Опр.: Множество называется линейным (векторным) пространством над полем , если: 1) На определена бинарная алгебраическая операция и – Абелева 1 страница

Линейная алгебра.

Линейное пространство.

Опр.: Множество называется линейным (векторным) пространством над полем , если: 1) На определена бинарная алгебраическая операция и – Абелева группа, – нулевой элемент ; 2) однозначно определен элемент и при этом выполняются следующие аксиомы: : , , , .

Линейная зависимость. База. Размерность.

Пусть – линейное пространство над полем .

Опр.: Пусть , . Вектор называется линейной комбинацией векторов .

Опр.: Конечная система векторов называется линейно независимой, если .

Опр.: Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если её конечная подсистема линейно независимая.

Опр.: Система векторов называется системой образующих пространства , если вектор из является линейной комбинацией этой системы.

Опр.: Бесконечная система векторов называется системой образующих пространства , если вектор из есть линейная комбинация конечной подсистемы этих векторов.

Опр.: Базой пространства называется линейно независимая система образующих пространства .

Опр.: Линейное пространство называется конечномерным, если в нём база из конечного числа векторов.

Лемма 1: Система векторов линейно зависима хотя бы один из этих векторов есть линейная комбинация остальных.

Доказательство: ! – линейно зависимые , хотя бы один из которых отличен от 0 и .!, например, , т.е. . Тогда умножаем на . Получаем , т.е. – линейная комбинация остальных векторов. !, например, – есть линейная комбинация остальных векторов. Тогда , т.к. коэффициент при отличен от 0, то – линейно зависимые по определению.

Лемма 2: Система ненулевых векторов линейно зависима хотя бы один из векторов системы есть линейная комбинация предыдущих.

Доказательство: ! система векторов – это линейно зависимые векторы и . Понятно, что максимальное число . Очевидно, что и , т.е. – линейная комбинация предыдущих векторов. ! – линейная комбинация остальных векторов системы: . По лемме 1 получается, что система линейно независимая.

Лемма 3:! – система образующих пространства . Если – линейная комбинация остальных векторов системы, то, выбросив – тоже система образующих .

Доказательство:! . По условию, . Согласно условию . Раскрывая скобки и приводя подобные, мы установим, что – линейная комбинация всех векторов системы кроме .

Теорема 1:! – база пространства , тогда система из вектора линейно зависима.

Доказательство:! напротив найдётся линейно независимая система . Рассмотрим систему . Она линейно зависима по лемме 1 и условию теоремы. Согласно лемме 2, один из векторов системы (вектор ) есть линейная комбинация предыдущих. Ясно, что остается системой образующих, а, значит, по лемме 3 – система образующих пространства . Рассмотрим теперь систему , которая является линейно зависимой по лемме 1. Согласно лемме 2, один из этих векторов есть линейная комбинация предыдущих. т.к. – линейно независимые, то это некоторый вектор . Тогда согласно леммы 3: – система образующих пространства . Рассуждая аналогичным образом, получим, что – система образующих пространства . Но тогда – линейная комбинация этих векторов, что невозможно в силу леммы 1. А это уже противоречие с леммой 1.

Теорема 2: Если – база , то база пространства состоит из векторов.

Доказательство: Теорема 2 является непосредственным следствием теоремы 1.

Опр.: Число элементов базы линейного пространства называется размерностью пространства и обозначается .

Теорема 3 (о дополняемости линейно независимой системы векторов до базы):! – линейно независимые вектора пространства , тогда найдутся такие векторы пространства , что – база .

Доказательство:! – база . Рассмотрим следующую систему , которая является системой образующих пространства. Выбросим из этой системы все векторы, которые являются линейными комбинациями предыдущих. т.к. линейно независимы, то мы получим систему векторов . Эта система линейно независима по лемме 2 и система образующих по лемме 3. Итак, – искомые векторы.

Изоморфизм.

Опр.:! – линейные пространства над полем . Тогда эти пространства называются изоморфными, если такие взаимно-однозначные отображения и при этом 1) ; 2) . называется изоморфизмом на . Если , то называется автоморфизмом пространства .

Лемма 1:! – нулевой элемент , – нулевой элемент , – изоморфизм на . .

Доказательство: .

Лемма 2: Если – система образующих пространства, то – линейно независимы.

Доказательство:! напротив – линейно зависимы. Тогда , где хотя бы одно и при этом . По условию . Но тогда и – это противоречие взаимной однозначности отображения .

Теорема: Линейные пространства изоморфны .

Доказательство: ! изоморфны, – изоморфизм. Если – база , то в силу лемм 1, 2 – база . Отсюда . ! . – база , – база .! . Тогда вектор однозначно по замечанию записывается в виде . Полагаем, что . Очевидно, однозначно отображает на . Далее, если и , то , .! , тогда и .

Координаты.

Опр.:! – линейное пространство над полем , . Координатной системой (базой) пространства называется база , элементы которой рассматриваются в определенном фиксированном порядке. элемент однозначно записывается в виде . Элементы называют координатами вектора в базе . – координатная строка вектора в .

Опр.:! задана ещё одна координатная база пространства . Мы имеем . Матрица называется матрицей перехода от координат системы к .

Теорема (правило преобразования координат):! – координатные строки вектора в базах и соответственно. Тогда .

Доказательство: Мы имеем , . В силу равенства 3 получим, что . Приравняем координаты, получим, что . Это равенства равносильны доказательству.

Лемма:! квадратные матрицы порядка с элементами из поля . Если для строк с коэффициентами из , то .

Доказательство:! . Полагаем, что , получим , т.е. матрицы имеют одинаковые первые строки. Аналогично полагая, что получим, что и имеют одинаковые вторые строки и т.д.

Теорема: Матрица перехода от координатной системы к координатной системе невырожденная, т.е. имеет образную матрицу . При этом есть матрица перехода от к .

Доказательство: Правило преобразования координат даёт нам .! – матрица перехода от координатной системы к координатной системе . Снова по правилу преобразования координат мы имеем, что , где координаты произвольного вектора . – координаты в . Поэтому . В силу леммы – единичная матрица , т.е. , значит .

Подпространства.

Опр.: Непустое подмножество из называется подпространством пространства , если 1) ; 2) . т.к. , то и – подгруппа , т.е. . Если . Аналогично проверяются все другие аксиомы линейного пространства. т.о. – является линейным пространством над полем . – тривиальные подпространства пространства .

Опр.:! – произвольные векторы пространства . Рассмотрим множество . Очевидно, – подпространство пространства . Это называется линейной оболочкой векторов . Заметим, что если линейно независимые, то – база . В общем случае – система образующих пространства и равно максимальному числу линейно независимых векторов этой системы.

Дата добавления: 2015-08-29