Пределы и их свойства составил:

ПРЕДЕЛЫ И ИХ СВОЙСТВА Составил:
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ Число А наз. пределом Xn при n®¥, где n Î N, если для " e>0 $ N(e) > 0, такой, что |Xn - A|<e для " n>N(e). Число А наз. пределом f(x) в точке X0, если для " e>0 $ d(e)>0, такое, что |f(x) - A|<e для " x: 0< |X- | <d(e). ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ A= (x > x0); B= (x< x0). Û = = A СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ если =A, =B, то 1) = A+B; 2) = ; 3) = (B¹0); 4) = ; 5) еслиf(x) непрерывнаяфункцияиa ÎД(f), то = или = f(a). 6) если f(x)®0 при x®a, g(x) – ограничена в окрестности x = a, то =0. замечание: в случаях ¥-¥, 0×¥, , , 1^¥, 0^0, ¥^0 (соответст­вующие свойства не верны). ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 1-й: = =1 или =1. следствия: =1, =1, =1, =1. 2-й: =()=e, или =e, где e=2,718281222. следствия: =e, =logae, =ln(a)	НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ПРЕДЕЛОВ ПРЕДЕЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ если Pn(x)=a­nx­­^n+…+a1x+a0, Qm(x)=bmx^m+…+b1x+b0, то 0, n<m – раздели Pn(x) и Qm(x) 1) = = ¥, n>m на x^k, где k=max{n, m}; , n=m 2) = – сократи дробь на (x-a); ПРЕДЕЛЫ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ = проведи тригонометриче­ские преобразования или выдели 1-й зам. предел и его следствия; ПРЕДЕЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ пусть f(x) и g(x) иррациональные выражения 1) = вводится новая переменная, например: = =(x=12, y®1)= = = , либо переходят к сопряженным выражениям, например: = = = = =- ; 2) = – раздели f(x) и g(x) на «старшую» степень x с учетом показателей корней, 3) = перейди к сопряженному выражению.	НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ Если f(x) и g(x) существует при x: 0<|x-a|<ε и существует , то =( или )= Замечание: 1) правило может быть применено многократно, 2) случаи ¥-¥, 0×¥, преобразованием сводят к или , 3) случаи 1^¥, 0^0, ¥^0 логарифмированием исходного выражения сводят к , , 0×¥. ЗАМЕНА ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ Если f(x) ~ φ(x), a g(x) ~ ψ(x) при x®a, то, = , например: = = = , т.к. ~ x, ln(1+2x) ~ 2x при x®0. Замечание: x ~ sin(x) ~ tg(x) ~ arcsin(x) ~ arctg(x) ~ e^x– 1; ~ при x®0. n! ~ при n®¥. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ f(x) и g(x) имеют одинаковые главные части при x®a до порядка n, если f(x) – g(x)=0(|x–a|^n). Если = , то разложи f и g по формуле Тейлора в окрестности a, выделив главную часть до одного и того же порядка. Замечание: 1) другие неопределенности сводятся к случаю ; 2) случай x®¥ заменой x= сводятся к t®0. Основные разложения: e^x=1+ + +…+ +… sin(x)= – + –…+ +…

Дата добавления: 2015-08-28