Любая АСР состоит из реальных физических элементов, отличающихся друг от друга своими физическими свойствами. Однако, многие из них, будучи различными по своей физической сущности, могут быть

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ АСР

4.1. Введение

Любая АСР состоит из реальных физических элементов, отличающихся друг от друга своими физическими свойствами. Однако, многие из них, будучи различными по своей физической сущности, могут быть описаны одинаковыми математическими уравнениями. Это дает возможность классифицировать объекты и отдельные элементы системы в целом по их математическому описанию.

4.2. Безынерционное звено

К таким звеньям относят физические элементы, описываемые уравнением:

.

Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом передачи.

Его размерность определяется размерностями выходной и входной величин:

.

Преобразовав уравнение по Лапласу:

,

получим

,

т.е. передаточная функция звена равна его коэффициенту передачи.

Амплитудно-фазовая характеристика звена:

представляет собой точку на вещественной полуоси комплексной плоскости на расстоянии от начала координат (Рис. 4.1).

K

⁰

Рис.4.1.

Переходная функция:

представляет собой скачкообразную функцию высотою (Рис.4.2)

h

k

₀ t

Рис. 4.2.

Весовая функция представляет собой импульсную функцию (Рис.4.3).

V

⁰ t

Рис.4.3.

4.3. Идеальное дифференцирующее звено

К ним относят элементы АСР, у которых выходная величина пропорциональна производной входного воздействия:

,

где Т - коэффициент пропорциональности, имеющий размерность времени и

называемый постоянной дифференцирования.

Преобразовав уравнение по Лапласу, получим:

и .

АФХ звена

является прямой, совпадающей с верхней мнимой полуосью комплексной плоскости (Рис.4.4).

)

90⁰

⁰

Рис.4.4.

Переходная функция звена:

представляет собой импульсную функцию (Рис.4.5).

h

⁰ t

Рис.4.5.

Весовая функция звена является импульсной функцией второго рода (Рис.4.6).

V

⁰ t

Рис.4.6.

4.4. Идеальное интегрирующее звено

Такими звеньями называют элементы АСР, у которых выходная величина пропорциональна интегралу от входного воздействия:

.

Это уравнение можно записать и в виде:

.

Отсюда вытекает физический смысл коэффициента пропорциональности:

.

Коэффициент пропорциональности является скоростью изменения выходной величины, приведенной к единице возмущающего воздействия. В связи с этим величину называют приведенной скоростью.

Преобразовав исходное уравнение по Лапласу, получим:

и .

АФХ звена

является прямой, совпадающей с нижней мнимой полуосью комплексной плоскости (Рис. 4.7).

⁰ 90⁰

ω

Рис.4.7.

Переходная функция звена

является прямой линией с угловым коэффициентом (Рис. 4.8)

h

t

⁰

Рис.4.8.

Весовая функция звена представляет собой скачкообразную функцию высотой (Рис.4.9).

V

₀ t

Рис.4.9.

4.5. Апериодическое звено первого порядка

К таким звеньям относят физические элементы, описываемые дифференциальным уравнением первого порядка:

,

где

-коэффициент передачи;

-постоянная времени.

Преобразовав уравнение по Лапласу:

,

получим передаточную функцию звена:

.

АФХ звена

,

где

, .

Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой полуокружность, расположенную в четвертом квадранте комплексной плоскости (Рис.4.10)

K

⁰ 90⁰

Рис.4.10.

Переходная функция звена:

,

Так как

= ,

то

.

График переходной функции приведен на рисунке 4.11 а. Она представляет собой возрастающую экспоненту.

h v

K

⁰ t ⁰ t

а) б)

Рис.4.11.

Весовая функция звена является положительной убывающей по модулю экспонентой (Рис.4.11б).

4.6. Реальное дифференцирующее звено

К таким звеньям относят элементы АСР, описываемые дифференциальным уравнением:

.

Преобразовав его по Лапласу

,

получим передаточную функцию

.

Отсюда

,

где

,

.

При , . При , .

АФХ является полуокружностью, расположенной в первом квадранте комплексной плоскости (Рис.4.12).

90⁰

⁰

K

Рис.4.12.

Переходная функция звена

является положительной убывающей экспонентой (Рис. 4.13а).

h V

₀ t

₀ t

а) б)

Рис4.13.

Весовая функция звена представляет собой отрицательную убывающую по модулю экспоненту (Рис.4.13б).

4.7. Инерционные звенья второго порядка

К таким звеньям относят элементы АСР, описываемые дифференциальным уравнением второго порядка:

,

где

-коэффициент передачи;

, -постоянные времени.

Преобразуем уравнение по Лапласу:

Отсюда

.

Корни характеристического уравнения

,

т.е. корни многочлена в знаменателе передаточной функции, выражаются как:

.

Обозначим , .

Тогда

и

Рассмотрим случаи:

1. Если , то корни характеристического уравнения действительные простые и переходная функция

Так как

то

и

,

где

; .

Производные функции

;

.

При , , .

Переходная функция при асимптотически стремится к значению , т.е. к установившемуся значению.

При

.

.

.

В соответствии со значениями при и графики функции и ее

производных принимают вид, приведенный на рисунке 4.14.

h(t) Точку на кривой ,

соответствующую

максимальной первой

K производной и переходу через

нуль второй производной,

⁰ t называют точкой перегиба

(V(t)) кривой.

₀ t

K

T²

₀ t

Рис.4.14.

2. Если , то корни характеристического уравнения действительные равные .

Следовательно,

.

И в этом случае , кривая функции имеет вид, изображенный на рисунке 4.14.Следовательно, при процесс апериодический.

3. Если , то корни комплексные сопряженные.

Тогда

и

Переходный процесс колебательный, затухающий по экспоненциальному закону.

В связи с этим, элементы АСР, описываемые уравнением второго порядка, называют колебательными звеньями в случае и апериодическими в случаях .

Аналитическое выражение АФХ звеньев второго порядка имеет вид:

,

где

;

.

Графики АФХ апериодического и колебательного звеньев приведены на

рисунке 4.15 а,б.

К К

180⁰ 180⁰

_рез

а) апериодическое б) колебательное

Рис.4.15.

АФХ колебательного звена (рис. 4.15б) имеет промежуточный экстремум. Частоту, соответствующую этому экстремуму (максимуму), называют резонансной.

Дата добавления: 2015-08-28