Глава 1 приближение функций

ГЛАВА 1 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Здесь рассмотрим наиболее широко используемые способы вычисления приближенных значений функции и её производных в случае, когда известны значения функции в некоторых фиксированных точках. Множество этих точек иногда задается нам внешними обстоятельствами, а иногда мы можем их выбрать по своему усмотрению.

Наличие большого количества различных способов приближения функций обусловлено многообразием различных постановок проблемы. Например,

1. простейшая задача, приводящая к приближению функций, такова: в дискретные моменты времени x₁,..., x_n наблюдаются значения функции f(x); требуется восстановить ее значения при других x. Такая задача возникает, когда по ходу вычислений на ЭВМ приходится многократно вычислять одну и ту же сложную функцию в различных точках. Иногда целесообразнее вместо такого непосредственного вычисления найти значения этой ф-ции в отдельных выбранных нами точках, а в других точках вычислять по простым формулам, использую информацию об уже известных значениях.

Иногда приближающую функцию целесообразно искать в виде

f(x) ≈ g(x; a₁, …, a_n).

Если параметры a₁, …, a_n определяются их условия совпадения f(x) и приближающей функции в точках x₁,..., x_n (узлах интерполяции),

f(x_j) = g(x_j; a₁, …, a_n ), j=1, …, n,

то такой способ приближения называют интерполяцией или интерполированием.

2. пусть y₁ – наименьший из узлов интерполяции x_j, а y₂ – наибольший из них. Если точка x, в которой вычисляется значение f(x), лежит вне отрезка [ y₁, y₂ ], то наряду с термином интерполяция употребляют термин экстраполяция.

Например, известно поведение какой-либо переменной (температура, рост производства или потребления продукта, рост народонаселения…) до данного момента времени и требуется высказать суждение о ее дальнейшем поведении.

Задаются моментами времени. Строят интерполирующую функцию. Ее значение в какой-то будущий момент принимают за прогнозируемое (экстраполируемое) значение искомой величины. При этом, если узлы интерполяции далеки от момента прогноза, то слабо используется информация о поведении переменной в последнее время. Если узлы выбраны очень близко, то увеличивается роль погрешностей в используемой информации.

Таким образом, вопрос о выборе узлов непрост, особенно в задачах, где значения исследуемой функции зависят от многих случайных или трудно учитываемых факторов (для прогноза погоды, урожайности, медицины… требуется применять более сложные статистические методы)

3. наиболее часто используется интерполяция алгебраическими многочленами. Однако, это не единственный вид интерполяции. Иногда удобнее приближать функции тригонометрическими полиномами. Есть задачи, в которых целесообразнее приближать многочленом не саму f(x), а ln(f(x)), или приближать f(x) не многочленом от x, а многочленом от ln x. Часто используется интерполяция дробно-рациональными функциями.

4. предположим, что известен вид хорошего приближения функции, но, в то же время, измеряемые значения функции содержат большие погрешности. Требуется получить наилучшее в определенной норме приближение при минимальном числе измерений. Это еще одна задача приближения функций, часто возникаюшая в задачах планирования экспериментов.

5. задача приближения появляется при составлении стандартных программ вычисления элементарных и специальных функций. Обычно это позволяет резко уменьшить объем вычислений. При этом рассматриваются все функции g(x), программа вычисления которых требует некоторого фиксированного объема памяти ЭВМ, такие, что некоторая норма погрешности ║ f - g ║ не превосходит ε. Среди всех таких функций требуется выбрать ту, вычисление которой требует минимальных затрат времени.

6. при задании функции графиком или сложным аналитическим выражением возникают вариационные задачи других типов. Например, пусть решено разбить исходный отрезок [ a, b ] на l частей:

[ a_i-1 , a_i ], i=1, …, l, a₀= a, a_l= b,

и на каждом отрезке [ a_i-1 , a_i ] приближать функцию многочленом степени n_i. Среди таких

способов приближения отыскивается оптимальный в том или ином смысле. Чаще всего

заранее накладывается требование n_i ≡n, фиксируется число отрезков разбиения l и

проводится оптимизация метода по a₁, …, a_l-1. В частном случае l=1 возникает задача

наилучшего приближения многочленами.

§ 1 Постановка задачи интерполирования.

Чебышёвские системы функций.

Предположим, что функция f(x) трудно вычислима. Хотим приблизить f(x) какой-то

более простой функцией

f(x) ≈ g(x; a₀, …, a_n). (1)

Пусть x₀ , x₁,..., x_n – попарно различны (могут быть и комплексными).

Def 1

Интерполяцией назовем способ приближения вида (1), при котором

f(x_j) = g(x_j; a₀ , …, a_n ), j=0, …, n. (2)

При этом попарно различные точки x₀ ,..., x_n называются узлами интерполяции.

