Импульс. Работа. Энергия. Замкнутые системы отсчета. Закон сохранения импульса. Закон сохранения энергии. Закон сохранения момента импульса. Реактивное движение. Формулы Мещерского и Циолковского.

Тема 6 Законы сохранения.

Импульс. Работа. Энергия. Замкнутые системы отсчета. Закон сохранения импульса. Закон сохранения энергии. Закон сохранения момента импульса. Реактивное движение. Формулы Мещерского и Циолковского. Примеры применения законов сохранения.

Импульс материальной точки

Импульс силы. Использование законов динамики позволяет описать развитие механической системы в результате действия на неё внешних сил и взаимодействия составляющих её элементов. Во многих случаях мелкая информация о промежуточных состояниях системы не представляет суще­ственного интереса. Наиболее важной является связь начального и конечного состояний системы. Поэтому в физике большое внимание уделяется поиску физических величин, сохраняющихся неизменными в процессе эволюции системы. Законы сохранения в классической механике могут быть получены из законов динамики Ньютона.

Законы сохранения оказываются справедливыми для явлений различ­ной физической природы — механического движения, теплообмена, про­хождения электрического тока, распространения электромагнитных волн, взаимодействия атомов, ядер, элементарных частиц.

Каждый закон сохранения отражает определённый тип непрерывной симметрии пространства и времени.

Все фундаментальные взаимодействия и соответственно силы, их ха­рактеризующие, реально действуют в определённой области пространства в течение некоторого конечного интервала времени. В случае одномерного движения материальной точки вдоль оси X действующая на нее сила F может зависеть как от координаты точки, так и от времени. Это означает, что сила является функцией координаты и времени: F = F(x, t).

Рассмотрим сначала, как на движение тела влияет длительность дейст­вия силы.

Для упрощения математических оценок будем считать, что:

· модуль силы не зависит от координаты х:

· сила, начиная действовать в момент времени t = 0, остается постоянной, в течение времени ∆t и затем прекращает свое действие, т.е. становится равной нулю при t > ∆t.

Подобная зависимость силы от времени реализуется, например, при выстреле из к-л оружия.

Временной характеристикой действия силы является импульс силы.

Импульс силы — произведение силы и длительности ее действия:

Т.е. — это временная характеристика действия силы, векторная физическая величина.

Вектор импульса силы сонаправлен с вектором силы.

Единица импульса силы — ньютон-секунда (Н • с).

п Импульс силы F∆t численно равен площади прямоугольника со сторонами F и At (рис.). Слово «импульс» (impulsus) в переводе с латинского — толчок.

Импульс тела. Предположим, что до толчка (при t < 0) тело массой т двигалось равномерно со скоростью v₀. Под действием постоянной силы F оно в течение времени ∆t будет двигаться равноускоренно с ускорением а:

Скорость, приобретаемую телом при равноускоренном движении за промежуток времени ∆t, можно найти согласно формуле

Перенося v₀ в левую часть равенства с противоположным знаком и ум­ножая обе части полученного соотношения на т, получаем

Правая часть этого соотношения содержит величины, характеризующие внешнее воздействие на тело (сила, длительность её действия). Левая часть представляет изменение импульса тела, характеризующего движение тела.

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость и имеющая направление скорости:

Согласно этой формуле единица импульса [р] = [т][v] = кг • м/с.

Импульс является фундаментальной и сохраняющейся ха­рактеристикой состояния физической системы.

В начальный момент времени импульс тела р₀ = mv₀, поэтому

Это выражение является более общей формулировкой второго закона Ньютона. Скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе.

Поскольку импульс силы характеризуется произведением силы на время её действия, из этого следует, что аналогичное воздействие на тело может оказать небольшая сила, действующая значительный промежуток времени, и большая сила, которая действует кратковременно.

(равенство площадей)

В случае, когда на тело не действует внешняя сила (F = 0), импульс тела сохраняется: р =р₀.

задача

1. Теннисный мяч, летящий со скоростью v отскакивает от теннисной ракетки, движущейся навстречу мячу со скоростью и. С какой скоростью отлетит мяч после упругого удара о ракетку? [v +2и]

Закон сохранения импульса

Замкнутая система. Рассмотрим систему, состоящую из двух тел, взаимодействующих друг с другом. Такую систему образуют, например, два шара массой т₁ и т₂, движущихся навстречу друг другу с начальной скоростью соответственно (рис.).

