Федеральное Государственное Образовательное Учреждение

Федеральное Государственное Образовательное Учреждение

Высшего Профессионального образования

Сибирский федеральный университет

Институт Нефти и Газа

Кафедра МОДУС

Математическая статистика

Индивидуальное задание

Построение аналитических зависимостей

Выполнил: Горячий В.В.

Группа: НГ10-01Б

Проверил: Березина Э.В.

Красноярск 2011.

Вариант 6

Даны результаты измерения случайных величин X, Y:

x	Y	x	y	x	y	x	y	x	y

Проведем исследование случайной величины Х:

n=100

X_min=15

X_max=90

Найдем размах выборки:

W=X_max-X_min=90-15=75

i= =25

Z1/4=X25=37

Z3/4=X76=65

Найдем медиану:

med= =49

Построим «Ящик с усами»:

15 37 49 65 90

Так как значение признака велико, можно считать, что совокупность X представляет собой НСВ. Для ее исследования строим группированный статистический ряд:

Определим количество интервалов (k):

k=1+3,3 lg100=1+6,6=7,6≈8

Группированный статистический ряд X:

№	Xmin	Xmax	ni	Хср	niXср	Xср-	niXср^2
						-30,25
						-20,25
						-10,25
						-0,25
						9,75
						19,75
						34,75

Найдем основные числовые характеристики:

= =

m2=

S²=m₂- ²=2852,25-50,25=2802

S= = 52.9

Определим коэффициент вариации:

V^*=( ) =()100=105.3% 105.3%>33.3%

Т.к. коэффициент вариации больше 33,3%, выборка X не является однородной.

По числовым характеристикам можно сделать вывод, что выборка симметрична.

Строим гистограмму и полигон относительных частот:

Δ_i=h= = =9,375≈10

Найдем высоты:

H₁= = =0,0085

H₂= = =0,0149

H₃= = =0,0203

H₄= = =0,0235

H₅= = =0,0149

H₆= = =0,0149

H₇= = =0,0096

Форма полигона относительных частот и гистограммы напоминают функцию распределения СВ X.

Так как выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратическое отклонение являются смещенной оценкой дисперсии и среднеквадратического отклонения, в качестве оценки дисперсии берем исправленную выборочную дисперсию:

S²[X]= =50,76

А в качестве оценки среднеквадратического отклонения берем исправленное среднеквадратическое отклонение:

S[X]= = =7,12

Построим доверительные интервалы для оценки параметров нормального распределения математического ожидания и среднеквадратического отклонения. С доверительной вероятностью ɣ=0,95

Доверительный интервал математического ожидания m СВ X:

P(X̅ - ) < m < X̅ + () = ɣ

U_(1+ɣ)/2= Ф^-1(1+ɣ/2)

Ф(X) = (1+ɣ/2)

По таблице приложения для квантилей нормального распределения найдем квантиль U_(1+ɣ)/2= U_(1+0,95)/2 = U_0,975 = 1,96

Тогда получим:

50,76 – < m < 50,76 +

49,36 < m < 52,16

P (49,36<m<52,16)=0,95

Доверительный интервал среднеквадратического отклонения σ СВ X:

P(S[1 – ] < σ < S[1 + ]) = ɣ

, где Ê=()-3 - выборочный эксцесс

m₄=∑(X_i- X̅)⁴

U_(1+ɣ)/2= Ф^-1(1+ )

Определим выборочный эксцесс:

Ê=()-3= ()-3=54,7

По таблице приложения для квантилей нормального распределения найдем квантиль U_(1+ɣ)/2= U_(1+0,95)/2 = U_0,975 = 1,96

Тогда получим:

7,12(1-0,05ˑ1,96ˑ√54,7+2) < σ < 7,12(1+0,05ˑ1,96ˑ√54,7+2)

16,2 < σ < 26,5

P (16,2< σ <26,5)=0,95

Проверка гипотезы о законе распределения выборки Х:

В нормальном распределении число параметров равно 2, поэтому число степеней свободы асимптотического закона χ² равно r =7-2-1=4. Выбираем уровень значимости

