1 Уравнения первого порядка, разрешённые относительно производных. Их геометрическая интерпретация. 2 страница

12 Решение однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение , предполагая, что постоянны. Найдём ФСР. Воспользуемся для этого подстановкой Эйлера: будем искать решения уравнения в виде , где k – постоянная. Подставляем в уравнение .

Это уравнение называется характеристическим уравнением уравнения .

Это алгебраическое уравнение степени n с вещественными коэффициентами. По основной теореме алгебры такое уравнение всегда имеет ровно n корней в комплексных числах с учётом их кратности.

1. Характеристическое уравнение имеет простые вещественные корни: при . По формуле получаем решения: . Таких решений n и они линейно независимы, т.к. (определитель Вандермонда) , следовательно, образуют ФСР. Таким образом, общее решение – .

2. Характеристическое уравнение имеет простые корни, среди которых есть комплексные: . Выбираем произвольно корень уравнения . Если он вещественный, то по формуле получаем вещественное решение, иначе – . Т.к. характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты, то . Этим двум корням по формуле ставим в соответствие комплексное решение: . Выбираем (в последнем случае знак – произвольно). Таким образом, каждому корню характеристического уравнения сопоставляется вещественное решение уравнения . Таких решений n. Можно показать, что они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, откуда можно получить общее решение уравнения.

3. Характеристическое уравнение имеет корни соответственной кратности . Заметим, что для . Будем сопоставлять каждому корню решений уравнения . Выбираем произвольно корень . Если , этот корень простой, следовательно, по формуле ему ставится в соответствие решение (комплексное либо вещественное). Если кратны, т.е. , то эта формула позволяет получить только одно решение, следовательно, имеются недостающие решения. Однако легко показать, что решениями являются также функции . В целом получается решений, следовательно всего уравнению сопоставляют решений. Если корень вещественный, то все приведённые решения вещественны. Если – комплексный, то найдётся ещё один корень . Соответственно этим двум корням можно сопоставить вещественное решение . В результате получается n решений. Можно показать, что они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, откуда получается общее решение.

Некоторые уравнения, изначально с переменными коэффициентами, приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами с помощью замены переменных, в том числе уравнение Эйлера: ( – постоянные). Это уравнение приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой . Отсюда следует, что уравнение Эйлера можно решать и непосредственно, не приводя его к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью степенной подстановки Эйлера: .

13 Формула Остроградского-Лиувилля

Пусть известно, что – ФСР некоторого уравнения (однородного, линейного) порядка n. Можно ли восстановить уравнение по ФСР?

Пусть – любое решение искомого уравнения. Тогда – линейно зависимы, следовательно, . Разложим определитель по последнему столбцу: , где (правило дифференцирования определителя: производная определителя представляется суммой определителей, получающихся из исходного дифференцированием элементов одной строки: ). Следовательно, – решение уравнения . Можно показать, что уравнение восстанавливается однозначно по ФСР, если выбирать коэффициент при старшей производной равным 1.

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между уравнениями и пространствами решений. Предположим теперь, что исходное уравнение известно: . Интегрируя, получаем: – формула Остроградского-Лиувилля. Её можно использовать для понижения порядка уравнения, если известно хотя бы одно нетривиальное решение этого уравнения. Тем самым иногда удаётся решить уравнение с переменными коэффициентами.

16. Краевые задачи для линейного уравнения второго порядка

Рассмотрим уравнение . Ранее такое уравнение изучалось на в предположении непрерывности функций и на , строилось общее решение. Для однородного уравнения (при ) строилась ФСР. При этих условиях задача Коши для нашего уравнения с начальными условиями , где – фиксированная точка из , а и – заданные числа, всегда однозначно разрешима. Всё приведённое сохраняется, если вместо рассматривается .

В этой главе нас интересует краевые задачи для уравнения . Это значит, что дополнительные условия мы будем ставить в граничных точка промежутка. В этом случае, несмотря на то, что задача Коши для этого уравнения всегда однозначно разрешима, краевая задача может оказаться неразрешимой, разрешимой неоднозначно или однозначно разрешимой.