Пренебрегая внешними силами, действующими на шары (например, силой тяжести), данную систему тел можно считать замкнутой.

Замкнутая система — система тел, для которой равнодействующая внешних сил равна нулю.

Можно записать

Сократив обе части уравнения на ∆t и перегруппировав слагаемые в обеих его частях, получим закон сохранения импульса:

В правой части равенства содержится суммарный импульс системы в начальный момент времени, а в левой — сумма импульсов тел в произволь­ный момент времени, приобретённых в результате взаимодействия (столк­новения). Это означает, что при столкновении суммарный импульс системы сохраняется.

Закон сохранения импульса-

В инерциальной системе отсчета суммарный импульс замкнутой сис­темы тел остаётся постоянным при любых взаимодействиях тел системы между собой.

Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы. Импульс системы тел могут изменить только внешние силы.

Закон сохранения импульса, полученный из законов Ньютона (справед­ливых для описания движения системы макрочастиц), имеет более широкую область применимости, чем эти законы. Импульс сохраняется и для систем микрочастиц, для которых законы Ньютона неприменимы.

Система называется замкнутой вдоль определённого направления, если проекция равнодействующей внешних сил на это направление равна нулю.

Примером замкнутой системы вдоль горизонтального направления является снайперская винтовка массой т₂ = 6 кг, из которой производится выстрел, и пуля массой т_х = 9 г, вылетающая с начальной скоростью v₁ = 600 м/с (рис.

Система «винтовка — пуля» замкнутая, так как внешние силы (сила тяжести винтовки и пули, сила реакции опоры винтовки) действуют перпендикулярно оси X. До выстрела суммарный импульс неподвижной системы равен нулю. После выстрела проекция суммарного импульса на ось X не изменяется по сравнению с первоначальной. Обозначив через v_1x. и v_2x проекции скорости пули и винтовки на ось X, получим

Из закона сохранения импульса находим

Подставляя в формулу числовые значения, получаем

Знак «минус» означает, что при выстреле в положительном направле­нии оси X винтовка смещается в противоположном направлении: возникает отдача.

Реактивное движение — движение, возникающее при отделении от тела с некоторой скоростью какой-либо его части

Важным примером реактивного движения является движение ракеты. Отделяющейся частью ракеты при таком движении является струя газов, образующихся при сгорании топлива. Когда реактивная струя с большой скоростью выбрасывается из ракеты, то ракета вследствие отдачи устремляется в противоположную сторону.

Работа силы

Работа как пространственная характеристика действия силы. Любая сила действует в определённой области пространства в течение конечного интервала времени и, как мы отмечали ранее, может зависеть как от координаты, так и от времени: F = F(x, t).

Если сила не зависит от координаты и действует на тело в течение вре­мени ∆t, то можно ввести временную характеристику силы (импульс силы) как произведение силы на длительность её действия: F∆t.

Удачный выбор временной характеристики силы позволяет найти изме­нение импульса тела — фундаментальной физической величины, сохра­няющейся в замкнутой системе.

Если сила не зависит от времени и действует на тело, движущееся по оси X, на перемещении ∆х, то мы можем ввести также и пространственную характеристику действия силы — работу.

Работа — скалярная физическая величина, равная произведению проекции силы на ось X на перемещение по этой оси:

Единица работы — джоуль (Дж):

1 Дж = 1 кг • м²/с².

1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н при перемещении на 1 м.

Работа силы численно равна площади прямоугольника со сторонами F_x и ∆х.

Проекция силы F_x в направлении вектора перемещения ∆х равна проекции вектора F на ось X:

F_x = Fcos α,

где α — угол между вектором силы F и вектором перемещения ∆х

Компонента силы F_y, перпендикулярная перемещению, не влияет на движение частицы по оси X и не совершает работу. Подставляя выражение проекции силы в формулу работы, получаем

Работа силы F при перемещении ∆х равна произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.

Сила и перемещение — векторные величины, характеризующиеся как модулем, так и направлением.

Работа — скалярная физическая величина. Знак работы определяется знаком cos а.

