Вычислим элементы матрицы C:

1) Найти матрицу C = A x B.

Дано:

Матрица A:

	-1
	-2

Матрица B:

	-1
-1		-1

Вычислим элементы матрицы C:

c_1,1 = a_1,1b_1,1+a_1,2b_2,1+a_1,3b_3,1
c_1,2 = a_1,1b_1,2+a_1,2b_2,2+a_1,3b_3,2
c_1,3 = a_1,1b_1,3+a_1,2b_2,3+a_1,3b_3,3

c_2,1 = a_2,1b_1,1+a_2,2b_2,1+a_2,3b_3,1
c_2,2 = a_2,1b_1,2+a_2,2b_2,2+a_2,3b_3,2
c_2,3 = a_2,1b_1,3+a_2,2b_2,3+a_2,3b_3,3

c_3,1 = a_3,1b_1,1+a_3,2b_2,1+a_3,3b_3,1
c_3,2 = a_3,1b_1,2+a_3,2b_2,2+a_3,3b_3,2
c_3,3 = a_3,1b_1,3+a_3,2b_2,3+a_3,3b_3,3

c1,1 =

*

+

-1

*

+

*

-1

=

+

-1

+

-3

=

c1,2 =

*

+

-1

*

-1

+

*

=

+

+

=

c1,3 =

*

+

-1

*

+

*

-1

=

+

-1

+

-3

=

-2

c2,1 =

*

+

-2

*

+

*

-1

=

+

-2

+

-4

=

-3

c2,2 =

*

+

-2

*

-1

+

*

=

+

+

=

c2,3 =

*

+

-2

*

+

*

-1

=

+

-2

+

-4

=

-5

c3,1 =

*

+

*

+

*

-1

=

+

+

-4

=

c3,2 =

*

+

*

-1

+

*

=

+

-1

+

=

c3,3 =

*

+

*

+

*

-1

=

+

+

-4

=

-1

Результирующая матрица С:

		-2
-3		-5
		-1

2) Найти (5А-B)*C

(5А-B) = ;

Матрица C:

-1

Найти матрицу D = (5A- B) *C

Вычислим элементы матрицы D:

d_1,1 = a_1,1b_1,1+a_1,2b_2,1+a_1,3b_3,1

d_2,1 = a_2,1b_1,1+a_2,2b_2,1+a_2,3b_3,1

d_3,1 = a_3,1b_1,1+a_3,2b_2,1+a_3,3b_3,1

d1,1 =

*

+

-2

*

+

*

-1

=

+

-6

+

-14

=

d2,1 =

*

+

-9

*

+

*

-1

=

+

-27

+

-19

=

-30

d3,1 =

*

+

*

+

*

-1

=

+

+

-21

=

Результирующая матрица D:

-30

3) ; C^T =[4 3 -1]

Найти матрицу E = C^T x C = A x B

Вычислим элементы матрицы E:

e_1,1 = a_1,1b_1,1
e_1,2 = a_1,1b_1,2
e_1,3 = a_1,1b_1,3

e_2,1 = a_2,1b_1,1
e_2,2 = a_2,1b_1,2
e_2,3 = a_2,1b_1,3

e_3,1 = a_3,1b_1,1
e_3,2 = a_3,1b_1,2
e_3,3 = a_3,1b_1,3

e1,1 =

*

=

=

e1,2 =

*

=

=

e1,3 =

*

-1

=

-4

=

-4

e2,1 =

*

=

=

e2,2 =

*

=

=

e2,3 =

*

-1

=

-3

=

-3

e3,1 =

-1

*

=

-4

=

-4

e3,2 =

-1

*

=

-3

=

-3

e3,3 =

-1

*

-1

=

=

Результирующая матрица E:

		-4
		-3
-4	-3

Задача 2

Дано:
Матрица A:

	-1
	-3	-3

Найти обратную матрицу A ^-1

Припишем справа к исходной матрице единичную. В полученной расширенной матрице, левая часть есть исходная матрица, а правая единичная. Затем, производя элементарные операции над строками расширенной матрицы, будем приводить левую часть расширенной матрицы к единичной. По достижению указанной цели правая часть расширенной матрицы будет содержать матрицу обратную к исходной

Шаг:1
Сформируем расширенную матрицу:

	-1
	-3	-3

Шаг:2

Разделим строку 1 на a1,1 =

Получим матрицу:

	-1
	-3	-3

Шаг:3

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

	-3			-1
	-3	-3

Шаг:4

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

	-3			-1
	-13	-7		-1

Шаг:5

Разделим строку 2 на a2,2 =

-3

Получим матрицу:

					-2
	-13	-7		-1

Шаг:6

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

-13

Вычитаемая строка:

	-13			-13

Модифицированная матрица:

					-2
		-7			-13

Шаг:7

Разделим строку 3 на a3,3 =

-7

Получим матрицу:

					-2
				-5		-2

Шаг:8

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3=

Вычитаемая строка:

				-5		-1

Модифицированная матрица:

					-13
					-2
				-5		-2

Шаг:9

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2=

Вычитаемая строка:

					-1

Модифицированная матрица:

					-1
					-2
				-5		-2

В последней расширенной матрице, левая часть есть единичная матрица, а правая обратная к исходной.

Ответ:

[A] ^-1 =

	-1
	-2
-5		-2

Задание 3. Решить систему уравнений:

Задача:
Найти решение системы уравнений:

x1

-

x2

+

x3

=

-

-

x1

+

x2

-

x3

=

x1

+

x2

+

x3

=

Шаг:1
Сформируем расширенную матрицу:

	-1			-3
-1		-1

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Шаг:2

Разделим строку 1 на a1,1 =

Получим матрицу:

	-1			-1
-1		-1

Шаг:3

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1=

-1

Вычитаемая строка:

-1		-2

Модифицированная матрица:

	-1			-1
		-1

Шаг:4

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1=

Вычитаемая строка:

	-1			-3

Модифицированная матрица:

	-1			-1
		-1

Шаг:5

Разделим строку 2 на a2,2 =

Получим матрицу:

	-1			-1
		-1

Шаг:6

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2=

Вычитаемая строка:

		-1

Модифицированная матрица:

	-1			-1
		-1
				-1

Шаг:7

Разделим строку 3 на a3,3 =

Получим матрицу:

	-1			-1
		-1
				-2

Шаг:8

Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3=

-1

Вычитаемая строка:

		-1

Модифицированная матрица:

	-1			-1
				-2

Шаг:9

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3=

Вычитаемая строка:

				-4

Модифицированная матрица:

	-1
				-2

Шаг:10

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2=

-1

Вычитаемая строка:

	-1			-2

Модифицированная матрица:

				-2

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

x1

=

x2

=

x3

=

-

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

x1

=

x2

=

x3

=

-

Дата добавления: 2015-08-29