При открытии файла на запрос «Обновить связи» выбираем «Нет»

При открытии файла на запрос «Обновить связи» выбираем «Нет»

Тема: Сложение гармонических колебаний

1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты,

условия усиления

и ослабления.

2. Биения. Уравнение биений и его анализ.

3. Сложение взаимно перпендикуляр-ных колебаний.

1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, условия усиления и ослабления.

Под сложением колебаний понимают нахождение уравнения результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Пример таких колебаний приведен на рисунке. В этом случае грузик 2 одновременно колеблется относительно грузика 1 на пружине b и вместе с ним на пружине a.

Для получения уравнения результирующих колебаний используем метод вращающегося вектора амплитуды. На рисунке показаны векторы А ₁ и А ₂, положения которых заданы фазами Ф ₁ и Ф ₂ в некоторый момент времени. Проекции этих векторов на выбранную ось определяют смещения S ₁(t) и S ₂(t), которые изменяются по гармоническому закону

(1)

Амплитуда А _р результирующих колебаний равна векторной сумме амплитуд А₁ и А₂. Для определения амплитуды А _р результирующих колебаний запишем теорему косинусов для треугольника ОАА ₁

. (2)

Учитывая то, что , получим формулу для амплитуды А _р результирующих колебаний

, (3)

где Δ Ф – разность фаз складываемых колебаний.

Фаза Ф _р результирующих колебаний определяется следующей формулой

. (4)

Уравнение результирующих колебаний записывается в следующем виде

, (5)

где А _р и Ф _р определяются формулами (3) и (4).

Таким образом, амплитуда А _р результирующих колебаний (и результирующее смещение) определяется разностью фаз складываемых колебаний

. (6)

Из формулы (6) видно, что если частоты складываемых колебаний равны (ω ₁= ω ₂), то разность их фаз не зависит от времени и определяется разностью начальных фаз

. (7)

Тогда и амплитуда результирующих колебаний не будет зависеть от времени, т.е. будет постоянной. В этом случае два колебания совершаются согласованно во времени и их называют когерентными.

Когерентными называются колебания, для которых разность фаз постоянна.

Гармонические колебания с одинаковыми частотами являются когерентными.

При сложении гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты результирующее колебание также является гармоническим.

Различают два случая.

1. Разность фаз складываемых колебаний равна нулю или четному числу π

, где n = 0, 1, 2, 3… (7)

В этом случае при любом целочисленном значении n и по формуле (3) получим для результирующей амплитуды

А _р = А ₁ + А ₂.

Таким образом, при выполнении условия (7) колебания совершаются в одинаковой фазе и усиливают друг друга. Поэтому условие (7) называют условием усиления колебаний одного направления при их сложении.

2. Разность фаз складываемых колебаний равна не четному числу π

, где n = 0, 1, 2, 3… (8)

В этом случае при любом целочисленном значении n и по формуле (3) получим для результирующей амплитуды

А _р = | А ₁ – А ₂|.

Таким образом, при выполнении условия (8) колебания совершаются в противофазе и ослабляют друг друга. Поэтому условие (8) называют условием ослабления колебаний одного направления при их сложении.

Читателю предлагается самому посмотреть как влияют амплитуды А ₁ и А ₂ и начальные фазы φ ₀₁ и φ ₀₂ гармонических колебаний на результат сложения гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Для этого необходимо навести курсор на диаграмму и двойным «клик» активизировать ее. Затем в открывшемся окне изменять значения указанных величин, приведенных в цветных ячейках. По окончанию работы с графиком таблицу EXEL закрыть с сохранением или без сохранения данных.

2. Биения. Уравнение биений и его анализ.

При сложении колебаний одного направления, но с неодинаковыми частотами разность фаз Δ Ф (формула 6) будет изменяться с течением времени. Каждый из векторов А ₁ и А ₂ будет вращаться с разной скоростью и амплитуда результирующих колебаний будет изменяться с течением времени. В этом случае колебания не будут когерентными, и результирующее колебание не будет гармоническим. При большом отличии значений частот ω ₁ и ω ₂ получается довольно сложное результирующее колебание. Например, при ω ₁=9 ω ₂ график результирующего колебания имеет вид, показанный на рисунке.

Большой практический интерес представляет собой сложение гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Для простоты рассмотрим колебания с одинаковыми амплитудами А ₁ = А ₂ = А и начальными фазами, равными нулю . В этом случае уравнение результирующих колебаний будет иметь следующий вид (уравнение биений)

. (9)

При близких значениях частот ω ₁ и ω ₂ первый сомножитель

(10)

будет медленно и периодически изменяться с течением времени, и график результирующих колебаний будет иметь следующий вид (для одного периода биений).

В данном случае модуль величины, определяемой формулой (10) условно рассматривают как амплитуду А (t) результирующего колебания

. (11)

Уравнение результирующих колебаний записывается в следующем виде

. (12)

Рассмотренные колебания называются биением, а (12) называется уравнением биений.

Биением называется явление периодического изменения амплитуды результирующих колебаний, возникающее при сложении двух гармонических колебаний одного направления с близкими частотами.

