Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

К правильным многогранникам относятся следующие тела: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира. Они считали, что элементы первооснов бытия имеют форму правильных многогранников, а именно: огонь – тетраэдр (его гранями являются четыре правильных треугольника, рис. 1, а); земля - гексаэдр (куб – многогранник, гранями которого являются шесть квадратов, рис. 1, б); воздух – октаэдр (его гранями являются восемь правильных треугольников, рис. 1, в); вода – икосаэдр (его гранями являются двадцать правильных треугольников, рис. 1, г); вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додека­эдра (его гранями являются двенадцать правильных пятиугольников, рис. 1, д). Названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. В переводе с греческого: "Тетра" - четыре; "Гекса" - шесть; "Окто" - восемь; "Икоси" - двадцать, "Додека" - двенадцать. "Эдра" - грань. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона. Правильным многогранникам посвящена последняя XIII книга знаменитых "Начал" Евклида.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи, например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли (1445-1514) "О божественной пропорции".

Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, также увлекавшимся геометрией, был А. Дюрер. В его известной гравюре "Меланхолия" на переднем плане изображен додекаэдр. В 1525 году Дюрер написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.

Иоганн Кеплер (1571-1630) в своей работе "Тайна мироздания" в 1596 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы. Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру, заключалась в следующем: "Земля (имеется в виду орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг сферы Земли опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия". Такая модель Солнечной системы получила название "Космического кубка" Кеплера

Источники: http://geometry2006.narod.ru/Lecture/Regula/RegPol.htm, http://www.math24.ru/platonic-solids.html

http://dok.opredelim.com/docs/index-1964.html

Теорема Эйлера и правильные многогранники

Теорема Эйлера:

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на 2 больше числа рёбер.

С помощью теоремы Эйлера мы можем получить ответ на вопрос:

какие правильные многогранники могут существовать?

1. Пусть количество рёбер правильного многогранника, выходящих из одной вершины, равно m, а гранями являются правильные n -угольники.

2. Выразим входящие в формулу Эйлера величины В (вершины) и Г (грани) через:

Р (ребра), m, n, где n и m — целые числа и m≥3, n= 3; 4 или 5.

3. Так как каждое ребро соединяет две вершины, и в каждой вершине сходятся m рёбер, то 2Р=Вm.

Тогда В=2Рm

4. Так как каждое ребро многогранника содержится в двух гранях, то Гn=2Р.

Тогда Г=2Рn

5. Подставляя полученные выражения для Г и В в формулу Эйлера Г+В−Р=2, получаем

2Рm +2Рn −Р=2

6. Поделив обе части равенства на 2Р, получим

1m +1n −12 =1Р

7. Решим это уравнение при полученном в предыдущем доказательстве значении n= 3 и найдём допустимые значения m.

1m +13 −12 =1Р

1m −16 =1Р

По смыслу Р>0, значит 3≤m≤5.

Таким образом теорема Эйлера разрешает существование следующих правильных многогранников:

1. m=3,n=3,P=6,Г=4 — тетраэдр

2. m=3,n=4,P=12,Г=6 — куб

3. m=3,n=5,P=30,Г=12 — додекаэдр

4. m=4,n=3,P=12,Г=8 — октаэдр

5. m=5,n=3,P=30,Г=20 — икосаэдр

Правильные многогранники в нашем мире:

1. Всем знают вещество хлорид натрия, который более известен как соль, но немногие в курсе, что кристаллы соли являются по форме кубами.

2. Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.

3. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра.

4. монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра

5. кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра

6. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечерня» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

7. Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии.

8. Футбольный мяч представляет собой модель многогранника с 32 гранями, 20 из которых – правильные шестиугольники (белые), а 12 – правильные пятиугольники (чёрные). Такие многогранники называются полуправильными.

Дата добавления: 2015-08-29