На основании приведенных таблице выборочных данных для дискретной переменной Х:

Задание №1.

На основании приведенных таблице выборочных данных для дискретной переменной Х:

1. Построить вариационный ряд.

2. Построить статистическое распределение выборки и полигон распределения относительных частот.

3. Найти числовые характеристики выборочной совокупности: выборочные среднее и дисперсию, стандартное отклонение (среднеквадратичное), моду, медиану, асимметрию и эксцесс.

Решение.

1, Если упорядочить совокупность исходных данных в убывающем или возрастающем порядке, то получим так называемый ранжированный ряд.

Используем для упорядоченной таким образом совокупности более компактную запись (см. табл. 1) В первой колонке поставим различающиеся по величине варианты, расположив их в возрастающем порядке, во второй - числа, показывающие, сколько раз (или как часто) встречаются отдельные значения вариант (назовем их частотами и обозначим ni).

Полученный ряд называется вариационным. Сведение первичных данных в вариационный ряд облегчает анализ совокупности.

2, При систематизации данных выборочных обследований используются статистические дискретные и интервальные ряды распределения. Статистическим распределением выборки называют последовательность вариант хi и соответствующих им частот ni или относительных частот wi.

Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:

Таблица 1

Nп/п	xi	ni(частота)	доли
относит.Wi	в %
			0,067	6,667
			0,133	13,333
			0,100	10,000
			0,033	3,333
			0,033	3,333
			0,033	3,333
			0,033	3,333
			0,033	3,333
			0,100	10,000
			0,067	6,667
			0,067	6,667
			0,133	13,333
			0,133	13,333
			0,033	3,333
	Σ

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х1,w1),(х2,w2),...,(хk,wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат соответствующие им частоты wi. Точки (хi,wi) соединяют отрезками и получают полигон относительных частот. Используя данные из таблицы строим в программе Exel полигон относительных частот.

Рисунок 1

3. Числовые характеристики: выборочная средняя величина Хв. Величину, определяют формулой

и называют выборочной средней величиной дискретного статистического распределения выборки. Здесь xi - варианта вариационного ряда выборки; ni - частота этой варианты; n - объем выборки (n = Σni). Для расчета удобно воспользоваться программой Exel. Видоизменим таблицу 1, дополнив ее необходимыми данными:

Таблица 2

xi	ni	xi*ni	xi^2*ni
Σ

Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений вариант относительно Х в, которое вычислим по формуле:

Расчет производим в программе Exel с помощью данных из таблицы 2.

Среднеквадратичное отклонение выборки Ϭв. На основе дисперсии вводится среднеквадратичное отклонение, которое измеряет рассеивание выборки X в, но в тех самых единицах, в которых измеряется признак X.

Расчет производим по формуле:

Мода Мо - это наиболее часто встречающийся вариант ряда. В дискретном ряду нахождение моды происходит путем обычного просматривания столбца частот. В этом столбце находим наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. Для этого задания мода равна

Мо = 9, 19 и 20.

Истинность этого доказывает полигон относительных частот, который имеет три вершины.

Медиана Ме называют такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда и делит его на две равные по числу единиц части. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака, превышающие медиану, другая – меньше медианы. В дискретном ряду, состоящем из четного числа единиц совокупности, медиана определяется как средняя из вариант, для этого задания имеющих номера признака 7 и 8, следовательно, пользуясь данными таблицы 1 вычисляем:

Асимметрия – это свойство распределения выборки, которое характеризует несимметричность распределения случайной величины. Асимметрия показывает, в какую сторону относительно среднего сдвинуто большинство значений распределения. В большинстве случаев за нормальное принимается распределение с асимметрией, лежащей в пределах от -1 до +1.

При левосторонней асимметрии ее показатель является положительным и в распределении преобладают более низкие значения признака. При правосторонней – показатель положительный и преобладают более высокие значения. У всех симметричных распределений (в том числе и у нормального распределения) величина асимметрии равна нулю. Формула показателя асимметрии является следующей:

Для расчета воспользуемся программой Exel, данные из таблицы 1 дополним новыми и сформируем таблицу 3.

Таблица 3

Nn/n	Xi	(Xi-Mx)	(Xi-Mx)^2	(Xi-Mx)^3	(Xi-Mx)^4
		1,267	1,604	2,032	2,574
		2,267	5,138	11,646	26,397
		6,267	39,271	246,099	1 542,220
		-5,733	32,871	-188,461	1 080,510
		-6,733	45,338	-305,274	2 055,514
		-4,733	22,404	-106,048	501,959
		-5,733	32,871	-188,461	1 080,510
		1,267	1,604	2,032	2,574
		-4,733	22,404	-106,048	501,959
		-3,733	13,938	-52,034	194,262
		-5,733	32,871	-188,461	1 080,510
		-4,733	22,404	-106,048	501,959
		4,267	18,204	77,672	331,402
		5,267	27,738	146,086	769,384
		-0,733	0,538	-0,394	0,289
		3,267	10,671	34,859	113,873
		0,267	0,071	0,019	0,005
		4,267	18,204	77,672	331,402
		5,267	27,738	146,086	769,384
		5,267	27,738	146,086	769,384
		4,267	18,204	77,672	331,402
		5,267	27,738	146,086	769,384
		-2,733	7,471	-20,421	55,818
		1,267	1,604	2,032	2,574
		3,267	10,671	34,859	113,873
		4,267	18,204	77,672	331,402
		-6,733	45,338	-305,274	2 055,514
		-5,733	32,871	-188,461	1 080,510
		2,267	5,138	11,646	26,397
		-1,733	3,004	-5,208	9,027
Σ			573,867	-520,338	16 431,972

Для обработки данных понадобятся следующие последовательные шаги: вычисление Mx, Ϭ, А, Е по уже известным формулам. Необходимо также определение ошибок репрезентативности асимметрии и эксцесса:

и

В нашем случае

Мы получили отрицательное значение асимметрии, что указывает на сдвиг распределения в сторону больших значений.

Эксцесс является мерой «сглаженности» («остро-» или «плосковершинности») распределения. Показатель эксцесса определяется по формуле:

Для расчета воспользуемся данными из таблицы 3.

Если у распределения 2 и больше вершин, то эксцесс стремится к отрицательной величине, в нашем случае вершины три. Так же отрицательный эксцесс характеризует «островершинное» распределение, график которого более вытянут по вертикальной оси, чем график нормального распределения. Считается, что распределение с эксцессом диапазоне от -1 до +1 примерно соответствует нормальному виду. В большинстве случаев вполне допустимо считать нормальным распределение с эксцессом по модулю не превосходящим 2.

Сравним полученные показатели:

|A|< mA*3 и |Е|< mE*3,

так как оба показателя не превышают в три раза свою собственную ошибку следоватеьно можно заключить, что распределение нормально.

Дата добавления: 2015-08-29