Значение частоты Ω _б, равное разности частот ω ₁ и ω ₂ складываемых колебаний называется частотой биений

. (13)

Учитывая связь между циклической частотой и периодом можно получить следующую формулу для периода биений

. (14)

Из формулы (13) видно, что по мере сближения частот ω ₁ и ω ₂ частота биений уменьшается, обращаясь в ноль при ω ₁= ω ₂. На этом основан один из точных методов определения частоты неизвестных колебаний. В этом методе неизвестные колебания складываются с колебаниями регулируемой частоты, и измеряется частота биений. Неизвестную частоту определяют по исчезновению биений.

Читателю предлагается самому посмотреть как влияют периоды Т ₁ и Т ₂ и начальные фазы φ ₀₁ и φ ₀₂ гармонических колебаний на результат сложения гармонических колебаний одного направления с близкими частотами.

Для этого необходимо навести курсор на диаграмму и двойным «клик» активизировать ее. Затем в открывшемся окне изменять значения величин, приведенных в цветных ячейках. По окончанию работы с графиком таблицу EXEL закрыть с сохранением или без сохранения данных.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Пусть точка одновременно участвует в гармонических колебаниях вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений. Например, такое движение будет совершать «изображение» электронного луча на экране осциллографа, если на горизонтальные и вертикальные отклоняющие пластины подать гармонически изменяющиеся напряжения.

Свяжем направления колебаний точки (светового пятна) с прямоугольной системой координат, начало которой совпадает с положением равновесия. Смещения точки вдоль осей ОХ и ОY обозначим буквами x и y соответственно. Тогда уравнения рассматриваемых колебаний можно записать в следующем виде

. (15)

Уравнение результирующего движения получают исключением времени t из уравнений (15). В случае, когда значения частот складываемых колебаний не одинаковые, уравнение результирующего движения имеет довольно сложный вид. Это уравнение упрощается при равенстве значений частот (ω ₁= ω ₂= ω). В этом случае уравнение результирующего движения (уравнение траектории) принимает следующий вид

. (16)

Вывод уравнения (16) можно найти в книгах (А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. Курс физики, или Т.И. Трофимова. Курс физики). Только нужно учесть, что в книге Т.И. Трофимовой в формуле (145.2) под величиной φ следует понимать разность начальных фаз складываемых колебаний.

Уравнение (16) показывает, что в общем случае, в результате сложения взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты точка будет описывать эллипс с произвольной ориентацией осей. Ориентация осей эллипса, а также его размеры определяются значениями амплитуд А ₁, А ₂ и разности начальных фаз (φ ₀₂– φ ₀₁) складываемых колебаний.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) , где (17)

В этом случае третье слагаемое уравнения (16) обращается в ноль, правая часть равняется единице и получается уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат ОХ и ОY, а размеры полуосей равны амплитудам А ₁ и А ₂

. (18)

При этом, если А ₁ = А ₂, то уравнение (18) переходит в уравнение окружности. Т.е. точка будет описывать окружность

.(19)

2) , где (20)

В данном случае правая часть уравнения (16) обращается в ноль, и уравнение (16) переходит в уравнение прямой

. (21)

Т.е. точка будет гармонически колебаться с частотой ω и амплитудой вдоль прямой, составляющей с осью ОХ угол α, равный .

Таким образом, в зависимости от значений амплитуд и разности фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний результирующее колебание будет происходить по эллипсу, по окружности или вдоль прямой линии. Такие колебания называются эллиптически поляризованными, циркулярно поляризованными или линейно поляризованными соответственно.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний не равны, то получаются замкнутые траектории сложной формы, которые называются фигурами Лиссажу (по фамилии французского физика Ж. Лиссажу (1822-1880)). Форма фигур Лиссажу определяется соотношением значений амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. По форме фигуры Лиссажу можно определить значение частоты одного из колебаний, если известно значение частоты другого колебания.

Читателю предлагается самому посмотреть как влияют амплитуды А ₁ и А ₂, периоды Т ₁ и Т ₂ и начальные фазы φ ₀₁ и φ ₀₂ гармонических колебаний на результат сложения взаимно перпендикулярных колебаний.

Для этого необходимо навести курсор на диаграмму и двойным «клик» активизировать ее. Затем в открывшемся окне изменять значения величин, приведенных в цветных ячейках.

Сначала предлагается при равенстве периодов Т ₁ и Т ₂ изменять амплитуды и начальные фазы и проверить справедливость формул (17-21). После чего последовательно изменяя значения всех параметров наблюдать фигуры Лиссажу.

По окончанию работы с графиком таблицу EXEL закрыть с сохранением или без сохранения данных.

Вопросы для самопроверки:

1. Какие колебания называются когерентными?

2. При каких условиях сонаправленные колебания будут усиливать либо ослаблять друг друга?

3. Что называется биением? Какой формулой определяется частота биений?

4. При каких условиях получаются эллиптически, циркулярно или линейно поляризованные колебания

Дата добавления: 2015-08-27