В дальнейшем будем рассматривать вместо этого уравнения уравнение на . Будем полагать, что функции определены и непрерывны на и на .

Приведённые условия позволяют легко перейти от первого уравнения ко второму. Действительно, . Возможен и обратный переход: домножим первое уравнение на . Отсюда следует, что вся предыдущая теория переносится на уравнения второго вида.

Рассмотрим для этого уравнения краевые задачи, дополняя его краевыми условиями: . (эти краевые условия часто называют условиями Штурма-Лиувилля). Эти условия рассматриваются при естественных ограничениях: . Если в этих условиях , то они принимают вид: и называются краевыми условиями I рода, а задача – I-й краевой задачей. Если , то условия принимают вид: и называются краевыми условиями II рода, а задача – II краевой задачей. Если все коэффициенты отличны от 0, то эти условия называются условиями III рода, а задача – III краевой задачей. Если на концах промежутка заданы условия разных типов, то задача называется смешанной краевой задачей. Если в уравнении и , то задача называется однородной краевой задачей, иначе – неоднородной краевой задачей.

17 Решение неоднородных краевых задач. Функция Грина ее свойства.

Рассмотрим неоднородную краевую задачу: , где , определены и непрерывны на на . Далее будем полагать, что .

Пусть однородная краевая задача – имеет единственное решение . Тогда соответствующая неоднородная краевая задача – , – имеет единственное решение при любой неоднородности .

Рассмотрим однородное уравнение – . При наших условиях ФСР этого уравнения существует: , следовательно, можно написать общее решение: . Модифицируем ФСР, согласовав его с краевыми условиями. Пусть – решение, удовлетворяющее первому из двух краевых условий (при ). Оно находится соответствующим выбором и . Отметим, что , следовательно, не удовлетворяет условию при . Аналогично – решение, удовлетворяющее условию при и не удовлетворяющее при и линейно независимы по построению, следовательно, они образуют ФСР. Имеем общее решение: . Варьируем постоянные: . Найдём решение неоднородной задачи в виде . (здесь – определитель Вронского). . Удовлетворим краевые условия. При получаем: . При этом по построению функции . Следовательно, это равенство будет выполняться при и при . Рассмотрим условие при решение краевой задачи есть , где . построено решение краевой задачи. Оно определяется формулой . Построенное решение единственно. Функция называется формулой Грина нашей краевой задачи. Построив её, можно сразу выписать решение краевой задачи. Отметим, что не зависит от выбора f.

Свойства функции Грина:

1. непрерывна на .

2. При как функция x удовлетворяет однородному уравнению .

3. как функция x удовлетворяет краевым условиям (в силу выбора ).

4. на диагонали имеет скачок величины .

18 Однородные краевые задачи. Собственные значения и собственные функции.

Рассмотрим однородную краевую задачу . Здесь определены и непрерывны на и – числовой параметр, . При любых значениях параметра l имеем однородную правую краевую задачу. У неё есть тривиальное решение . Интерес представляют нетривиальные решения этой задачи.

Значение параметра l, при котором краевая задача имеет нетривиальное решение называется собственным значением этой краевой задачи, а нетривиальные решения, соответствующие собственным значениям, называются собственными функциями этой краевой задачи.

Таким образом, задача переходит в задачу на собственные значения, или задачу Штурма-Лиувилля. Решить задачу на собственные значения значит найти все собственные значения и собственные функции этой задачи.

Свойства собственных значений и собственных функций:

1. Собственные значения существуют и их счётное множество.

2. Собственные значения вещественны.

3. В случае и все собственные значения положительны.

4. Ранг каждого собственного значения равен 1, т.е. любому собственному значению соответствует только одна линейно независимая собственная функция.

