Індивідуальне розрахункове завдання 7

Індивідуальне розрахункове завдання 7

Варіант

1. Розвинути в ряд Маклорена функцію . Результат перевірити за допомогою програми MathCAD.

2. Знайти ряд Тейлора в околі точки для функції Результат перевірити за допомогою програми MathCAD.

3. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл

Результат перевірити за допомогою програми MathCAD.

4. Розвинути в ряд Фур‘є функцію

Для цього підрахувати за допомогою програми MathCAD коефіцієнти ряда Фур‘є, записати отримане розкладання в ряд, побудувати, використовуючи програму MathCAD, суму перших двох, трьох, чотирьох та п‘яти гармонік.

1. Розвинути в ряд Маклорена функцію . Результат перевірити за допомогою програми MathCAD.

Решение: с помощью программы MathCAD можно получать разложение функции в ряд Тейлора (или частный случай в ряд Маклорена). Рассмотрим два варианта решения задачи в среде MathCAD.

1-ый вариант. Для этого следует воспользоваться оператором series (Ряд) панели «Символьные преобразования с ключевыми словами» (Symbolic)

Данный оператор содержит три маркера. В первом маркере вводится функция или ее имя. Во втором – переменная, по которой должно быть проведено разложение. В третьем - количество членов ряда (до 100 членов ряда включительно). По умолчанию разложение производится в окрестности 0 (т.е. раскладываем функцию в ряд Маклорена). Если же нужно разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x = a, то следует переменной во втором маркере оператора series присвоить с помощью логического равенства (Ctrl+=) нужное значение (оно может быть как численным, так и символьным).

Ответ при использовании оператора series выводится без остаточного члена . Это сделано для того, чтобы результат вычислений можно было сразу же использовать для дальнейших расчетов.

2-ой вариант. Чтобы разложение в ряд Тейлора (или в ряд Маклорена) содержало член следует воспользоваться командой Разложить в ряд (Expand to series) подменю Переменная (Variable) меню Символьные операции (Symbolics). При этом разложении остаточный член будет включен в ответ в виде .

MathCAD не умеет находить формулы общих членов рядов Тейлора. При необходимости эту работу можно произвести самостоятельно, анализируя и сопоставляя полученные члены ряда.

Дана функция

.

1-ый вариант.

Разложим ее в ряд Маклорена

или учитывая 7 членов разложения в ряд

.

2-ой вариант.

Разложим функцию в ряд Маклорена

.

Перед входом в меню Символьные операции (Symbolics) выделите мышью переменную, по которой ведется разложение (в нашем случае x).

Ответ:

2. Знайти ряд Тейлора в околі точки для функції Результат перевірити за допомогою програми MathCAD.

Решение: используем для разложения функции в ряд Тейлора оператор series, получаем

.

Ответ:

3. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл

Решение: вычислим определенный интеграл приближенно, используя разложения функций в ряд Маклорена.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена

Определим общий член ряда .

Имеем

Проинтегрируем формулу общего члена ряда

В результате получим бесконечный ряд, сумма которого описывает первообразную для функции . Теперь можно вычислить интеграл от полученной суммы, но сколько членов ряда стоит взять, чтобы получить результат с нужной точностью ?

Запишем результат

Ряд является знакочередующимся.

,

Рассмотрим функцию . Данная функция g(n) есть общий член полученного знакочередующегося ряда

,

,

.

Ряд удовлетворяет условию теоремы Лейбница, поэтому отбрасываем члены ряда, начиная с четвертого члена g(3), так как сумма отброшенных элементов по абсолютной величине меньше, чем

Таким образом,

Проверим результат

Ответ:

4. Розвинути в ряд Фур‘є функцію

Для цього підрахувати за допомогою програми MathCAD коефіцієнти ряда Фур‘є, записати отримане розкладання в ряд, побудувати, використовуючи програму MathCAD, суму перших двох, трьох, чотирьох та п‘яти гармонік.

Решение: график функции f(x) имеет вид

Период функции f(x) T = 2π.

Разложим данную функцию f(x) в ряд Фурье. Согласно разложению в ряд Фурье

где

Вычислим коэффициенты ряда Фурье.

Получаем Принимаем во внимание, что

,

.

Тогда

Найдем коэффициенты и , используя вычисленные выше интегралы.

Запишем разложение данной функции f(x) в ряд Фурье.

Введем обозначения

Построим полученные гармоники и данный график функции

Ответ:

Дата добавления: 2015-08-28