Определение 1. Соответствие, в силу которого каждой паре a, b элементов множества M, взятых в данном порядке, соответствует единственный третий элемент с того же множества M, называется

Группа

Определение 1. Соответствие, в силу которого каждой паре a, b элементов множества M, взятых в данном порядке, соответствует единственный третий элемент с того же множества M, называется алгебраической операцией, определенной в M.

Используя понятие функции, можно сказать короче, что алгебраическая операция, определенная во множестве M, есть функция, определенная на множестве всех упорядоченных пар элементов M, значения которой принадлежат M.

Примерами алгебраических операций могут служить четыре арифметических действия: сложение a + b = c, вычитание a - b = c, умножение a * b = c, деление a: b = c, рассматриваемые хотя бы на множестве всех действительных чисел, причем в случае деления нужно исключить число 0, деление на которое не определено.

Как известно, две или более алгебраических операций могут быть связаны между собою переменой роли данных и искомых элементов. Так, если a + b = c, то c - a = b; если ab = c, то . Эта связь операций выражает понятие обратной операции, которое в общем виде определяется так:

Пусть дана операция, ставящая в соответствие паре элементов a, b из M элемент c. Те две операции, которые получатся из данной путем перемены в ней роли одного из элементов a, b и элемента c (одного из данных элементов с искомым), называются обратными для данной операции.

Таким образом, первая обратная операция паре c, b ставит в соответствие a, а вторая - паре c, a ставит в соответствие b. Как хорошо известно, обратные операции не всегда существуют или не всегда единственны. Так, для натуральных чисел определены операции сложения и умножения, но обратные операции - вычитание и деление - не всегда выполнимы.

Операция называется коммутативной, если ее применение к парам a, b и b, a всегда дает один и тот же результат. Ниже мы увидим, что если для коммутативной операции существует одна из обратных операций, то существует и другая и обе они совпадают. Для некоммутативной операции это уже неверно.

В одном и том же множестве может быть задано несколько алгебраических операций. Желая изучать общие свойства сложения и умножения чисел, мы рассмотрим сначала множества с одной алгебраической операцией. Таким образом, мы приходим к первому из основных понятий современной алгебры, именно к понятию группы.

Определение 2. Непустое множество G называется группой, если в нем определена алгебраическая операция, называемая умножением, которая каждым двум элементам a, b из G ставит в соответствие элемент ab также из G, называемый их произведением, и обладает нижеследующими свойствами:

I. (Закон ассоциативности) a (bc) = (ab) c;

II. (Закон обратимости) Для любых a и b из G уравнения ax = b и ya = b разрешимы в G, т. е. в G существуют элементы c и d такие, что ac = b, da = b. Если групповая операция коммутативна, т. е. ab = ba для любых a, b из G, то группа G называется коммутативной. (коммутативные группы называются также абелевыми)

Приведем несколько примеров групп.

Пример 1. Все целые, все рациональные, все действительные числа являются группами относительно операции сложения чисел, играющего роль групповой операции умножения.

Ни одно из этих множеств не является группой относительно операции умножения чисел, т. к. уравнения 0* x = 1 не имеют решения.

Пример 2. Все рациональные, все действительные числа, исключая число 0, являются группами относительно операции умножения чисел.

Пример 3. Множество G двух элементов e и a с операцией, заданной равенствами ee = aa = e, ea = ae = a, является группой.

Все эти группы коммутативны.

Определение 3. Правило вида f: A->B, ставящее в соответствие каждому элементу множества A какой-либо элемент (или элементы) множества B, называется отображением из A в B.

Пример: A - множество футбольных команд, B - множество населённых пунктов; каждой футбольной команде ставится в соответствие пункт, где находится её родной стадион (ну или стадион, где она официально играет "на своём поле", если нет собственного стадиона).

Если какому-либо элементу множества A соответствует более одного элемента множества B, то отображение многозначное.

Пример: многозначного изображения можно привести следующий. Пусть A - множество олигархов, B - множество особняков. Есть олигархи, владеющие несколькими особняками. Тогда отображение, ставящее в соответствие каждому олигарху его особняки, является многозначным.

Мы будем, как правило, рассматривать однозначные отображения. Отображение из A в B однозначное, если всякому элементу из A поставлен в соответствие только один элемент из B.

Пример однозначного отображения: пусть есть воинская часть, в ней множество солдат и множество батальонов. Отображение, ставящее в соответствие солдату батальон, в котором он числится, однозначное. Заметим, что определение однозначного отображения из A в B не запрещает ситуаций, когда двум разным элементам множества A соответствует один и тот же элемент из B. Ярко видно это по примеру с солдатами.

