Найти решение уравнения

2001/2002 24

7…	Найти решение уравнения , . При каких и решение существует? Каково множество характеристических чисел[1] сопряженного ядра[2]?

& $! Уроев стр. 292 –302 (пример 1 стр.300 –302)

 Ядро интегрального уравнения Фредгольма II рода является вырожденным

, (1)

поэтому будем действовать по следующей схеме:

= .

Для коэффициентов и справедливы следующие равенства:

= = = [3] = ,

= = = [4] = .

‚ Итак, решение ИУ (интегрального уравнения) эквивалентно решению системы уравнений:

. (2)

ƒ Т. к. основная матрица системы (2) равна единичной, то

Þ решение и![5] при любом для всех .

m

I способ Множество характеристических чисел сопряженного ядра пусто: т.к. решение интегрального уравнения при любом существует для любой , то по альтернативе Фредгольма[6] ядро ИУ не имеет характеристических чисел. Следовательно, по первой теореме Фредгольма[7] сопряженное ядро тоже не имеет характеристических чисел.

II способ Составляем сопряженное ядро: . Союзное ИУ: . Действуя по схеме пункта j, получаем , где для коэффициентов и справедливы следующие равенства: = =0[8], = [9]. Т.о., и множество характеристических чисел сопряженного ядра пусто.

[1] Определение 3. (Уроев стр. 293) Пусть функция , отличная от тождественного нуля, удовлетворяет однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с ядром : , где - комплексное число. Тогда называется собственной функцией интегрального оператора (или ядра ), а - характеристическим числом.

[2] Определение 2. (Уроев стр. 293) Ядро называется (эрмитово) сопряженным к и обозначается . Уравнение с ядром называется союзным.

[3] и в силу нечетности подынтегральных функций.

[4] и в силу нечетности подынтегральных функций.

[5] Существует и единственно

[6] Теорема 4 (третья теорема Фредгольма, альтернатива Фредгольма) (Уроев стр. 298) Либо неоднородное уравнение разрешимо при любой правой части f, либо соответствующее однородное уравнение имеет не равные тождественному нулю решения.

[7] Теорема 2 (первая теорема Фредгольма) (Уроев стр. 298) Однородные союзные интегральные уравнения и при фиксированном значении параметра имеют либо тождественно равные нулю решения, либо одинаковое количество линейно независимых решений (конечное).

[8] и в силу нечетности подынтегральных функций.

[9] и в силу нечетности подынтегральных функций.

Дата добавления: 2015-08-27