1 Уравнения первого порядка, разрешённые относительно производных. Их геометрическая интерпретация. 4 страница

14. Теорема об общем решении неоднородного линейного ур-ия порядка

Рассмотрим неоднородное уравнение .

Пусть – ФСР уравнения – любое частное решение неоднородного уравнения . Тогда общее решение уравнения представляется в виде .

Пусть – произвольное решение уравнения . Имеем два решения: и , следовательно, – решение соответствующего однородного уравнения существуют постоянные , при которых , т.е. . Т.к. – произвольно, то все решения можно представить так: .

1. Общее решение неоднородного линейного уравнения представляется суммой частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

2. Общее решение неоднородного линейного уравнения можно получить, решив соответствующее однородное уравнение и подобрав каким-либо образом частное решение неоднородного уравнения.

15. Решения неоднородных линейных уравнений. Метод вариации произвольных переменных. Функция Коши.

Если частное решение подобрать не удаётся, это уравнение можно решить методом вариации произвольных постоянных:

Положим, что ФСР соответствующего однородного уравнения построена. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: . Варьируем произвольные постоянные: . Будем искать решение уравнения в виде : вычисляем производную , и требуем, чтобы . Вычисляем вторую производную: , и требуем, чтобы . …. Вычисляем -ю производную: , и требуем, чтобы . Вычисляем n -ю производную: Подставим теперь вычисленные производные в уравнение: . Т.к. , то . Соберём все полученные соотношения в систему: . В результате мы имеем систему алгебраических линейных уравнений относительно . Это неоднородная система с невырожденной матрицей, т.к. её определитель совпадает с (т.к. – ФСР), следовательно, система имеет единственное решение при любой функции . Пусть это решение представляется в виде . Тогда . Подставляя эти функции в формулу , получим: . Уточним вид функции . Решая систему по правилу Крамера, замечаем, что , т.е. определяется только . В результате имеем: , где . Функция называется функцией Коши. – частное решение неоднородного уравнения, но в то же время – решение соответствующего однородного уравнения, если её рассматривать как функцию x при фиксированном s. При этом её можно получить, решая задачу Коши для однородного уравнения с начальными условиями при .Если рассматривается уравнение , то в системе в последнем уравнении следует заменить на .