Если разные элементы множества A отображаются в разные элементы множества B, то есть нет случаев, когда двум элементам из A соответствует один и тот же элемент из B, то отображение из A в B - инъективное.

Пример: пусть множество A - множество государств, множество B - множество существующих городов. Отображение, ставящее в соответствие государству его столицу, - инъективное.

А вот в примере с солдатами отображение из множество солдат во множество батальонов - неинъективное. Важное свойство инъективных отображений: пусть A и B - множества с конечным числом элементов, причём в А больше элементов, чем в B. Тогда не может существовать инъективных отображений из A в B. Скажем, A - множество морковок, B - множество ящиков. В соответствие морковке ставится ящик, куда мы её кладём. Если морковок больше, чем ящиков, мы же не можем избежать того, что в каком-то ящике будет хотя бы две морковки? Это нехитрое свойство по-умному называется принципом Дирихле.

Инъективные отображения применительно к современным технологиям важны тем, что только такие отображения могут применяться для кодирования информации. Если несколько кодируемых сообщений имеют одинаковый код, возникнет неоднозначность при декодировании, иногда мы не сможем восстановить, что было закодировано.

Отображение из A в B, при котором в каждый элемент из B отображается хотя бы один элемент из A, называется сюръективным. Пусть A - множество голов, забитых на футбольном турнире, B - множество игроков - участников турнира. Отображение, ставящее в соответствие голу игрока, который его забил, не является сюръективным, если некоторые игроки вообще не забили ни одного гола (например, почти стопроцентно это вратари).

Важное свойство сюръективных отображений: пусть A и B - множества с конечным числом элементов, причём в А меньше элементов, чем в B. Тогда не может существовать сюръективных отображений из A в B. Опять пример про морковки и ящики, но теперь ящиков больше, чем морковок. Тогда выходит, что какой-то ящик будет пустым.

Заметим ещё, что инъективность и сюръективность заранее никак не связаны: ни одно из этих свойств не обязывает, чтобы было другое.

Если отображение одновременно инъективное и сюръективное, то оно биективное. В этом случае говорят, что между множествами установлена биекция (или взаимно однозначное соответствие). Каждому элементу из A соответствует один элемент из B, и никакому другому элементу из A не соответствует этот же элемент из B, при этом нет таких элементов из B, в которые не отображается кто-то из A. Пример: отображение из множества государств во множество столиц, ставящее в соответствие государству его столицу.

Пример 4. Пусть G - множество всех взаимно однозначных отображений множества M на себя. Образ элемента при отображении будем обозначать через as. Произведением st двух отображений s и t из G назовем отображение, полученное в результате последовательного выполнения данных отображений (сначала s, затем t), т. е. полагаем

a (st) = (as) t

для любого (Можно под произведением st понимать выполнение сначала t, а затем s. Тогда образ элемента a при отображении s удобнее обозначить через sa.) При таком определении операции умножения множество G является группой. В самом деле, закон ассоциативности I выполнен, так как если r, s, t - три любых элемента из G, то для любого a из M находим:

a [ r (st)] = (ar)(st) = [(ar) s ] t.

Но также

a [(rs) t ] = [ a (rs)] t = [(ar) s ] t.

Таким образом,

a [ r (st)] = a [(rs) t ]

для любого a из M. Это значит, что r (st) = (rs) t (оба отображения получаются в результате последовательного выполнения данных отображений r, s, t).

Докажем выполнение в G закона обратимости II. Пусть s и t - любые отображения из G. Для взаимно однозначного отображения s существует также взаимно однозначное обратное отображение s ^-1. Именно, если as = b, то bs ^-1 = a. Очевидно, что ss ^-1 = s ^-1 s = e, где e - тождественное отображение множества M на себя, и что ex = xe = x для любого отображения x из G. Предположим, что в G существует отображение u такое, что su = t. Умножая это равенство слева на s ^-1, получим:

s ^-1(su) = s ^-1 t.

По закону ассоциативности найдем: s ^-1(su) = (s ^-1 s) u = eu = u, т. е. u = s ^-1 t. Итак, уравнение sx = t может иметь решение лишь s ^-1 t. Но это отображение действительно удовлетворяет уравнению sx = t, так как

s (s ^-1 t) = (ss ^-1) t = et = t.

Аналогично доказывается, что уравнение ys = t имеет единственное решение y = ts ^-1.

Итак, G - группа. Она называется группой преобразования множества M. Для конечного M группа G называется также группой подстановок множества M.

