Пусть дана таблица из 4 чисел

Пусть дана таблица из 4 чисел

Это матрица. Она имеет две строки и два столбца, т.е. размер матрицы (2х2).

Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца, в которой стоит данное число. Например, а₁₂ означает число, стоящее в первой строке и втором столбце; а₂₁ – число, стоящее во второй строке и первом столбце. Числа а₁₁, а₁₂, а_21, а₂₂ будем называть элементами матрицы.

Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице) называется число

(1)

Свойства определителей второго порядка:

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину

3. Определитель с двумя одинаковыми строками и столбцами равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя; если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0.

5. Если к элементам какой либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.

Последнее свойство применяется для получения в какой-либо строке (столбце) определителя строки (столбца), в которой все элементы, кроме одного, равны нулю. Так как разложить определитель можно по любой строке или столбцу, то при разложении по полученной в результате линейной комбинации строке, определитель равен произведению ненулевого элемента этой строки на его алгебраическое дополнение (взятое с соответствующим знаком).

Все эти свойства легко доказываются проверкой, например:

Пример1: Вычислим определитель матрицы

Решение:

Рассмотрим теперь матрицу размера 3 х 3, то есть имеющую 3 строки и 3 столбца.

Eё определителем (третьего порядка) называют число

(2)

Эта формула дает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки. Обратите внимание ,а₁₁ - это элемент, стоящий в первой строке и первом столбце. Он умножается на определитель второго порядка, который получится, если мы из нашего определителя третьего порядка вычеркнем первую строку и первый столбец. Такой определитель второго порядка, соответствующий данному элементу (а ₁₁) называется минором (М₁₁). Так, минор, соответствующий элементу а ₁₂ есть определитель .

Он получается, если вычеркнуть строку 1 и столбец 2. Аналогично М₁₃ получится вычеркиванием первой строки и третьего столбца.

Видим, что формулу (2) можно записать так

То есть определитель равен сумме по парных произведений элементов первой строки на соответствующие миноры, причем минор, соответствующий а ₁₂ берется со знаком ‘–‘.

Пример2:Вычислить определитель

Решение:

Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка и доказываются так же: непосредственной проверкой.

Аналогично формуле (2), дающей разложение определителя по элементам первой строки, можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.

Обозначим А_{i k} алгебраическое дополнение элемента a_{i k} (i – номер строки, k – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент). По определению A_{i k}=(-1)^i+kM_ik

Например: A₁₂=(-1)¹⁺²M₁₂=(-1)³ M₁₂= - M₁₂

Легко видеть, что формулы для вычисления определителей будут выглядеть следующим образом:

Разложение определителя по строкам.

Разложение определителя по столбцам.

Аналогично определяются определители четвертого порядка. Для них также справедливы свойства определителей и их также можно раскладывать по строкам или столбцам.

Пример3: Вычислить определитель

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Пример4: Вычислить определитель

Решение: Произведем следующие действия:

· из элементов 1-й строки вычтем элементы 2-й строки, умноженные на 3;

• к элементам 3-й строки прибавим удвоенные элементы 2-й строки;
• из элементов 4-й строки вычтем элементы 2-й строки.

Тогда исходный определитель преобразуется к виду:

Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца:

Прибавляем к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и, вычитая из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, получим:

Разложим определитель по элементам 1-го столбца:

Пример5: Найти у из системы уравнений

Решение: Запишем систему в виде

Найдем

Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца; из элементов 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца. Далее, за определитель вынесем общие множители — из второй строки (-2), и из третьей строки (-1):

Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца; из элементов 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца:

Находим

Из элементов 3-й строки вычтем утроенные элементы 1-й строки; из элементов 4-й строки вычтем удвоенные элементы 1-й строки:

Из элементов 1-й строки вычтем утроенные элементы 3-й строки; из элементов 2-й строки вычтем удвоенные элементы 3-й строки:

Отсюда у = D_y / D = 192/96 = 2.

Действия над матрицами и линейные преобразования

С помощью равенств

значения переменных х и у можно выразить линейно через значения переменных и . Эти равенства принято называть линейным преобразованием переменных и . Их можно рассматривать также как линейное преобразование координат точки (или вектора) на плоскости.

Таблица

называется матрицей рассматриваемого линейного преобразования, а определитель

— определителем линейного преобразования

В дальнейшем будем считать, что D_A 0.

Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т.е. для пространства)

где

и , — соответственно, матрица и определитель этого преобразования.

Матрица А называется невырожденной (неособой), если D_A 0. Если же D_A = 0, то матрица называется вырожденной (особой).

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, например:

и называются квадратными матрицамисоответственно второго и третьего порядков.

Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию а_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

Две матрицы

и считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т.е. когда а_mn = b_mn (m, n = 1, 2, 3).

Если число строк матрицы не равно числу столбцов, то матрица называется прямоугольной, например:

.

Для большей общности ряд определений будет дан для матриц третьего порядка; применение их к матрицам второго порядка не вызывает затруднений.

С матрицами можно производить операции сложения и вычитания, если их размеры совпадают.

Суммой двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством

.

Произведением числа m на матрицу А называется матрица, определяемая равенством

.

Произведение двух матриц А и В обозначается символом АВ и определяется равенством

т.е. элемент матрицы - произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.

Отсюда вытекает ограничение на размерность матриц А и В: число элементов в строке матрицы А должно равняться числу элементов в столбце матрицы В. Чтобы для каждого элемента из i -й строки матрицы А нашелся парный элемент из k -го cтолбца В. То есть в случае прямоугольных матриц А(m х n) и В(p х q)n должно равняться p.

Пример1: перемножить матрицы

- размером (2 х 3)

- размером (3 x 3)

Решение: Так как число столбцов А(3) совпадает с числом строк В (3), следовательно, можно их перемножить.

Чтобы получить элемент С₁₁ произведения, умножим первую строку матрицы А на первый столбец матрицы В.

С₁₁ = 1·1 + 2·0 + 3·2 = 7,

С₁₂ получится умножением первой строки А на второй столбец В:

С₁₂ = 1·2 + 2·2 +3·2 = 12

С₁₃ – умножением первой строки А на третий столбец В:

С₁₃ = 1·3 + 2·0 + 3·1 = 6

С₂₁ –умножением второй строки А на первый столбец В:

С₂₁ = 0·1 = 1·0 +2·2 = 4

Далее, умножая вторую строку А на второй столбец В, получим С₂₂ =6, умножая вторую строку А на третий столбец В, получим С₂₃ =2

Больше у нас строк нет. Получилась матрица С, состоящая из двух строк и трех столбцов

Таким образом, А(2 х 3)·В(3 х 3) = С(2 х 3)

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется АВ ВА.

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны 0.

Сумма этой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: А + 0 = А.

Существует квадратная матрица особого вида (здесь она третьего порядка, но она может быть любого порядка), которая называется единичной матрицей.

Например: единичная матрица второго порядка

Единичная матрица четвертого порядка

Можно проверить, что при умножении этой матрицы слева или справа на любую квадратную матрицу А, получается матрица А: ЕА = АЕ = А. Определитель матрицы Е равен 1.

Единичной матрице отвечает тождественное линейное преобразование:

Пример 2: Доказать, что произведение матрицы А на единичную матрицу Е, равно самой матрице А.

Решение:

В квадратной матрице любого порядка можно провести операцию транспонирования; это означает, что элемент с номером ij следует поместить на место элемента ji и наоборот, т.е. поменять местами строки и столбцы матрицы. Операция транспонирования обозначается *.

Рассмотрим матрицу В (3 х 3).

Элемент первой строки, первого столбца матрицы В равен 3 – элемент b₁₁. Транспонирование изменит порядок индексов, но т.к. они равны, то b₁₁^* =3.

Аналогично элементы b₂₂ и b₃₃ не изменят своего места, b₂₂^* = b_{22 .} b₃₃^* = b_{33 .}

b₁₂=2, теперь это будет b₂₁^*

b₁₃=1, теперь это будет b₃₁^*

b₂₃ = b₃₂ ^*

b₃₂ = b₃₂^*

Итак

Матрица, транспонированная по отношению к матрице В, найдена.

Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если произведения АВ и ВА равны единичной матрице: АВ = ВА = Е

Для матрицы, обратной по отношению к матрице А, принято обозначение А^-1, т.е. В = А^-1.

Нахождение обратной матрицы

Для квадратных матриц любого порядка А можно найти так называемую обратную матрицу А^-1, удовлетворяющую условию А·А^-1 = А^-1·А = Е

Для матриц третьего порядка вид обратной матрицы следующий:

Здесь в матрице, транспонированной по отношению к А, каждый элемент заменен его алгебраическим дополнением, деленным на определитель матрицы А. Для матриц другого порядка формула будет аналогична: элемент обратной матрицы - определитель на латыни называется детерминант, поэтому его иногда обозначают так.

Например, найдем обратную матрицу к матрице A

Как видно из формулы А^-1, нам придется делить на определитель А, поэтому важно, а не окажется ли он равен нулю? Разложим А по первой строке, это нам удобно, т.к. там много нулей.

Определитель нулю не равен, значит обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу) то есть

Мы сами можем проверить результат, Известно, что А^-1*А = Е. Так ли это?

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Дата добавления: 2015-08-28