Основные свойства гироскопа

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИРОСКОПА

ПРЕДИСЛОВИЕ

Руководство является пособием для студентов, изучающих гироско­пические приборы, и содержит методические указания по выполнению ла­бораторных работ «Основные свойства гироскопа». Оно предназначается для студентов специальностей 181200,181001, однако в равной степени им могут пользоваться и студенты других специальностей при условии, что преподаватель, ведущий занятия, соответственно программе лекционного курса изменит объем выполнения лабораторной работы.

Как показывает опыт, осмысленное выполнение лабораторных работ в существенной степени способствует более полному и глубокому усвое­нию изучаемой дисциплины. При этом студенты получают наглядное под­тверждение основных теоретических положений, а также знакомятся с принципами работы и различными вариантами конструктивного оформле­ния гироскопических приборов.

В связи с тем, что проведение лабораторных занятий, как правило, плани­руется параллельно лекционному курсу, в работе кратко излагается необ­ходимый минимум основных сведений, без усвоения которого выполнение работы перестает быть осмысленным.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИРОСКОПА

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

Цель работа - изучить основные свойства гироскопа и уяснить физи­ческую сущность гироскопических явлений.

Задачи работы - экспериментально определить основные параметры движения гироскопа.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Гироскопом называют быстро вращающееся относительно главной оси симметрии¹ тело, имеющее две или три степени свободы.

Для обеспечения степеней свободы обычно применяют карданный подвес (рис. 1). Ось О Z симметрии ротора 1 называют осью фигуры, главной осью или осью собственного вращения гироскопа.

Ротор гироскопа 1 с большой угловой скоростью Q вращается во­круг оси о Z во внутренней рамке 2, которая, в свою очередь, может пово­рачиваться вокруг оси ОХ относительно внешней рамки 3, а последняя | вокруг оси ОI относительно неподвижного основания 4 (схема расположе­ния гироскопа относительно основания может быть различной, рис. 1, а и б). Обычно стремятся, чтобы ось о Z была перпендикулярна осям Ц и OX, и чтобы они пересекались в одной точке О. В этом случае точка о будет являться неподвижной при любых угловых движениях основания. Гироскоп, установленный в карданном подвесе, называют гироскопом с тремя степенями свободы (трёхстепенным гироскопом). Если центр тяже­сти гироскопа совпадает с неподвижной точкой, то такой гироскоп назы­вают астатическим. Если центр тяжести не совпадает с неподвижной точ­кой, гироскоп называют тяжелым гироскопом. Астатический гироскоп, во­круг осей подвеса которого не действуют никакие внешние моменты, на­зывают свободным гироскопом.

Свободный гироскоп при отсутствии внешних моментов обладает свойст­вом сохранять неизменным первоначальное направление своей главной оси (оси фигуры) в пространстве независимо от того, какое положение будет занимать основание, на котором он установлен. Указанное свойство выте­кает непосредственно из теоремы о кинетическом моменте, которая при­менительно к гироскопу может быть сформулирована следующим образом. Скорость конца вектора кинетического момента (я) равна результирую­щему моменту (м) внешних сил (теорема Резаля), т.е.

— = М или U=M, H=J,U (1) dt

Где J, - полярный момент инерции; Q - угловая скорость собственного вращения ротора; U - линейная скорость конца вектора Я.

Если сумма моментов, действующих на гироскоп, равна нулю, то согласно уравнению (1)

<Ш _я гг

— = 0, откуда Я = const, dt

а это означает, что вектор кинетического момента Я остается постоян­ным (по величине и по направлению).

Именно благодаря указанному свойству, гироскоп и находит широкое при­менение в качестве указателя, «запоминающего» заданное направление.

В принципе, любой уравновешенный предмет (например, тот же самый ро­тор в карданном подвесе (рис. 1), но при Q = 0 (т.е. невращающийся ротор)), обладающий тремя степенями свободы при условии отсутствия внешних моментов и моментов от реакций, будет сохранять неизменным первоначально заданное ему направление.

Однако в реальных устройствах добиться полного отсутствия связей прак­тически невозможно. Поэтому при движении основания через посредство имеющихся связей оно (движение) будет передаваться и на «предмет- указатель», уводя его от заданного направления.

Ротор гироскопа благодаря большой угловой скорости вращения О, обла­дает «повышенной» инерционностью и поэтому при условии малости воз­мущающих моментов вокруг осей вращения внешней и внутренней рамок его отклонения от первоначально заданного направления будут незначи­тельными. Более подробно о причинах «повышенной инерционности» ги­роскопа будет сказано ниже.

В основе гироскопических явлений лежат поворотные ускорения или уско­рения Кориолиса. Ускорения Кориолиса возникают при сложном движе­нии, когда точки тела движутся с относительной и переносной скоростями, причем переносная скорость должна быть обязательно вращательной. Ускорение Кориолиса Щ точки тела в общем виде может быть выражено удвоенным векторным произведением вектора угловой скорости перенос­ного вращения ю на вектор линейной скорости относительного движения V данной точки

W_K=2axV (2)

или

W_K = 2a>V sin а (3)

Соотношения (2) и (3), где а - угол между векторами со и Н, полно­стью определяют ускорение Кориолиса как по величине (модулю), так и по направлению. В качестве примера, поясняющего сущность появления ус­корений Кориолиса, рассмотрим следующий частный случай сложного движения точки (рис. 2).

Предположим, что штанга 1 вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной оси 01, расположенной перпендикулярно к чертежу. По штанге 1 с линейной скоростью Щ движется муфта 2. В данном случае движение штанги является переносным движением, а движение муфты от­носительно штанги — относительным движением. Будем считать, что вся масса сосредоточена в точке А.