5. Собственные функции, соответствующие различным собственным числам ортогональны с весом , т.е. , где и – собственные функции, соответствующие собственным значениям (т.е. – скалярное произведение ).

Теорема Стеклова: Любую непрерывную дважды дифференцируемую на функцию , удовлетворяющую условиям можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям краевой задачи: (обобщённый ряд Фурье), где (коэффициенты Фурье).

Доказательство 4-го свойства: Предположим, что собственному значению соответствуют линейно независимые и . Тогда и – решение уравнения при и, т.к. они линейно независимы, то они образуют ФСР, следовательно, на . С другой стороны, и удовлетворяют краевым условиям. Рассмотрим условия при , . Имеем систему уравнений относительно , которая имеет нетривиальное решение , следовательно, матрица этой системы вырожденная: , следовательно, двух линейно независимых функций быть не может.

19 Нормальные системы. Теорема о сущ. и един. Фазовое простр. и траек.

В общем случае систему дифференциальных уравнений можно представить в виде . Имеем систему k уравнений относительно m неизвестных.

Введём: – порядок системы относительно неизвестной , а p общий порядок системы.

Пусть система приводится к виду . Эта система называется нормальной системой, порядок её равен n.

Предположим, что функции определены в некоторой области . Фиксируем точку и добавляем начальные условия: .

Пусть функции непрерывны в D и непрерывно дифференцируемы по . Тогда найдётся такой отрезок и , на котором задача Коши имеет единственное решение. Отметим, что решением системы называется совокупность функций , непрерывных и непрерывно дифференцируемых, которые, будучи подставленными в систему, превращают эту систему в систему тождеств.

При условиях теоремы общее решение системы имеет вид .

Геометрически решениям системы отвечает линия в пространстве переменных , называемая интегральной линией. Общему решению системы ставится в соответствие семейство интегральных линий. При условиях теоремы интегральные линии не пересекаются.

Пространство переменных называется фазовым пространством системы. Проекция интегральной линии на фазовое пространство называется фазовой траекторией системы. При этом обычно указывается также и направление движения по фазовой траектории при возрастании аргумента x. В общем случае даже при условиях теоремы фазовые траектории могут пересекаться.

Система называется автономной, если в правой части (не зависят явным образом от x).

Фазовые траектории автономной системы при условиях теоремы не пересекаются.

Совокупность фазовых траекторий системы называется фазовым портретом этой системы.

Системы уравнений вида оказывается удобным записывать в векторной форме: . Тогда эта система приводится к виду . Здесь .

20 Линейные системы. Общие свойства линейных систем.

Рассмотрим системы вида . Такие системы будем называть линейными. Здесь A – матрица системы (матрица коэффициентов системы). Если A – постоянна, то эта система называется системой с постоянными коэффициентами, иначе – системой с переменными коэффициентами. Векторная функция – это неоднородность системы. Если , то система однородна, иначе – неоднородна.

Будем использовать обозначения: . Будем полагать, что и определены на .

Дополним систему условием: , где – фиксирована. Имеем задачу Коши. Пусть и непрерывны на . Тогда задача Коши имеет единственное решение на всём .

Общие свойства линейных систем:

1. Если – решение системы , то – тоже решение этой системы при любом постоянном С.

2. Если и – решения системы , то – тоже решение этой системы.

3. (Принцип суперпозиции) Пусть и пусть – решение системы . Тогда – решение системы .

4. Пусть – решения системы . Тогда – решения этой же системы при любых постоянных .

5. Пусть – любое частное решение системы – решение системы . Тогда – решение системы .

Пусть система имеет комплексное решение . Тогда функции и будут вещественными решениями этой системы.

21. Определитель Вронского для системы векторных функций. Теорема.ФСР

Пусть рассматривается система векторных функций . Эта система называется линейно независимой, если тогда и только тогда, когда , иначе система называется линейно зависимой.

1. Если – линейно зависимые решения системы, то определитель Вронского .

2. Если линейно независимые решения системы , то .

