Прямой статистический метод

ПРЯМОЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД

ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ (пцб)

При изучении котировки акций за период с 14 января 1999 г. по 15 апреля 1999 г. выбраны ЦБ, которые фигурировали на торгах не менее 10 раз (т.е. продавались регулярно), вычислены их средние цены за неделю, рассчитаны доходности. На основе этой информации определены ожидаемые доходности (как средние по выборке), а также дисперсии (риск) отдельных ЦБ (табл. 1).

Таблица 1. - Характеристики эффективности и риска отдельных ценных бумаг

Ценные бумаги	Средняя эффективность (mj), %	Риск (Vj), %
1) Акции «Днепрошины»	38,82	3204,88
2) Вексель «Укртелекома»	29,65
3) Вексель ОАО «Центральный ГОК»	29,4
4) Акции «Киевэнерго»	1,64
5) Акции «Западэнерго»	3,64	306,199
6) Акции Мариупольского металлургического комбината им. Ильича	6,87	916,323
7) Вексель «Энергоатома»	-

При отборе ЦБ в портфель следует ориентироваться на те ЦБ, у которых наиболее выгодно для инвестора сочетаются ожидаемая доходность и риск. Для оценивания этого сочетания удобно построить диаграмму рассеяния (рис. 1).

Рис. 1. Диаграмма рассеяния величины ожидаемой доходности и риска ЦБ

На основе диаграммы выбор осуществляем следующим образом.

1). Выбирается ЦБ с наибольшей ожидаемой эффективностью (акции Днепрошины).

2). Относительно этой бумаги выбирается следующая: с меньшей эффективностью и меньшим риском (акции Мариупольского металлургического комбината).

3). Относительно второй ЦБ выбирается следующая – акции Западэнерго – и т.д.

Из этих ЦБ и будем составлять портфель (остальные ЦБ не соответствуют приведенным критериям).

По исходным данным вычислены ковариации доходностей рассматриваемых ЦБ (табл. 2).

Таблица 2.

j	Акции	mj	Vj	Доля вложений	Vij	(i,j)
	Днепрошина	38,82	3204,88	Х1	-115,52	(1;2)
	Мариуп.металлург	6,87	916,323	Х2	610,73	(1;3)
	Западэнерго	3,64	306,199	Х3	-11,7	(2;3)

Матрица ковариаций и дисперсий

Построение оптимального портфеля в соответствии с моделью Марковица выполним в матричном виде, используя следующее соотношение: , или

Н =

Н^-1 =

х₁ = 0,0262 m_p – 0,1398

X = х₂ = 0,0247 m_p + 0,3961

x₃ = –0,0509 m_p + 0,7438, или X = a m_p + b,

где a, b – последние столбцы матрицы Н^-1, m_p – ожидаемая (средняя) эффективность портфеля.

Если x_j > 0, то это означает рекомендацию вложить деньги в ЦБ, а если x_j < 0 – рекомендация взять в долг ЦБ. Поскольку в Украине эта операция не применяется, то введем дополнительное требование: x_j ≥ 0.

Вычислим min, max и среднее значение m_p, так чтобы x_j ≥ 0, т.е.

X = a m_p + b ≥ 0.

Из последнего неравенства найдем:

.

Таким образом, , т.е. ,

, т.е. ,

, т.е. .

Итак, эффективность сформированного ПЦБ может изменяться от 6% до 14%.

Структура портфеля при минимальной эффективности будет равна:

,

то есть, при достижении портфелем минимальной эффективности в 6% структура оптимального портфеля следующая: максимальную долю в нем занимают акции Мариупольского металлургического комбината 54,43%; акции Западэнерго занимают долю в 43,86% и акциям Днепрошины принадлежит всего 1,71% вложенных в портфель средств.

Структура оптимального ПЦБ при его максимальной ожидаемой эффективности будет равна:

то есть, максимальная доля принадлежит акциям Мариупольского металлургического комбината 74,19%; в акции Днепрошины следует вложить 22,64% капитала и 3,17% приходится на акции Западэнерго.

Если брать среднее значение ожидаемой эффективности, то получим следующую структуру портфеля:

.