Работа силы положительна (А₁ > 0) (рис. а), если угол α острый (0° < а < 90°), cos α > 0

Сила, действующая на движущееся тело со стороны другого тела, совершает работу. Например, гравитационная сила притяжения Земли и сила сопро­тивления воздуха совершают работу при падении капель дождя и метеори­тов. Сила упругости совершает работу при распрямлении сжатой пружины и натянутой тетивы лука.

Работа сил реакции, трения, тяжести. Если на тело действует несколько сил, то полная работа (работа всех сил) равна сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности. Найдем работу сил, действующих на тело массой т (рис.), соскальзывающее с вершины наклонной плоскости (точка 0) к её основанию (точка 1). Угол наклона плоскости к горизонту α, её высота Н, коэффициент трения скольжения μ.

На скользящее тело действуют сила тяжести mg, сила реакции опоры N и сила трения F_Tp.

Работа силы реакции, перпендикулярной перемещению ∆х, равна нулю.

Сила трения, направленная противоположно перемещению, составляет с ним угол 180°, поэтому работа силы трения отрицательна:

Сила тяжести составляет с перемещением угол (90° - α), поэтому её работа

откуда видно, что работа силы тяжести зависит от высоты плоскости и не зависит от угла наклона плоскости.

Соответственно, Работа силы тяжести не зависит от формы траектории при перемещении тела из одной точки в др точку

Тело массой т можно равномерно поднять на высоту H, совершив одну и ту же работу mgH двумя способами:

· приложив силу, равную mg, по вертикали;

· приложив меньшую силу, равную mg 'sin α, вдоль наклонной плоскости.

При этом меньшая сила должна действовать на большем перемещении ∆х = Н/sin а. Наклонная плоскость облегчает подъём тела на определённую высоту, хотя и увеличивает путь.

Для разрезания сыра толщиной 15 см требуется усилие 40 Н. Какая при этом совершается работа? [6 Дж]

Деревянный контейнер массой т = 200 кг равномерно передвинули по деревянному полу на расстояние l = 5м. Найдите работу, совершённую при таком перемещении. Коэффициент трения скольжения μ = 0,5. [4,9кДж]

Потенциальная энергия

Потенциальная сила. Выражение для работы силы тяжести при перемеще­нии тела массой т с высоты Н_х на высоту Н₂ (см. рис. наверху) представим в виде

Из формулы видно, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории. Сила тяжести является потенциальной силой.

Потенциальная сила — сила, работа которой при перемещении материальной точки зависит только от начального и конечного по­ложений точки в пространстве.

Потенциальная энергия в гравитационном поле. Работа силы тяжести равна разности двух величин, называемых потенциальной энергией тела в начальном E_pl = mgH_x и конечном Е_р2 = mgH₂ положениях

Потенциальная энергия тела в данной точке — скалярная физическая величина, равная работе, совершаемой потенциальной силой при перемещении тела из этой точки в точку, принятую за нуль отсчёта потенциальной энергии.

Единица потенциальной энергии — джоуль (Дж).

Работа силы тяжести определяется разностью начальной и конечной высот. Нуль отсчёта потенциальной энергии выбирается произвольно.

Вблизи поверхности Земли в качестве нуля отсчёта удобно выбирать потенциальную энергию на меньшей высоте (из начальной и конечной высот). На рисунке Е_рХ = mgH, Е_р2 = 0.

Работа силы тяжести при перемещении из точки 1 в точку 2 равна

A_g = mgH.

Потенциальная энергия в этом случае характеризует энергию гравитационного притяжения материальной точки к Земле.

Потенциальная энергия материальной точки массой т, поднятой на высо­ту Н над нулём отсчёта,

Е_р = mgH.

При неподвижном удержании человеком груза в поле тяжести Земли совершается работа и рука испытывает усталость, хотя видимое перемеще­ние груза равно нулю.

Причиной этого является то, что мышцы человека испытывают посто­янные сокращения и растяжения, приводящие к микроскопическим пере­мещениям груза.

Полная работа сил, действующих на тело, соскальзывающее с наклонной плоскости, равна (см. рис

где A_g — работа силы тяжести, А,._р — работа силы трения.