α = 0,05 и по таблице находим квантиль распределенияχ²:

χ²_1-α(r)=χ²_0,95(4)=9,49

Построим таблицу вычисления χ_в² для группированного статистического ряда X:

№		ni		Ф0(bi)	p̂i= Ф0(bi)- Ф0(bi-l)	np̂i
Xmin	Xmax
				-0,19	-0,14	- 0,4738	-0,4192	0,0546	5,46	1,1816
				-0,14	-0,09	-0,4192	-02995	0,1197	11,97	0,3443
				-0,09	-0,05	- 0,2995	-0,1141	0,1854	18,54	0,0114
				-0,05		-0,1141	0,1026	0,2167	21,67	0,005
					0,05	0,1026	0,2910	0,1884	18,84	1,2433
				0,05	0,09	0,2910	0,4131	0,1221	12,21	0,2624
				0,09	0,14		0,4934	0,0803	8,03	0,1171
								0,9672	96,72	3,1653

Вычисляем выборочное значение статистики критерия χ_в²:

Сравним χ_в² и χ²_1-α(r):

9,49>3,1653

χ²_1-α(r)> χ_в²

На основании сравнения можно сделать вывод, что гипотеза о нормальном распределении не принимается.

Проведем исследование случайной величины Y:

Ymin=13

Ymax=36

n=100

Найдем размах выборки:

W=Ymax-Ymin=23

i= =25

Z1/4=20

Z3/4=28

Найдем медиану:

med=(Y50+Y51)/2=24

По результатам исследований строим «Ящик с усами»:

13 20 24 28 36

Так как значение признака велико, можно считать, что совокупность Y представляет собой НСВ.

Строим группированный статистический ряд:

Определим количество интервалов (k):

k=1+3,3 lg100=1+6,6=7,6≈8

Группированный статистический ряд:

№	Ymin	Ymax	ni	Yср	niYср	Yср-	niYср^2
				14,5		-9,4	1261,5
				17,5		-6,4
				20,5	430,5	-3,4	8825,25
				23,5		-0,4	9940,5
				26,5		2,6	15449,5
				29,5		5,6
				33,5	301,5	9,6	10100,25

= =23.89

m2=Σ =597

S²=m2- ²=25.8

S= =5.08

Определим коэффициент вариации:

V^*=()100=21.2% 21,2%<33,3%

По значению коэффициента вариации и числовых характеристик можно сделать вывод, что выборка Y является однородной и симметричной.

Строим гистограмму и полигон событий:

Δ_i=h =2,875

Найдем высоты:

H₁= = 5=0.02

H₂= = =0.042

H₃= = =0,073

H₄= = =0,077

H₅= = =0,0627

H₆= = =0,042

H₇= = =0,031

Форма полигона относительных частот и гистограммы напоминают функцию распределения СВ Y.

Так как выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратическое отклонение являются смещенной оценкой дисперсии и среднеквадратического отклонения, в качестве оценки дисперсии берем исправленную выборочную дисперсию:

S²[Y]=∑ =25.8

А в качестве оценки среднеквадратического отклонения берем исправленное среднеквадратическое отклонение:

S[Y]= = =5.08

Построим доверительные интервалы для оценки параметров нормального распределения математического ожидания и среднеквадратического отклонения. С доверительной вероятностью ɣ=0,95

Доверительный интервал математического ожидания m СВ Y:

P (Ȳ - () < m < Ȳ +() = ɣ

U_(1+ɣ)/2= Ф^-1(1+ɣ/2)

Ф(X) = (1+ )

По таблице приложения для квантилей нормального распределения найдем квантиль U_(1+ɣ)/2= U_(1+0,95)/2 = U_0,975 = 1,96

Тогда получим:

25.8 – (5.08ˑ1,96)/10 < m < 25.8 + (5,08ˑ1,96)/10

24,8 < m < 26,8

P (24,8<m<26,8)=0,95

Доверительный интервал среднеквадратического отклонения σ СВ Y:

