Глава 2.3. Статистическая проверка гипотез.

Глава 2.3. Статистическая проверка гипотез.

Основные задачи статистики в терминах функции распределения

Понятие статистической гипотезы.

Общее понятие о статистической проверке гипотез.

Простые и сложные гипотезы.

Понятие статистики как функции выборки

Критерий и его статистика

Критическая область.

Ошибки первого и второго рода.

Параметрические и непараметрические критерии. Примеры

Статистическая проверка гипотез является вторым после статистического оценивания параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математической статистики.

Методы математической статистики позволяют проверить предположения о законе распределения некоторой случайной величины (генеральной совокупности), о значениях параметров этого закона (например ЕХ, DХ), о наличии корреляционной зависимости между случайными величинами, определенными на множестве объектов одной и той же генеральной совокупности.

Полученные в результате эксперимента на некоторой выборке данные служат основанием для заключения о генеральной совокупности (случайной величине Х). Однако в силу действия случайных вероятностных причин заключение о генеральной совокупности, сделанное на основании экспериментальных (выборочных) данных всегда будут содержать некоторую погрешность, и поэтому подобные заключения должны рассматриваться как предположения (гипотезы, Н), а не окончательные утверждения. Подобные предположения о свойствах и параметрах генеральной совокупности получили название статистических гипотез.

Суть проверки статистических гипотез заключается в том, чтобы установить, согласуются ли экспериментальные данные и выдвинутая гипотеза, допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и результатом статистического анализа экспериментальных данных за счет случайных причин.

Итак, сформулируем вышесказанное более формально.

Предположим, что функция распределения величины Х нам неизвестна, но мы располагаем случайной выборкой . По наблюдениям выборки мы хотим дать ответ на вопрос: совпадает функция распределения F(x) с некоторой наперед заданной функцией распределения F₀(x) или нет. В таком случае речь идет о проверке статистической гипотезы согласия. Используя наблюдения выборки , нужно либо принять, либо отвергнуть гипотезу о том, что функция распределения F(x) совпадает с заданной функцией распределения F₀(x). Правило принятия одного из этих двух решений называется статистическим критерием или просто критерием. В качестве функции F₀(x) обычно выбирается одно из известных распределений, скажем, экспоненциальное, нормальное и т.д. с известными параметрами.

Пусть имеется выборка является реализацией случайной выборки из генеральной совокупности Х, плотность распределения которой ρ (t,θ) зависит от неизвестного параметра θ

Статистические гипотезы относительно неизвестного истинного значения параметра θ

называют параметрическими гипотезами. При этом если θ скаляр, то речь идет об

однопараметрических гипотезах, а если вектор, — то о многопараметрических гипотезах.

Статистическую гипотезу Н называют простой, если она имеет вид

Н: , где - некоторое заданное значение параметра

Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид

Н: , где D – некоторое множество значений параметра θ, состоящее более чем и одно параметра.

Примеры

1. Предположим, проводится серия из n независимых испытаний по схеме Бернулли с неизвестным параметром р, где р – вероятность «успеха» водном испытании.

2. Пусть - случайная выборка объема n из генеральной совокупности Х, распределенной по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией σ². Тогда Н: а=а₀, где а₀ – некоторое заданное значение параметра а, является простой. Гипотезы Н₁: а ≥ а₀, Н₂: а ≤ а₀, Н₃: а₀ ≤ а ≤ а₁ являются сложными.

Пусть теперь неизвестны оба параметра – а и σ. В этом случае гипотеза Н: а=а₀ становится сложной, так как ей соответствует множество значений двумерного вектора

= (а, σ), для которых а=а_0, , 0 < σ < σ

Пусть по некоторым данным имеются основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача заключается в том, чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение, используя выборочные (экспериментальные) данные.

Определение. Гипотезы о значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений называются параметрическими гипотезами.

Гипотезы о виде распределения называются непарамет­рическими гипотезами.

Проверить статистическую гипотезу – это значит проверить, согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой. Проверка осуществляется с помощью статистического критерия. Статистический критерий – это метод проверки статистической гипотезы, включающий в себя статистику критерия - случайную величину, закон распределения которой (вместе со значениями параметров) известен в случае, если принятая гипотеза справедлива.

Гипотезу, выдвинутую для проверки ее согласия с выборочными данными, называют нулевой гипотезой и обозначают H ₀. Вместе с гипотезой H ₀ выдвигается альтернативная или конкурирующая гипотеза, которая обозначается H ₁. Например:

1)	H 0: ЕХ= 0	2)	H 0: ЕХ= 0	3)	H 0: Mx= 0
	H 1: ЕХ¹ 0		H 1: Mx> 0		H 1: Mx= 2

Пусть случайная величина K – статистика критерия для проверки некоторой гипотезы H ₀. При справедливости гипотезы H ₀ закон распределения случайной величины K характеризуется некоторой известной нам плотностью распределения p_K (x).

