Понятие дифференцируемости функций двух

Понятие дифференцируемости функций двух

переменных. Полный дифференциал.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М (х;у). Приращение функции в точке М:

Функция называется дифференцируемой в точке М (х;у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

где и при . Сумма первых двух слагаемых представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

Производная по направлению. Градиент.

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

Обозначается:

Рассмотрим функцию от n аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции f в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

,

где — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора .

. Поверхности уровня. Уравнение касательной плоскости к поверхности.

Поверхность уровня функции u=f(х, у, z) или поверхность уровня скалярного поля — поверхность, задаваемая уравнением f (х, у, z)=С, где С — постоянная. В точках поверхности уровня функция принимает заданное постоянное значение u = С.

Пусть М – точка поверхности S. Плоскость, содержащая точку М и обладающая тем свойством, что расстояние от этой плоскости до переменной точки M1 поверхности S является бесконечно малым по сравнению с расстоянием ММ1, называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М.

Если поверхность в трехмерном пространстве задана уравнением f(x; y; z) = 0, где функция f достаточное число раз дифференцируема, то уравнение плоскости, касательной к этой поверхности в точке , имеет вид:

,

где – частные производные функции трех переменных f(x; y; z) по этим переменным.

Если же поверхность задана уравнением, разрешенным относительно аппликаты z, т.е. имеет вид z = z(x; y), то уравнение касательной плоскости принимает вид:

(конечно, предполагается, что функция z имеет непрерывные первые частные производные).

77.

Частные производные и частные дифференциалы ФНП.

Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.Частная производная обозначается одним из символов.Аналогично определяется частная производная по y:Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Дата добавления: 2015-08-29