Опр.: Множество называется линейным (векторным) пространством над полем , если: 1) На определена бинарная алгебраическая операция и – Абелева 3 страница

Линейные преобразования.

Опр.: Отображение называется линейным преобразованием пространства , если 1) ; 2) .

Теорема (о характеризации линейного преобразования действием на базе):! – база линейного преобразования . – произвольный набор векторов из . Тогда линейное преобразование .

Доказательство: Каждый вектор пространства однозначно представим в виде . Полагаем , т.к. , то . Покажем, что – линейное преобразование. Если , то по определению . Аналогично . ! – линейное преобразование и при это . Тогда , т.е. .

Введение:! – координатная база пространства и – линейное преобразование .! .

Опр.: Матрица называется матрицей линейного преобразования в базе .

Лемма: Если – это координатная строчка вектора , то .

Доказательство:! , т.е. .

Опр.:! дана ещё одна координатная база пространства . Если , то называется матрицей перехода от первой координатной базы ко второй. Отметим, что – матрица линейного преобразования , для которого . гусь будем обозначать координатную строку вектора в базе .

Теорема:! – матрица линейного преобразования в базе . Тогда .

Доказательство: В силу леммы и по правилу преобразования координат .

Ранг и дефект линейного преобразования.

Опр.:! – линейное пространство над полем , – линейное преобразование . непустого подмножества из полагаем – образ множества . – это прообраз .

Лемма: Если – подпространство из , то и – подпространство пространства .

Доказательство: Установим, например, что – подпространство. Действительно, , т.к. . Далее, .

Опр.: Ядром линейного преобразования называется множество .

Опр.: Рангом преобразования называется число

Опр.: Дефектом преобразования называется число .

Теорема (о сумме ранга и дефекта): .

Доказательство: По теореме о прямого дополнения Поэтому надо доказать, что . мы имеем . Предположим, что . Тогда – это критерий прямой суммы – взаимно однозначное отображение на , т.е. – изоморфизм на .

Действия с линейными преобразованиями.

Введение:! – линейное пространство над полем , – линейное преобразование пространства , . Определим отображение из в .

Опр.:! – произвольный вектор из . .

Лемма: – это те же линейные преобразования пространства .

Доказательство: Докажем, например, что – линейное преобразование. 1) ; 2) – линейное преобразование.

Теорема: Фиксируем базу пространства и через будем обозначать матрицу преобразования (произвольного) в данной базе. .

Доказательство: Установим, например, равенство .! – произвольный вектор пространства , – координатная строка в данной базе. Нам известно, что . Теперь по лемме из пункта «Координаты» .

Опр.:! – кольцо и одновременно линейное пространство над полем . Если при этом выполняются равенства следующие , то называется алгеброй над полем .

Замечание:! – линейное преобразование , – матрица преобразования в данной базе, тогда есть взаимно однозначное отображение множества всех линейных пространств на множество и при этом в силу предыдущей теоремы действие с линейными преобразованиями подчиняются тем же свойствам, что и действия с матрицами, поэтому множество всех линейных преобразований есть алгебра, изоморфная .

Собственные векторы.

Опр.: Ненулевой вектор называется собственным вектором преобразования , если – собственное значение преобразования . Говорят, что собственный вектор принадлежит собственному значению .

Лемма: Если – собственный вектор преобразования с собственным значением , то – собственный вектор с собственным значением .

Доказательство: .

Опр.:! – квадратная матрица порядка с коэффициентами из поля , – некоторая неизвестная (буква), – единичная матрица порядка . Матрица называется характеристической для матрицы . называется характеристическим многочленом матрицы , его корни называются характеристичными корнями, называется характеристическим уравнением матрицы .

Опр.: Матрицы и называются подобными (сопряжёнными), если .

Лемма: Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами.

Доказательство: Действительно, .

Опр.:! – база пространства , – это матрица преобразования в данной базе.

Опр.: Характеристическим многочленом (уравнением, корнем) преобразования называется характеристический многочлен (уравнение, корень) матрицы .

Лемма (критерий диагольнальности матрицы линейного преобразования):! – матрица линейного преобразования в некоторой базе , – диагональная матрица .

Доказательство: – диагональная. Аналогично.

Инвариантные подпространства.

Опр.: Подпространство пространства называется инвариантным относительно ( -инвариантным), если .

Предложение: Если – -инвариантное подпространство, то – -инвариантное подпространство.

Доказательство: .

Многочленные матрицы.

Опр.: Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка , где . Матрицы такого вида называются многочленными (или -матрицы).

Опр.: Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называются следующие преобразования: 1) Умножение строки (столбца) матрицы на ненулевой элемент ; 2) Перестановка двух строк (столбцов); 3) Прибавление к одной из строк (столбцов) другой строки (столбца), умноженной на многочлен .

Лемма 1:! – элементарное преобразование. Тогда – тождественное преобразование.

Опр.: Говорят, что – матрица -эквивалентна. – матрице , если . Запись .

Лемма 2: Отношение эквивалентности обладает следующими свойствами: 1) (рефлексивность); 2) (симметричность); 3) (транзитивность).

Доказательство: 1) т.к. ; 2) ; 3) .

Следствия: Множество всех квадратных -матриц порядка разбиваются на непересекающиеся классы эквивалентных между собой -матриц. – класс эквивалентных - матриц, содержащий фиксированную матрицу .

Опр.: -матрица вида называется канонической диагональной, если – унитарные многочлены (старший коэффициент равен ) и .

Теорема 1: -матрица цепочкой элементарных преобразований приводится к каноническому диагональному виду ( – канонические диагональные матрицы).

Доказательство: Индукция по . Если – нулевая матрица, то она уже каноническая диагональная.! . Из всех матриц класса выберем матрицу , у которой и если , то . Очевидно, можно считать, что – это унитарный многочлен.! . Разделим каждый многочлен на с остатком: . Обозначим : умножение 1-го столбца на и прибавление этого к -му столбцу; – это перестановка 1-го и -го столбцов. Тогда (в силу выбора матрицы ). Отсюда выводим следующее: содержит матрицу . Рассуждая аналогично, получим, что . По индуктивному предположению элементарными преобразованиями строк и столбцов с номерами матрицу можно привести к виду , где – унитарный многочлен и . Остаётся доказать, что . Действительно, умножим вторую строку на 1 и прибавим к 1-й. Получим, что в . Аналогично вышеизложенному доказываем, что – каноническая диагональная матрица.