Акции Мариупольского металлургического комбината имеют в нем наибольший удельный вес: 64,31%, Западэнерго – 23,51%, а акции Днепрошины – 12,17%.

Итак, видим, что с увеличением ожидаемой доходности вклады в ЦБ меняются. Доля более эффективных, но и более рискованных акций (Днепрошина) увеличилась с 1,17% до 22,63%, менее эффективных и менее рискованных акций (Западэнерго) – уменьшилась с 43,86% до 3,17%.

Вычислим риски этих портфелей.

,

где ,

,

или

где , ,

В рассматриваемой задаче:

с = 1,4156; d = – 10,0829 l = 156,0625

Риск ПЦБ:

V_{p min} = 146,5267 при

V_{p max} = 292,3595 при

V_{p ср} = 196,7935 при

, , .

Итак, измеренный в СКО минимальный риск портфеля 12,1% при минимальной эффективности в 6%; максимальный риск равен 17,1% при максимальной эффективности в 14%; средний риск 14,03% при средней эффективности в 10%.

Метод ведущих факторов при формировании ПЦБ

В качестве ведущего фактора можно выбрать фондовые индексы, которые можно использовать как индикаторы портфеля акций и ориентиры при оценке эффективности управления портфелями клиентов.

Проследим динамику основных индексов украинского фондового рынка за период с 14.01.99 по 15.04.99 и вычислим их эффективности и степень риска (табл. 3).

Таблица 3. Изменение основных фондовых индексов Украины

с 14 января 1999 г. по 15 апреля 1999г.

	Индексы
Дата	Wood-15	Кас-20(S)	Кас-20(W)	SBPU-30	ProU-50	ПФТС
14.01	-2,81	16,86	2,96	12,15	-0,31	-1,74
21.01	1,927	3,078	-3,31	1,074	-0,44	0,74
28.01	-1,93	-8,19	-11	1,344	5,516	4,063
4.02	-0,43	49,81	22,91	50,79	-2,69	-4,09
11.02	-1,29	6,017	3,401	-0,02	-5,9	1,128
18.02
26.02	-3,05	-8,66	-16,2	-3,33	-8,71	-8,1
4.03	-5,39	4,933	-0,63	-25,1	-6,93	-4,33
.11.03	-3,56	-0,92	-0,63	-1,58	-5,32	-0,83
.18.03	3,69	-1,05	-4,61	-1,75	0,35	1,72
25.03	2,61	1,06	-1	-16,2	-0,77	-2,73
1.04	0,231	4,559	5,555	4,046	-0,21	0,562
8.04	2,771	7,425	3,668	0,905	2,546	7,211
15.04.	-0,67	3,84	2,615	2,093	-0,97	1,616
Средняя эффективность(mj)	-0,56	5,64	0,27	1,74	-1,7	-0,34
Вариация (Vj)	7,11	202,18	77,88	278,42	14,82	14,37

Из табл. 3 видно, что только три индекса имеют положительную эффективность, наибольшая из которых (5,64%) – у индекса Кас-20(S). Наименьшей эффективностью обладает индекс ProU-50 (-1,7%).

Наибольшая дисперсия (степень риска) наблюдается у индексов SBPU-30 (278,42) и Кас-20(S) (202,18), а наименьшая – у Wood-15 (7,11).

Располагая информацией об изменении эффективностей ЦБ за тот же период, что и индексов, можем построить графики зависимостей эффективностей ценных бумаг от эффективностей индексов.

Опыт расчетов, длительное время осуществляемых финансовыми аналитиками, показывает, что уравнения этих зависимостей можно представить в виде:

,

где - эффективность ЦБ j-го вида при нулевой эффективности индекса;

- скорость роста эффективности ЦБ j-го вида в зависимости от роста эффективности индекса;

- эффективность индекса;

- эффективность ценной бумаги j-го вида,

- случайное отклонение.

Оценки параметров уравнения и определяются методом наименьших квадратов.

Ожидаемая эффективность ценной бумаги j-го вида может быть определена по формуле:

,

где - ожидаемое значение ведущего фактора (индекса).

Дисперсию эффективности ценной бумаги j-го вида можно найти следующим образом:

,

отсюда

или ,

где - вариация эффективности ведущего фактора (индекса).

