БИЛЕТ 4. Векторное произведение векторов.

БИЛЕТ 4. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:

1. Его длина равна
2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и
3. Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (в этом случае, говорят, что тройка векторов и – правая).

Рисунок 9.6.1.

Векторное произведение обозначается квадратными скобками:

Свойства векторного произведения:

• векторное произведение произвольного вектора на нулевой вектор равно нулевому вектору;
• векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому вектору;
• координаты векторного произведения векторов и следующие
• 

БИЛЕТ 5. Смешанное произведение векторов

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Свойства

§ Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

§ Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

§ Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

БИЛЕТ 9.НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

БИЛЕТ 24.ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.ТЕОРЕМА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ.

Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

ТЕОРЕМА:

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n -мерном пространстве . Пусть — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка , что .

Дата добавления: 2015-08-29