Если M содержит более двух элементов, то группа подстановок G не коммутативна. Так, группа подстановок трех чисел 1, 2, 3 содержит шесть элементов. Обозначая каждую подстановку двумя строками, где под каждым числом стоит число, ему соответствующее, запишем их в виде

Перемножая, находим:

и ,

т. е. произведение меняется при перемене порядка сомножителей.

Группы подстановок имеют большое значение в алгебре. с ними связано решение вопроса о разрешимости уравнения в радикалах, данное французским математиком Эваристом Галуа (1811-1832).

Следствия из законов ассоциативности и коммутативности. Закон ассоциативности I позволяет говорить о произведении трех элементов a, b и c группы G, понимая под этим любое из равных произведений a (bc) и (ab) c, и писать рядом abc без скобок. Можно, однако, и без закона ассоциативности индуктивно определить произведение

для любых n элементов a ₁, a ₂,..., a_n из G. Именно:

Определение 4. для любого элемента a ₁ из G; .

Согласно этому определению имеем, например:

a ₁ a ₂ a ₃ = (a ₁ a ₂) a ₃,

a ₁ a ₂ a ₃ a ₄ = [(a ₁ a ₂) a ₃] a ₄,

a ₁ a ₂ a ₃ a ₄ a ₅ = {[(a ₁ a ₂) a ₃] a ₄} a ₅ и т. д.

Произведение двух произведений также можно представить в виде произведения всех встречающихся элементов, а именно:

(a ₁ a ₂... a_m)(a_{m +1} a_{m +2}... a_n) = a ₁ a ₂... a_n

или в сокращенной записи:

(1)

Докажем равенство (1) при заданном m индукцией по n. При n = 1 оно вытекает прямо из определения 3. Если (1) верно для числа n, то, применяя определение 3 и закон ассоциативности, находим:

что и доказывает (1) для числа n + 1.

Можно определить произведение любого конечного числа элементов группы с любым распределением скобок и доказать его независимость от распределения скобок.

Для коммутативной группы G произведение n элементов не зависит от порядка сомножителей, т. е. если f (i) - любое взаимно однозначное отображение множества 1, 2,..., n на себя, то

(2)

Наметим лишь ход доказательства. 1) Пользуясь правом вводить и отбрасывать скобки и законом коммутативности, доказываем, что произведение n элементов не меняется от перестановки двух соседних множителей. 2) Перестановку двух любых множителей сводим к ряду перестановок соседних множителей. 3) Любую перестановку множителей сводим к ряду перестановок двух множителей.

Следствия из законов обратимости. Заметим, что свойство II еще не означает наличия в G операций, обратных умножению, так как II утверждает лишь существование, но не единственность элементов c и d. Для доказательства единственности этих элементов введем понятия единицы и обратного элемента.

Определение 5. Единицей группы G называется элемент e такой, что ea = ae = a для любого a из G. Обратным для элемента a из G называется элемент a ^-1 такой, что aa ^-1 = a ^-1 a = e, где e - единица группы G.

Теорема 1. В любой группе G существует единица e и притом только одна; для любого элемента a существует обратный элемент a ^-1 и притом только один; существующие по закону обратимости II решения уравнений ax = b и ya = b являются единственными для любых a и b из G.

Доказательство. Пусть e - решение уравнения yb = b для некоторого b из G, т. е. eb = b. Для любого a уравнение bx = a имеет решение c, т. е. bc = a. Тогда

ea = e (bc) = (eb) c = bc = a.

Итак, ea = a для любого a из G. Так же доказывается существование в G элемента e' такого, что ae' = a для любого a из G.

Тогда e = ee' = e'. Итак, e - единица группы G. Если e ₁ и e ₂ - две единицы, то e ₁ = e ₁ e ₂ = e ₂, чем доказана единственность единицы e.

Далее, по закону обратимости II существуют элементы b и c, для которых ba = e и ac = e. Тогда b = be = b (ac) = (ba) c = ec = c, т. е. b = c.

Итак, элемент a ^-1 = b обладает свойством aa ^-1 = a ^-1 a = e, т. е. является обратным для a. Если b и c - два любых элемента, обратных для a, то, как выше, докажем, что b = bac = c, чем доказана единственность обратного элемента.

Если c ₁ и c ₂ - любые решения уравнения ax = b, то ac ₁ = b и ac ₂ = b. Значит, ac ₁ = ac ₂. Умножая слева на a ^-1, найдем c ₁ = c ₂. Так же доказывается единственность решения уравнения ya = b. Теорема доказана.

Заметим, что из существования во множестве G единицы и обратных элементов при наличии закона ассоциативности следует выполнение в G законов обратимости. В самом деле, уравнение ax = b имеет решение a ^-1 b и уравнение ya = b имеет решение ba ^-1. Таким образом, группу можно было бы определить как множество с ассоциативной операцией, обладающее единицей и обратными элементами.

