Даны два вектора = и = . Найти угол между векторами и , а также .

Решение задачи 4.1

Даны два вектора = и = . Найти угол между векторами и , а также .

Используя определения нормы и угла между векторами, находим:

; ;

Скалярное произведение векторов , тогда

.

Имеем также: . По определению из лекции:

.

Решение задачи 4.2

При каком значении вектор = ортогонален вектору = ? При каких значениях x и y векторы и параллельны?

Согласно определению векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда . Имеем:

Векторы и коллинеарны, если координаты этих векторов пропорциональны. Имеем: Отсюда

.

Решение задачи 4.3

Вычислить площадь и высоту треугольника с вершинами A (7;3;4), B (1;0;6) и C (4;5;7).

Площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Из лекции следует, что площадь параллелограмма равна . Таким образом, . По формуле из лекции вычислим векторное произведение:

.

Тогда .

Найдем высоту треугольника, опущенную из вершины (сделать самостоятельно чертеж): , т.к.

Решение задачи 4.4

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках , , и . Вычислить: а) объем пирамиды; б) высоту, опущенную из вершины

Применяя геометрический смысл смешанного произведения из лекции, имеем:

, где = .

Вычисляем смешанное произведение векторов:

.

Поскольку , то нужно вычислить :

Решение задачи 4.5

Выяснить, лежат ли точки D (1;0;1), E (0;1;–3)в плоскости ABC, где A (5;–3;0), B (–4;3;3), C (–4;2;4).

Рассмотрим векторы . Следующие утверждения равносильны:

1) четыре точки лежат в одной плоскости;

2) векторы лежат в одной плоскости, то есть компланарны;

3) объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен нулю;

4) .

Имеем:

.

Вычисляем смешанное произведение . Таким образом, точка лежит в плоскости .

Вычислим теперь . Здесь смешанное произведение . Следовательно, точка не лежит в плоскости .

Дата добавления: 2015-08-28