Величина ковариации эффективностей ценных бумаг i-го и j-го видов (i ≠ j) равна:

,

где учитывается независимость F и .

Сформируем оптимальный ПЦБ, используя в качестве ведущего фактора индекс Wood-15.

Таблица4. Взаимосвязь индекса Wood-15 с ценными бумагами

№	Акции	Уравнение зависимости	Коэф.корреляции
	Днепрошина	У = -6,6482 Х + 16,37	-0,5
	Западэнерго	У = 3,9376 Х + 5,7222	0,84
	Киевэнерго	У = 10,068 Х + 6,7514	0,75
	Укрнефть	У = -1,68462 Х + 9,188	-0,16
	Центрэнерго	У = 7,5827 Х + 26,851	0,18
	Векс. Телекома	У = -0,9297 Х + 13,987	-0,1
	Векс.Энеогоатома	У = -0,9297 Х + 13,987	0,38
	Векс.ОАО»Центр.ГОК»	У = -1,6105 Х + 27,918	0,26
	Концерн «Стирол»	У = -2,2363 Х + 10,896	-0,18
	Днепрэнерго	У = 7,5827 Х + 26,851	-0,51
	Мариуп.метал.комбинат	У = 1,9526 Х + 7,1879	0,54

Далее будем рассматривать лишь те ЦБ, у которых , т.е. бумаги с номерами 1, 2, 3, 10, 11.

Рассчитаем их ожидаемую эффективность по формуле:

.

Для Wood-15 = -0,56% (см. табл. 3).

= -6,6482 (-0,56) + 16,37 = 20,09%

= 3,9376 (-0,56) + 5,7222 = 3,52%

= 10,068 (-0,56) + 6,7514 = 1,11%

= 7,5827 (-0,56) + 26,851 = 12,15%

= 1,9526 (-0,56) + 7,1879 = 6,09%

Рассчитаем дисперсию эффективности ценных бумаг по формуле:

Для Wood-15 = 7,11% (см. табл. 3).

=(-6,6482)² ∙ 7,11 = 314,25

= 3,9376² ∙ 7,11 = 110,67

= 10,068² ∙ 7,11 = 720,7

= 7,5827² ∙ 7,11 = 408,52

= 1,9526² ∙ 7,11 = 27,04

Построим по полученным данным диаграмму рассеяния:

По диаграмме легко выявить бумаги, которые следует вводить в портфель – первого и одиннадцатого видов.

Ковариацию эффективностей этих двух видов ценных бумаг вычислим по формуле:

где - коэффициенты из уравнений зависимости эффективностей ЦБ от эффективности индекса.

.

Составим матрицы исходных данных для расчета структуры оптимального портфеля:

№	m	V
	20,09	314,25	-92,297
	6,09	-92,297	27,04

Вычислим минимальное, максимальное и среднее значения m_p так, чтобы доли капитала, вложенные в ценные бумаги, были положительными (x_j ≥ 0), т.е.

X = a m_p + b ≥ 0.

Из последнего неравенства найдем:

.

Таким образом, , т.е. ,

, т.е. ,

, т.е. .

Итак, эффективность сформированного ПЦБ может изменяться от 7% до 20%.

Структура портфеля при минимальной эффективности будет равна:

,

то есть, максимальная доля принадлежит акциям Мариупольского металлургического комбината 93,5%; акциям Днепрошины занимают всего 6,5%.

Структура портфеля при его максимальной эффективности будет равна:

,

то есть, минимальная доля принадлежит акциям Мариупольского металлургического комбината 0,64%; акции же Днепрошины занимают 99,36%.

Структура портфеля при средней эффективности будет равна:

,

то есть, 47,07% – акции Мариупольского металлургического комбината и 52,93% – акции Днепрошины.

Вычислим риски этих портфелей:

C = 2,68308; d = – 0,2671, l = 230,374

V_{p min} = 359,975 при

V_{p max} = 1298,26 при

V_{p ср} = 715,759 при

Таким образом, наиболее рискованным оказался портфель с максимальной эффективностью.

Дата добавления: 2015-08-29