Осевой момент инерции фигуры - этоинтеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Формулы осевого момента инерции произвольной фигуры (см. рис. 4.1)

Осевой момент инерции фигуры - этоинтеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Формулы осевого момента инерции произвольной фигуры (см. рис. 4.1) относительно осей x и y:

Полярный момент инерции фигуры относительно данной точки (полюса) - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до полюса:

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей x и y, то , и формула полярного момента инерции равна сумме осевых моментов инерции относительно осей x и y:

Из формул осевых и полярного моментов инерции видно: значения осевых и полярного моментов инерции всегда положительны, так как координаты и расстояние возведены в квадрат.

Центробежный момент инерции фигуры - этоинтеграл произведений элементарных площадей на их расстояния до осей x и y:

Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (как правило, см4).

Понятие момента инерции поперечного сечения ввел в 1834 г. французский ученый Н. Перси.

Главные центральные моменты инерции - моменты инерции фигуры относительно главных центральных осей и . Формулыглавных центральных моментов инерции, вытекающих из формул моментов инерции при повороте осей координат:

Осевые и центробежный моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести поперечного сечения стержня, называют собственнымимоментами инерции.

Статический момент инерции фигуры относительно оси измеряется в единицах длины в кубе (см3), и может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Пусть – координаты центра тяжести фигуры. Продолжая аналогию с моментом силы, можно записать следующие выражения:

.

Таким образом, моментом (статическим моментом) площади фигуры относительно оси называется произведение площади на расстояние от ее центра тяжести до оси.

Моменты инерции двутавра

Вычислим момент инерции для двутавра (см. рисунок)

· b – ширина полки по оси x,

· h – высота двутавра по оси y

· t_w – толщина центральной стенки

· h₁ – расстояние между двумя полками (высота стенки)

Из свойства, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции ее составных частей можем получить момент инерции двутавра относительно оси x:

Момент инерции прямоугольника A:

IxA =12 bh 3

Момент инерции прямоугольника B и C:

IxB = IxC =122 b − twh 31

Тогда, момент инерции двутавра относительно оси x:

Ix = IxA – IxB – IxC =12 bh 3−22 b − twh 13

Момент инерции двутавра относительно оси y

Iy =12 hb 3−2 12 h 1 2 b − tw 3+ ABx 2

Здесь:
A_B = Площадь прямоугольника B (или C): AB =2 b − twh 1
x = расстояние от центра прямоугольника B(или C) от оси y двутавра: x =4 b − tw

Тогда:

Iy =12 h 1 tw 3+2122 h − h 1 b 3

Общая площадь двутавра:

A =22 h − h 1 b + h 1 tw =(h − h 1) b + h 1 tw

Так как оси x и y являются осями симметрии, то статические моменты S_x и S_y равны нулю.

Дата добавления: 2015-08-28