Выберем некоторую малую вероятность a, равную 0,05, 0,01 или еще меньшую. Определим критическое значение критерия K _кр как решение одного из трех уравнений, в зависимости от вида нулевой и конкурирующей гипотез:

P (K> K _кр) = a (1)

P (K< K _кр) = a (2)

P ((K< K _кр1)Ç(K> K _кр2)) = a (3)

Возможны и другие уравнения, но они встречаются значительно реже, чем приведенные.

Решение уравнения (1) (то же самое для уравнений (2) и (3)) заключается в следующем: по вероятности a, зная функцию p_K (x), заданную как правило таблицей, нужно определить K _кр.

Что означает условие (1)?

Если гипотеза H ₀ справедлива, то вероятность того, что критерий K превзойдет некоторое значение K _кр очень мала – 0,05, 0,01 или еще меньше, в зависимости от нашего выбора. Если K _в – значение критерия K, рассчитанное по выборочным данным, превзошло значение K _кр, это означает, что выборочные данные не дают основания для принятия нулевой гипотезы H ₀ (например, если a= 0,01, то можно сказать, что произошло событие, которое при справедливости гипотезы H ₀ встречается в среднем не чаще, чем в одной из ста выборок). В этом случае говорят, что гипотеза H ₀ не согласуется с выборочными данными и должна быть отвергнута. Если K _в не превосходит K _кр, то говорят, что выборочные данные не противоречат гипотезе H ₀, и нет оснований отвергать эту гипотезу.

Для уравнения (1) область K> K _кр называется критической областью. Если значение K _в попадает в критическую область, то гипотеза H ₀ отвергается.

Для уравнения (1) область K < K _кр называется областью принятия гипотезы. Если значение K _в попадает в область принятия гипотезы, то гипотеза H ₀ принимается.

Рисунок 1. иллюстрирует решение уравнения (1). Здесь p_K (x) – известная плотность распределения случайной величины K при условии справедливости гипотезы H ₀.

Пусть выбрано некоторое малое значение вероятности a, по нему определено значение K _кр и по выборочным данным определено значение K _в, которое попало в критическую область. В этом случае гипотеза H ₀ отвергается, но она может оказаться справедливой, просто случайно произошло событие, которое имеет очень малую вероятность a. В этом смысле a есть вероятность непринятия правильной гипотезы H ₀.

Определение. Непринятие правильной гипотезы называется ошибкой первого рода. Вероятность a называется уровнем значимости. Таким образом, уровень значимости – это вероятность совершения ошибки первого рода.

Критическая область, полученная для уравнения (1) и приведенная на рисунке 1., называется правосторонней.

Уравнение (2) определяет левосторонюю критическую область. Ее изображение приводится на рисунке 2.

Отметим, что каждая из заштрихованных фигур на рисунках 1. и 2. имеет площадь, равную a.

Уравнение (3) определяет двусторонюю критическую область. Такая область изображена на рисунке 3. Здесь критическая область состоит из двух частей. В случае двусторонней критической области границы ее частей K _кр1 и K _кр2 определяются таким образом, чтобы выполнялось условие:

P (K £ K _кр) = P (K ³ K _кр) = a / 2.

На рисунке 3. площадь каждой из заштрихованных фигур равна a / 2.

Вид критической области зависит от того, какая гипотеза выдвинута в качестве конкурирующей.

Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу H ₀, когда она верна, то есть совершить ошибку первого рода. Но с уменьшением уровня значимости расширяется область принятия гипотезы H ₀ и увеличивается вероятность принятия проверяемой гипотезы, когда она неверна, то есть когда предпочтение должно быть отдано конкурирующей гипотезе.

Пусть при справедливости гипотезы H ₀ статистический критерий K имеет плотность распределения p ₀(x), а при справедливости конкурирующей гипотезы H ₁ – плотность распределения p ₁(x). Графики этих функций приведены на рисунке 4. При некотором уровне значимости находится критическое значение K _кр и правостороняя критическая область. Если значение K _в, определенное по выборочным данным, оказывается меньше, чем K _кр, то гипотеза H ₀ принимается. Предположим, что справедлива на самом деле конкурирующая гипотеза H ₁. Тогда вероятность попадания критерия в область принятия гипотезы H ₀ есть некоторое число b, равное площади фигуры, образованной графиком функции p ₁(x) и полубесконечной частью горизонтальной координатной оси, лежащей слева от точки K _кр. Очевидно, что b – это вероятность того, что будет принята неверная гипотеза H ₀.

Принятие неверной гипотезы называется ошибкой второго рода. В рассмотренном случае число b – это вероятность ошибки второго рода. Число 1 – b, равное вероятности того, что не совершается ошибка второго рода, называется мощностью критерия. На рисунке 4 мощность критерия равна площади фигуры, образованной графиком функции p ₁(x).и полубесконечной частью горизонтальной координатной оси, лежащей справа от точки K _кр.

Выбор статистического критерия и вида критической области осуществляется таким образом, чтобы мощность критерия была максимальной.

Рассмотрим рекомендацию по использованию статистических критериев из книги О.Ю.Ермолаева «Математическая статистика»

Дополнение. Из книги Г.Секей «Парадоксы теории вероятностей и математической статистики», глава II «Парадоксы статистики»,

§10. Парадокс проверки гипотез

Дата добавления: 2015-08-29