РГЗ №2 (примеры решения задач)

РГЗ №2 (примеры решения задач)

Вариант A

Задание 1. Вычислить неопределенные интегралы:

а)	б)	в) ,
г)	д)	е) ,
ж) ,	з) ,	и) .

Решение. а) При вычислении данного интеграла, сделаем подстановку t =5–9ln x, в результате получим

.

б) При вычислении данного интеграла, сделаем подстановку t =5+4 x ¹⁰, в результате получим

.

в) При вычислении данного интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям

.

В данном случае полагаем u = x ²–2 x +4 и dv=e ^{5 x}dx. Тогда получим

.

К последнему интегралу еще раз применим формулу интегрирования по частям. При этом полагаем, что u=x –1, dv = e ^{5 x}dx (если сделать наоборот, то в результате интегрирования вернемся к исходному интегралу):

.

г) При вычислении данного интеграла также воспользуемся формулой интегрирования по частям. В результате получим

.

д) Разложим подынтегральную функцию – правильную рациональную дробь – на сумму простейших дробей:

.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей:

.

Чтобы найти неопределенные коэффициенты A, B, C, придадим переменной x три каких-либо значения (обычно выбирают такие значения, чтобы получались нулевые значения в правой части):

Таким образом,

.

Далее, вычисляем исходный интеграл

.

е) Сделаем подстановку:

.

Тогда

.

Часто подобные интегралы вычисляют путем выделения в числителе производной знаменателя:

.

Следовательно

.

ж) Для вычисления исходного интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку:

.

з) Здесь подынтегральное выражение преобразуется по степенях tg x или ctg x при помощи формул:

, .

В результате получаем

.

и) Для вычисления исходного интеграла применим тригонометрические формулы:

Тогда получим

.

Задание 2. Вычислить определенные интегралы:

а)

б)

в) .

Решение. а) При вычислении данного интеграла, преобразуем подынтегральное выражение

.

б) При вычислении данного интеграла применим метод замены переменной (обратим внимание, что в определенных интегралах, кроме подынтегрального выражения, преобразуются также и пределы интегрирования):

.

в) При вычислении данного интеграла применим метод интегрирования по частям:

.

Задание 3. Вычислить несобственные интегралы:

а) ,

б) .

Решение. а) В данном случае мы имеем интеграл первого рода, т.е. интеграл с неограниченными пределами интегрирования. Тогда

.

Поскольку предел функции sin x при x ®¥ не существует, то данный несобственный интеграл является расходящимся.

б) Подынтегральная функция в точке x =1Î[0;1] имеет бесконечный разрыв, другими словами, возникает деление на ноль. Следовательно, данный интеграл является несобственным интегралом второго рода. Исключая точку разрыва из процесса интегрирования, получим:

,

т.е. данный интеграл сходится и равен 2.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж):

а) y = x ^2+4 x, x–y +4=0,

б) r^2 = 3cos2j,

в) .

Решение. а) Сделаем чертеж.

Определим координаты точек пересечения параболы и прямой, для этого решим совместно уравнения

.

Площадь фигуры ограниченной двумя линиями: сверху графиком функции y ₁(x), а снизу – графиком функции y ₂(x), находится по формуле

б) Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой r=r(j) и двумя полярными радиусами j=a и j=b вычисляется по формуле

.

Сделаем чертеж. Из рисунка видно, что при изменении полярного угла от 0 до p/4 соответствует четверть изменения площади. Тогда

.

в) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

Сделаем чертеж. Вычислим площадь верхней половины эллипса, а затем результат удвоим. Здесь x меняется от – a до a, следовательно, t должно изменяться от p до 0. Таким образом,

.

ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ ИНТЕГРАЛОВ

1. ,	6. ,
2. , a ¹1,	7. ,
2а. ,	8. ,
2б. ,	9. ,
2в. ,	10. ,
3. ,	11. ,
4. ,	12. ,
4а. ,	13. ,
5. ,	14. .

Дата добавления: 2015-08-28