Сила трения в отличие от силы тяжести не является потенциальной силой, поэтому в общем случае суммарная работа всех сил, действующих на тело,

А = А_р+А„_р,

где А_р — работа потенциальных сил, А_пр — работа непотенциальных сил.

Принцип минимума потенциальной энергии. Если потенциальная энергия тела в начальном положении больше его потенциальной энергии в конечном положении (Е_р0 > Е_р), то, работа потенциальной силы положительна. Это означает, что угол между силой и перемещением острый. Следовательно, сила имеет компоненту в направлении перемещения, т. е. направлена в сторону убывания потенциальной энергии.

Подобная закономерность имеет общий характер и справедлива не только для гравитационного, но и для любого фундаментального взаимодействия.

Состояние с меньшей потенциальной энергией является энергетически выгодным.

Принцип минимума потенциальной энергии

Любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором её потенциальная энергия минимальна.

Рассмотрим три возможных случая равновесия шара, находящегося на опоре.

Устойчивое равновесие — равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия, возвращается в первоначальное положение.

При отклонении шара из положения равновесия его потенциальная энергия возрастает (рис. а). Сила тяжести возвращает его к положению равновесия, в котором его потенциальная энергия минимальна.

Неустойчивое равновесие — равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия, не возвращается в первоначальное положение (рис. Б).

Безразличное равновесие — равновесие, при котором соседние положения тела также являются равновесными (рис. в).

Если толкнуть тело в любую сторону, то оно, согласно первому закону Ньютона, будет двигаться прямолинейно и равномерно, удаляясь от начального положения.

Кинетическая энергия

Теорема о кинетической энергии. Определим физическую величину, из­меняющуюся при совершении силой работы.

Рассмотрим для этого движение тела массой m, скорость которого изменяется от v₀ до v под действием всех приложенных к нему сил

Работа равнодействующей по­стоянной силы F, совпадающей по направлению с перемещением ∆х,равна

А = F ∆х.

Так как F = та, ∆х =, то А = та

или

Левая часть формулы (работа) является пространственной харак­теристикой внешнего воздействия на тело (систему).

Правая часть содержит изменение физической величины, которая ха­рактеризует энергию движения тела, или кинетическую энергию.

Кинетическая энергия тела — скалярная физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости:

Кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях (Дж). Кинетическая энергия зависит от скорости тела, следовательно, её значение зависит от выбора системы отсчета.

Теорема о кинетической энергии.

Изменение кинетической энергии материальной точки равно работе всех сил, действующих на эту точку:

Теорема о кинетической энергии сводится к равенству

если в начальный момент времени тело неподвижно (v ₀ = 0, E_k0 = 0).

Кинетическая энергия материальной точки массой т, движущейся со скоростью v, равна работе, которую совершает суммарная сила для сообщения покоящейся материальной точке этой скорости.

Мощность

Средняя мощность. Скорость совершения работы характеризуют физиче­ской величиной, называемой мощностью. Подобно введению средней ско­рости в кинематике, в динамике вводят среднюю мощность.

Средняя мощность — скалярная физическая величина, равная от­ношению работы к промежутку времени, за который она совершена:

Единица мощности — ватт (Вт):

1 Вт = 1 Дж/с.

Найдём среднюю мощность автомобиля массой т = 2 т, требуемую для его разгона до скорости v = 108 км/ч = 30 м/с из состояния покоя, за время t = 10 с. (При равноускоренном движении автомобиль набирает такую скорость на расстоянии l = vt/2 = 150 м от места старта.)

Работа, совершаемая двигателем, идёт на увеличение кинетической энергии автомобиля. Используя теорему о кинетической энергии, находим среднюю мощность автомобиля:

Реально для такого разгона автомобиля требуется большая средняя мощность из-за затрат энергии на преодоление сил трения и сопротивления воздуха.

Мгновенная мощность. Подобно введению мгновенной скорости в ки­нематике, в динамике используют понятие мгновенной мощности.

Мгновенная мощность — скалярная физическая величина, равная отношению работы к промежутку времени ∆t, в течение которого она совершена (при ∆t 0).

При перемещении ∆х проекция силы F совершает работу А = F_x∆х.

Мгновенная мощность

Из того, что где v_x — проекция мгновенной скорости на направление перемещения.