Система линейно независимых решений системы порядка n называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Функции ФСР получаются при решении задачи Коши.

Пусть – ФСР системы . Тогда – общее решение. Здесь любые постоянные.

Чтобы получить общее решение системы достаточно построить ФСР этой системы. В общем случае переменных коэффициентов общего метода построения ФСР в элементарных функциях нет. В случае постоянных коэффициентов ФСР системы можно получить всегда.

22. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему уравнений , где . Будем искать решение в виде . Подставляем , – собственный вектор, а l – собственное значение матрицы A. Собственные значения – корни характеристического (векового) уравнения . Это алгебраическое уравнение относительно l степени n.

1. Пусть уравнение имеет простые вещественные корни . Тогда матрица A имеет простые собственные значения . Каждому сопоставляем собственный вектор . Имеем собственные векторы . Они линейно независимы. По формуле получаем решение системы . Эти решения линейно независимы (т.к. определитель Вронского отличен от 0), их n, следовательно, они образуют ФСР. Общее решение системы .

2. Корни характеристического уравнения простые, но среди них есть комплексные. Пусть – корни уравнения . Они являются собственными значениями матрицы A. Пусть – какой-либо корень. Если он вещественный, то по формуле получаем решение: . Пусть теперь – комплексный корень, . Тогда в силу вещественности матрицы A существует ещё один корень . Этим комплексным значениям соответствуют комплексные собственные векторы и , причём , следовательно, корням и сопоставляется комплексные решения и . При этом , . Выбираем . В итоге двум комплексным корням поставлены в соответствие два вещественных решения. Разбираясь таким образом с каждым корнем уравнения , получаем n решений. Эти решения линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, следовательно, можно записать общее решение системы .

3. Пусть уравнение имеет корни , соответственно, кратности . Имеем . Если , то все корни простые. Этот случай уже рассмотрен. Пусть , тогда существует хотя бы один корень кратности . По-прежнему сопоставляем каждому корню решения системы , число которых равно кратности корня. Поскольку – кратный корень, ему можно сопоставить по формуле в общем случае несколько решений , где

4. – линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному значению . Если , недостающие решения можно искать в виде , где – неопределённые постоянные векторные коэффициенты (удобнее взять ). Выбирая , достраиваем недостающие решения до . Поступая таким образом с каждым кратным корнем, получаем n решений системы . В общем случае эти решения комплексные. Выделяя вещественные и мнимые части у построенных решений (как в пункте 2), получаем n вещественных решений системы . Они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР. Получаем общее решение системы . Отметим, что можно ограничиться и выбором комплексной ФСР. В этом случае при записи общего решения системы произвольные постоянные также должны быть комплексными.

Можно предложить ещё один способ решения систем уравнений с постоянными коэффициентами. Он позволяет решать и неоднородные системы : делаем замену , где C – невырожденная постоянная матрица. . Выбираем C таким, что – наиболее простая матрица, например, диагональная.

23. Теорема о общем решении неоднородной линейной системы.

24 Решения неоднородных линейных систем. Метод вариации постоянных. Матрица Коши.

Рассмотрим неоднородную систему .

Пусть – фундаментальные системы решений, соответствующие системе – частное решение системы . Тогда – общие решения системы , где – произвольное постоянные.

Общее решение неоднородной системы представляется суммой частного решения и общего решения соответствующей неоднородной системы.

Решить неоднородную систему можно, если подобрать какое-либо частное решение этой системы и решить соответствующую однородную систему. Если частное решение подобрать не удаётся, можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Пусть уже построена ФСР соответствующей однородной системы. Тогда её общее решение имеет вид . Полагая , будем искать решения системы в виде : , т.к. . Введём матрицу составив её из всех столбцов . Тогда уравнение запишется в виде . Заметим, что при , следовательно, . Интегрируя, получаем: , где . Заметим, что формула приводится к виду , где – матрица Коши. Здесь – общее решение соответствующей однородной системы, а – частное решение неоднородной системы.