В примере 1 групп чисел по сложению единицей будет число 0 и обратным элементом для числа a - противоположное число - a. В примере 2 групп чисел по умножению единицей будет число 1 и обратным элементом для числа a - обратное число . В примере 3 единицей будет e и каждый из элементов e и a будет обратным для самого себя. В примере 4 единицей будет тождественное отображение множества M на себя, и обратным элементом для отображения s будет обратное отображение s ^-1.

Произведение n одинаковых сомножителей a называется n -й степенью a и обозначается aⁿ.

Это определение имеет смысл для любого натурального числа n. Для n = 0 определяем a ⁰ = e, где e - единица группы G. Для целого отрицательного n = - m степень aⁿ = a ^-m можно определить либо как (a ^-1) ^m, либо как (a^m) ^-1. Оба эти определения эквивалентны, так как

откуда (a ^-1) ^m = (a^m) ^-1.

Свойство произведения (1) при совпадении сомножителей обращается в известное свойство степени

a^maⁿ = a^{m + n} . (3)

Далее, индукцией по n легко доказать, что

(a^m) ⁿ = a^mn. (4)

Для коммутативных групп из возможности перестановки сомножителей (2) следует:

(ab) ⁿ = aⁿbⁿ. (5)

Мы указали, как равенства (3), (4) и (5) доказываются для натуральных чисел m и n, однако эти равенства остаются верными для любых целых чисел m и n, что можно проверить путем рассмотрения всевозможных случаев .

Из однозначности решений уравнений ax = b и ya = b следует наличие в группе G обеих обратных операций для операции умножения. В случае коммутативной группы G обе эти обратные операции совпадают. В самом деле, если c - решение уравнения ax = b, то ac = b. Значит, ca = b, т. е. c - решение уравнения ya = b.

Определение 6. Операция, обратная для операции умножения в коммутативной группе G, называется делением. Ее результат для элементов a и b, т. е. решение уравнений ax = b и ya = b, называется частным элементов b и a и обозначается через b: a или .

Аддитивная запись. Групповая операция может обозначаться через a + b и называться сложением. Тогда говорят об аддитивной записи группы. В этом случае группа обычно предполагается коммутативной. При аддитивной записи вместо 1 говорят о нуле и вместо обратного элемента a ^-1 о противоположном элементе - a. Далее, вместо степени aⁿ говорят о кратном na (не следует понимать na как произведение n и a, т. к. целое число может и не быть элементом группы G). Итак,

Для аддитивно записанной группы G сумма n элементов обозначается так:

и соответственно изменяется вид равенств (1) - (5).

В частности, равенства (3) - (5) принимают вид

(m + n) a = ma + na, (6)

m (na) = (mn) a, (7)

n (a + b) = na + nb. (8)

Операция, обратная операции сложения в аддитивно записанной коммутативной группе, называется вычитанием, а ее результат для элементов a и b, т. е. решение уравнений a + x = b и y + a = b, называется разностью элементов b и a и обозначается через b - a.

Подгруппа. Подмножество H группы G называется подгруппой этой группы, если оно само является группой при той же групповой операции, что и в G.

При выяснении того, является ли данное подмножество H подгруппой, можно пользоваться следующей теоремой:

Теорема 2. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда 1) произведение двух любых элементов a и b из H принадлежит H, 2) элемент a ^-1, обратный для любого элемента a из H, принадлежит к H.

Доказательство. Необходимость этих условий очевидна. Если, обратно, для H выполнены условия 1) и 2), то H (как непустое множество) содержит элемент a, значит, по свойству 2) оно содержит и a ^-1 и по свойству 1) aa ^-1 = e. Таким образом, H содержит единицу e и вместе с любым элементом a содержит обратный элемент a ^-1. Так как закон ассоциативности автоматически переходит с G на H, то H - подгруппа группы G.

Упражнения:

1. Выяснить, какими свойствами обладает операция ∗ на множестве M, если

а) M = N, x ∗ y = x^y

б) M = N, x ∗ y = НОД(x, y);

в) M = N, x ∗ y = 2xy;

г) M = Z, x ∗ y = x − y;

2. Какие из указанных числовых множеств с операциями являются

группами: а) (G, +), где G = N, Z, Q, R;

б) (G, ·), где G = N, Z, Q, R;

в) (G∗, ·), где G = N, Z, Q, R (здесь G∗ = G\{0});

г) (nZ, +), где n ∈ N;

д) ({−1, 1}, ·);

Дата добавления: 2015-08-28