Окончательно получаем Р = F_xv_x.

Мгновенная мощность равна произведению скорости тела на проекцию силы, действующей на тело, на направление скорости.

Следовательно, чем больше скорость автомобиля, тем меньшая сила тяги (равная силе трения покоя колес о землю) требуется для её поддержания (при постоянной мощности двигателя):

Закон сохранения механической энергии

Полная механическая энергия. Для системы, в которой действуют потен­циальные силы, удобно ввести понятие полной механической энергии.

Полная механическая энергия системы — сумма её кинетической и потенциальной энергий:

Е = E_k + Е_р.

Полная механическая энергия системы тел определяется положением тел и их скоростью. Поскольку потенциальная энергия зависит от положения тел, т. е. от расстояния между ними, а кинетическая энергия определяется скоростью тел, кинетическая энергия всегда положительна, а потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной (в зависимости от выбора уровня отсчета).

Выясним, как изменяется полная механическая энергия системы при взаимодействии и каковы условия, при которых она сохраняется. Запишем теорему о кинетической энергии, представив работу сил, действующих на тело, в виде суммы работ потенциальных и непотенциальных сил:

Работа потенциальных сил равна разности потенциальной энергии системы в начальном Е_р0 и конечном Е_р состояниях.

Закон изменения механической энергии

Изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил:

где левая часть равенства — изменение полной механической энергии, правая — работа непотенциальных сил.

Механическую систему, в которой отсутствуют непотенциальные силы, называют консервативной.

Консервативная система — механическая система, в которой действуют только потенциальные силы.

В такой системе А_пр = 0.

Целесообразность введения такой физической величины, как полная механическая энергия, подтверждается наличием для неё закона сохранения.

Закон сохранения механической энергии

В замкнутой консервативной системе полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем):

E_k + Е_р = E_k0 + Е_р0.

Закон сохранения полной механической энергии получен из законов Ньютона (справедливых для описания движения системы макрочастиц).

Однако этот закон имеет более широкую область применимости, чем законы Ньютона. Полная механическая энергия сохраняется и для систем мик­рочастиц, для которых законы Ньютона неприменимы.

Закон сохранения механической энергии является следствием однород­ности времени.

Однородность времени состоит в том, что при одинаковых начальных условиях протекание физических процессов не зависит от того, в какой момент времени эти условия созданы.

Потенциальная энергия консервативной системы не может изменяться во времени при неизменной конфигурации системы.

Закон сохранения полной механической энергии предполагает взаимное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно в равных количествах. При этом полная энергия остается неизменной.

С помощью закона сохранения механической энергии значительно проще находить кинематические величины, чем при непосредственном приме­нении законов движения и законов Ньютона.

Рассмотрим примеры таких расчётов.

1.Определение начальной скорости тела, брошенного вертикально.

Найдём начальную скорость v₀, с которой тен­нисист при подаче подбрасывает мяч вертикально.

Обычно теннисист выпускает мяч на высоте у₀ = 2 м от покрытия, подбрасывая его на максимальную высоту у_тax = 3,5 м.

Решение.

Если пренебречь непотенциальной силой сопротивления воздуха, то систему «мяч — Земля» можно считать консервативной. Для консерватив­ной системы выполняется закон сохранения механической энергии:

Примем за нуль отсчёта потенциальной энергии точку бросания мяча (Е_р0 = 0). В этой точке кинетическая энергия мяча массой т равна

Скорость мяча в верхней точке v = 0. Соответственно

Из закона сохранения механической энергии следует, что

,

откуда начальная скорость мяча

Примерно с такой скоростью игроки экстра-класса подбрасывают при подаче теннисный мяч.

2.Скорость тела, брошенного под углом к горизонту, на определённой высоте

Докажем, что снаряды, вылетающие из орудия с начальной скоростью v₀, на одной и той же высоте имеют одинаковую скорость v (рис.)

Решение.

Это следует из закона сохранения механической энергии (за нуль отсчё­та потенциальной энергии принята точка вылета снаряда из орудия):

Эта закономерность справедлива при любой массе снаряда (в отсутствие сопротивления воздуха), так как в этом выражении можно сократить массу. Следовательно,

---

Дата добавления: 2015-08-29