1В или Х = А^-1В.

Это и есть искомое решение задачи. Обратите внимание на то, что ВА^-1 не является решением уравнения (2)

Пример 16. Решить систему матричным методом.

Эта система эквивалентна матричному уравнению АХ = В, где

, , .

Найдём .

Следовательно, существует обратная матрица А^-1. Найдём её.

; Х = А^-1∙В

Следовательно, , . Сделаем проверку, подставив полученный результат в систему

Решение системы

Методом Гаусса

(методом исключения неизвестных)

В этом пункте рассматриваются системы линейных уравнений общего вида, т.е. m и n не обязательно равны, а если всё же равны, то необязательно чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Метод состоит в том, что производя эквивалентные преобразования системы, исключающие неизвестные, приводят систему к «трапецеидальному» виду. Это можно осуществить, например, так. Пусть задана система (1). Вычтем из второго уравнения системы первое, умноженное на , из третьего – первое, умноженное на , из m-го – первое, умноженное на ; получим систему вида

и эта система эквивалентна исходной. Далее, вычтем из третьего уравнения второе, умноженное на , из четвёртого – второе, умноженное , из m-го – второе, умноженное на ; получим систему вида

и эта система эквивалентна исходной. Этот процесс производится до тех пор, пока не дойдём до последнего уравнения. Получим систему вида

............................................

.......

и эта система эквивалентна исходной. Возможны три случая:

1. Хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Тогда система несовместна.

2. и . Система совместна, имеет единственное решение, и это решение находится, начиная с решения последнего нетривиального уравнения (т.е. начиная с ).

3. и < . Система совместна, имеет бесконечно много решений, и решения эти находятся следующим образом. Неизвестным ,… придаются произвольные значения; все остальные неизвестные выражаются через них, начиная с последнего нетривиального уравнения (т.е. начиная с ). Эти выражения и задают все решения системы.

При решении системы методом Гаусса все преобразования обычно производят не с системой, а с расширенной матрицей системы

Пример 17. Найти решение системы

методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы

Приведём матрицу к трапецеидальному виду

Первое преобразование состоит в том, что ко 2-й строке прибавляется первая, умноженная на 3, и что из 3-й строки вычитается первая, умноженная на 2. Второе преобразование – к третьей строке прибавляется вторая.

Составим систему, расширенная матрица которой

Находим решение системы:

т.е. .

Пример 18. Найти решение системы

методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы

Упрощаем матрицу

Восстанавливаем по последней матрице систему

Решаем эту систему

т.е. ,

Обратите внимание на то, что, поскольку преобразования матрицы должны соответствовать преобразованиям системы, оперировать можно только строками (умножать на число, складывать или вычитать, менять порядок), но не со столбцами матрицы.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы

Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается через . Векторы называются равными, если они имеют равные длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Пусть задана прямоугольная система координат. Если координаты точек А и В - и , то координаты вектора - это числа , . В этом случае пишут = . Обычно через , обозначают векторы с началом в начале координат и концами в точках (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) соответственно. Если то пишут также .

Таблица 1

Основные действия над векторами

1. Сумма векторов

Это вектор. Определяется либо

по правилу параллелограмма,

либо, что равносильно, по правилу треугольника

2. Произведение

вектора

на число λ

Это вектор. Длина его

равна . Он параллелен вектору ,

направлен в ту же сторону, что и , если λ>0, и в противоположную сторону, если λ<0

3. Скалярное

произведение

векторов

или

Это число. Оно равно

4. Векторное

произведение

векторов

или

Это вектор. Длина его равна

Он перпендикулярен векторам и направлен так, чтобы тройка векторов была правой

5. Смешанное

произведение

векторов

Это число. Оно равно или, что то же,

Обратите внимание, что .

Нарисуйте векторы, для которых: 1. ;

2. .

Далее, обратите внимание, что скалярное и смешанное произведения – числа, а векторное – вектор. Недопустимо говорить, что векторное произведение есть , так как векторное произведение – вектор, а - число (длина этого вектора). Кроме того, полезно запомнить, что и . Наконец, следует запомнить, что для скалярного умножения справедливы в с е без исключения правила алгебраического умножения, а для векторного умножения исключением является перестановочный закон, который заменяется правилом

так что, раскрывая скобки, следите за порядком сомножителей.

Пример 19. Вычислить , , .

;

Таблица 2

Сведения, часто используемые при решении задач

1. Длина вектора
2. Проекция вектора на вектор :
3. Косинус угла между векторами и :
4. Вектора и перпендикулярны:
5. Вектора и коллинеарны: \|\|	Существует такое число λ, что
6. Вектора и компланарны, т.е. лежат в одной или параллельных плоскостях
7. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и
8. Объём параллелепипеда, построенного на векторах и
9. Работа силы при перемещении материальной точки из начала вектора в его конец
10. Момент силы , приложенной к концу вектора относительно его начала

Напомним ещё, что: площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах; объём тетраэдра, построенного на векторах , и , равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах.

Примеры: 20. На материальную точку действуют силы

, , .