P(S[1 – ( ] < σ < S[1 + ( ]) = ɣ

, где Ê=()-3 - выборочный эксцесс

m₄ =1600.8

U_(1+ɣ)/2= Ф^-1(1+ )

Определим выборочный эксцесс:

Ê=()-3=()-3=-0,415

По таблице приложения для квантилей нормального распределения найдем квантиль U_(1+ɣ)/2= U_(1+0,95)/2 = U_0,975 = 1,96

Тогда получим:

5.08(1-0,05ˑ1,96 +2) < σ < 5.08(1+0,05ˑ1,96 +2)

14.9 < σ < 15.6

P (14.9< σ <15.6)=0,95

Проверка гипотезы о законе распределения выборки Y:

В нормальном распределении, число оцениваемых параметров равно 2, поэтому число степеней свободы асимптотического закона χ² равно r =7-2-1=4. Выбираем уровень значимости α = 0,05 и по таблице находим квантиль распределенияχ²:

χ²_1-α(r)=χ²_0,95(4)=9,49

Построим таблицу вычисления χ_в² для группированного статистического ряда Y:

i	Ymin Ymax	ni		Ф0(bi)	p̂i= Ф0(bi)- Ф0(bi-l)	np̂i
				-2.14567	-1.55512	-0.4838	-0,4394	0,0444	4.44	54.8
				-1.55512	-0.96457	-0,4394	-0,3315	0,1079	10.8	13.57
				-0.96457	-0.37402	-0,3315	-0,1443	0,1872	18.7	27.8
				-0.37402	0.216535	-0,1443	0,0832	0,2275	22.75	99.2
				0.216535	0.807087	0,0832	0,2881	0,2049	20.5	11.1
				0.807087	1.397638	0,291	0,4192	0,1282	12.8	5.24
				1.397638	2.38189	0,4192	0,4913	0,0721	7.21	44.4
									97.22	256.13

Вычисляем выборочное значение статистики критерия χ_в²:

Сравним χ_в² и χ²_1-α(r):

9,49 < 256,13

χ²_1-α(r)< χ_в²

На основании сравнения можно сделать вывод, что гипотеза о нормальном распределении принимается, но могла и произойти ошибка второго рода (принятие неверной гипотезы).

Корреляционный и регрессионный анализ.

Для рассмотрения аналитических зависимостей между СВ X и Y определим коэффициент корреляции:

r_xy=

=50,25

=24,33

=1309,53

=2832,27

=616,83

r_xy= 0,994504

r_xy≈1, следовательно, между СВ Х и СВ У линейная зависимость.

Регрессивный анализ:

Найдем уравнение регрессии Y на X:

На основании проведенных исследований сделаем предположение о линейной зависимости СВ:

y=ax+b

,где x – факторная переменная.

Рассмотрим функцию S(a;b)=

Подставим значения и найдем a и b:

a283227+b5025=130935

a5025+b100=2433

a= 0,282436

b= 10,13758

y=0,282436x+10,13758

Построим уравнение регрессии X на Y:

На основании проведенных исследований сделаем предположение о линейной зависимости СВ:

x=cy+d

,где y – факторная переменная.

Найдем коэффициенты c и d с помощью метода наименьших квадратов:

S(c;d)=

c ;

c

Найдем с и d:

c61683+d 2433= 130953

c2433+d100=5025

c=3,494534

d=-34,772

x=3,494534y-34,772

Отсюда:

y=0,286161x-9,9504

Таблица данных к графику:

	24,25939	24,25846
50,05	24,27351	24,27277
50,1	24,28763	24,28708
50,15	24,30176	24,30138
50,2	24,31588	24,31569
50,25	24,33	24,33
50,3	24,34412	24,34431
50,35	24,35824	24,35862
50,4	24,37237	24,37292
50,45	24,38649	24,38723
50,5	24,40061	24,40154
50,55	24,41473	24,41585
50,6	24,42885	24,43016
50,65	24,44297	24,44446
50,7	24,4571	24,45877

Дата добавления: 2015-08-28