Параметры приближения a₀ , …, a_n определяются из условия (2).

Но! В общем случае не любая задача интерполирования разрешима.

Перейдем к общему способу приближения функций обобщенными полиномами.

Пусть F – вещественное линейное нормированное пространство вещественных функций наотрезке [a, b]. Будем приближать функции из F функциями также из F.

В качестве приближающих функций будем брать конечные линейные комбинации функций некоторой последовательности

Последовательность будем называть координатной системой или просто системой.

Def 2

Линейную комбинацию

(3)

где - система линейно-независимых на [a, b] функций (иначе, в (3) количество функций можно уменьшить) будем называть обобщенным многочленом, построенным по функциям системы .

Параметрами приближения являются коэффициенты a₀ , …, a_n обобщенного многочлена. Они входят в представление линейно, поэтому приближения вида (3) называются линейными приближениями.

Приведем требования к системе функций:

Простота, т.е., чтобы обобщенные многочлены, построенные по функциям этой системы, просто дифференцировались, интегрировались, просто было найти их значения и значения производной в любой точке [a, b].

Полнота системы функций в F. То есть, (существует такой обобщенный многочлен φ(x) вида (3)), что ║ f-φ ║≤ε.

Линейная независимость (т.е. линейная независимость любой ее конечной подпоследовательности).

Важнейшими примерами систем являются алгебраическая и тригонометрическая системы.

Алгебраическая система состоит из функций - степеней икса.

Так что обобщенным многочленом, построенным по n+1 первым функциям такой системы является алгебраический многочлен степени n:

Требование простоты такой системы выполняется.

Выполнение требования полноты такой системы в пространстве F= C[a,b] гарантирует

Теорема Вейерштрасса:

Если функция f(x) непрерывна на конечном замкнутом [a,b], то существует такой алгебраический многочлен P(x), что | f(x) – P(x) | ≤ ε

И тогда, если норму в C[a,b] определить как:

║ f ║= max | f(x) | по всем x из [a,b]. Тогда теорема Вейерштрасса утверждает полноту алгебраической системы.

Линейная независимость такой системы на [a,b] следует из основной теоремы алгебры, что алгебраический многочлен степени m имеет не более m корней.

Тригонометрическая система состоит из функций

1, cos(kx), sin(kx),k=1,2…

При этом, обобщенный многочлен, построенный по первым 2n+1 функциям этой системы, является тригонометрическим многочленом степени n:

Простота тригонометрической системы ясна.

Тригонометрическая система полна в линейном нормированном пространстве, непрерывных на всей вещественной прямой 2π- периодических функций, в котором норма определена равенством: ║ f ║= max | f(x) | по всем x из [0, 2π ].

Итак, в качестве приближающих функций условимся брать обобщенные многочлены.

Перед нами стоит задача интерполирования функции f(x) обобщенным многочленом φ(x), тогда условие (2) примет вид:

(4)

Решить задачу интерполирования, значит найти параметры a₀ , …, a_n.

(4) – это система линейных уравнений относительно неизвестных a_{k .}

Рассмотрим определитель системы (4):

Если Δ≠0, то система (4) имеет единственное решение.

Если Δ=0, то это означает, что существует нетривиальная линейная комбинация столбцов определителя, в котором точки x₀ ,..., x_n попарно различны и из [a, b], дающая нулевой результат:

Т.е. , такая, что

Каждое уравнение этой системы в виду (3) означает, что для всех k=0,1…n φ(x_k)=0.

То есть, обобщенный многочлен, построенный по n+1 функции, имеет на [a,b] n+1 корень.

Мы этого не хотим, следовательно, это нужно запретить для однозначной разрешимости задачи интерполирования обобщенными многочленами. Поэтому возникает понятие чебышёвской системы.

Def 3

Конечная система из n+1 непрерывных на [a, b] функций называется чебышёвской, если любой, отличный от тождественного нуля обобщенный многочлен вида (3), построенный по этой системе, имеет на [a, b] не более n корней.

Note 1

Заметим, что если обобщенный многочлен, построенный по чебышёвской системе из n+1 функции, обращается в ноль в n+1 точке отрезка [a, b], то он равен нулю ТОЖДЕСТВЕННО.

Note 2

В частности, если система чебышёвская, то она линейно независима.

ПРИМЕРЫ:

Вернемся к рассмотренным ранее системам функций и определим, чебышёвские ли они.

Алгебраическая система является чебышёвской на любом отрезке [a, b], так как алгебраический многочлен степени n имеет не более n корней.

Тригонометрическая система является чебышёвской на [0, 2π). Так как в данном случае обобщенный многочлен по 2n+1 функции системы – это тригонометрический многочлен степени n и имеет на [0, 2π) не более (2n+1)-1= 2n корней.

---

Дата добавления: 2015-08-28