1. Общие уравнения , где и - нормальные векторы плоскостей, пересечение которых и дает прямую, т.е. .

Прямая в пространстве

1. Общие уравнения , где и - нормальные векторы плоскостей, пересечение которых и дает прямую, т.е. .

2. Канонические уравнения: , где - направляющий вектор прямой (параллелен прямой) и , т.е. в качестве направляющего вектора прямой можно взять векторное произведение векторов нормалей.

3. По двум точкам и : , т.е. в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор .

4. Параметрические уравнения: ,

где - направляющий вектор прямой и - точка, лежащая на прямой.

Угол между (двумя) прямыми: ,

где и - направляющие векторы прямых, т.е. угол между направляющими векторами.

Расстояние от точки до прямой ; для этого решается совместно система уравнений прямой и перпендикулярной плоскости, проходящей через точку , от которой до прямой вычисляется расстояние, в смысле расстояния от точки до основания ее перпендикуляра на этой прямой: , решение этой системы – точка , тогда расстояние

Расстояние от прямой до плоскости : берем произвольную точку на прямой, например, и вычисляем расстояние от точки до плоскости по формуле , если прямая параллельна плоскости; если прямая пересекает плоскость, то расстояние равно нулю.

Расстояние от прямой до прямой (скрещивающиеся, в остальных случаях расстояние равно нулю):

; Условие параллельности (двух) прямых: , т.е. ;

Условие перпендикулярности (двух) прямых: , т.е.

Плоскость в пространстве

1. Общее уравнение , где - нормальный вектор плоскости, перпендикулярен плоскости.

2.. По точке и нормальному вектору: , где .

3. По трем точкам: , вытекает из условия компланарности трех векторов.

4. Уравнение в отрезках: , где - отрезок, отсекаемый плоскости от оси ,

- отрезок, отсекаемый плоскости от оси , - отрезок, отсекаемый плоскости от оси .

5. Нормальное уравнение , нормирующий множитель - , знак выбирается противоположным знаку , - расстояние от начала координат до плоскости, направляющие косинусы нормали , , .

Угол между (двумя) плоскостями: ,

где и - нормальные векторы плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости: или .

Условие параллельности (двух) плоскостей: , т.е. .

Условие совпадения (двух) плоскостей: .

Условие параллельности (двух) плоскостей: , т.е. .

Умножение векторов

Пусть даны векторы: , и

I. Скалярное – это число, равное , через координаты перемножаемых векторов: . Свойства 1) 2)

II. Векторное – это вектор , равный:

а) длина которого , б) и , в) из конца результирующего вектора поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки.

Через координаты перемножаемых векторов: .

Геометрический смысл – модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, как на сторонах.

Свойства 1) - антикоммутативность. 2) .

III. Смешанное – число, равное

Свойства 1) 2)

Геометрический смысл – модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах, как на ребрах.

Дата добавления: 2015-08-28