Итак, точка А участвует в сложном движении: относительном со скоро­стью V_r и переносом с линейной скоростью Щ Линейную скорость пере­носного движения Щ находим как линейную скорость при вращательном движении V_t=cor, где 1 - радиус вращения (в данном случае г = ОА). Траекторией движения точки А будет спиральная линия. Согласно соот­ношению (3)

W, = 2coV_r,

так как а =±90".

Как видим, направление вектора W_n будет совпадать с направлени­ем вектора Щ (для данного частного случая, когда 75iV_r, направление вектора W_t может быть получено поворотом вектора относительной ско­рости V_r на 90" в сторону вращения со).

Физически ускорение Кориолиса Щ = 2 aV_r обусловлено сложным движе­нием точки А.

Одно проюведение coV_r есть следствие того, что вектор относительной скорости Ц поворачивается со скоростью переносного вращения ш. Из рис. 3 видно, что за малый промежуток времени Д/ точка А переместит­ся в положение А' и вектор относительной скорости Щ повернется на угол &д>. Тогда ввиду малости угла &<р можем записать ДК,«Д <рУ_г (где 1 - тангенциальное направление; в нашем случае перпендикулярное V _r) или, поделив правую и левую части на д/ и перейдя к пределам, полу­чим

(4)

dt dt

Второе произведение coV_r получается от изменения по модулю скорости переносного движения точки Щ = сот.

На рис,4 видно, что за таг же малый промежуток времени Л/ точка А, першесгиыиись в положение А', приобретает большую переносную скорость К/, так как увеличится радиус л, > г, Следовательно,

ДК, * ш(г_{ - г,) я а;Лг,

Как и в предыдущем случае, поделив это равенство на м и перейдя к пределам, будем иметь

Полное же значение ускорения Кориолиса равно сумме правых частей ра­венств (4) и (5), т.е.

W, =2coV_r.

Масса муфты т, умноженная на ускорение Кориолиса с обратным знаком, даст силу инерции Кориолиса

T.=-mW„ (6)

которая проявит себя давлением муфты на штангу.

Таким образом, при рассмотрении сложного движения тела необходимо учитывать не только силы инерции относительного и переносного движе­ний, но также и силу инерции Кориолиса.

Момент, создаваемый силами инерции Кориолиса, называют гироскопи­ческим моментом (эффектом или реакцией).

Для пояснения природы возникновения гироскопического момента рассмотрим сложное движение обруча (рис. 5) радиуса R вокруг непод­вижной точки 0, совпадающей с его центром тяжести. Обруч совершает вращение вокруг полярной оси симметрии 01 с относительной угловой скоростью П. Кроме этого, он еще вращается с переносной угловой ско­ростью Я вокруг экваториальной оси Оу относительно инерциальной системы координат (инерциальной системой координат называют такую, которая не имеет ускорений относительно звезд).

Положим, что Ц» а. Тогда полную угловую скорость Й_я, равную сумме Ц и Ш, приближенно можно считать равной Щ (т.е. а

кинетический момент Я соответственно равен J_гЩ. В данном случае от­носительно выбранной системы координат каждая материальная точка об­руча, участвуя в сложном движении, имеет две составляющие скорости: V_r = Щ (относительная скорость) и Щ = coRcosa (переносная скорость). Выясним последовательно, как и в предыдущем примере, изменение этих скоростей.

Рассмотрим изменение векторов относительной скорости каждой мате­риальной точки обруча, пробегающей через положения 1, 2, 3, и 4 (рис. 6, а) за малый промежуток времени Д/. Из-за переносной угловой скорости а векторы относительной скорости Ц соответственно в точках 2 и 4 повернутся на угол Щ вокруг оси Оу и, следовательно, получает приращение скорости ЯШ В точках же 1 и 3 векторы V, переместятся параллельно самим себе и приращения скорости не будут иметь место.

Следовательно, материальные точки диска, пробегая последователь­но положения 1,2, и 3, получают на этом интервале ускорения, направлен­ные по оси 01 (положительного знака). Причем в точках 1 и 3 ускорение Кориолиса равно нулю, а в точке 2 оно будет максимальным (так как в точ­ках 1иЗ sin а = 0,авточке2 sina = l).

На интервале 3, 4, 1 явления повторяются с той лишь разницей, что точки будут получать ускорения, направленные навстречу оси 01, т.е. Отрица­тельного знака. Закон изменения ускорений точек для рассмотренного слу­чая представлен на рис. 6, б. В результате возникнут инерционные силы, обусловленные рассмотренными ускорениями различных материальных

точек обруча. Эти силы и создадут инерционный момент М'_г = вокруг

оси Ох (рис. 6, б).

Рассмотрим изменение векторов скорости переносного движения V, в тех же точках 1, 2, 3 и 4, что и в предыдущем случае (рис. 7, а). Из рис. 7, а очевидно, что переносная скорость V, произвольной материальной точки диска V, = aRcosa. Тогда V, в точках 1 и 3 имеет максимальное значение и равна caR, а в точках 2 и 4 равна нулю (так как соответственно в этих точках cos а равен 1 и 0).

На рис. 7, б пунктирной линией показан закон изменения скорости, а сплошной линией - закон изменения ускорения точек обруча. Совершенно также, как и в предыдущем случае, ускоренные движения точек диска вы­зовут инерционные силы Ц, которые, в свою очбредь, создадут инерцион- М-

ный момент М’_г = —- вокруг оси Ох.

Суммарный инерционный момент, полученный в первом и втором случаях, и будет инерционным моментом от сил Кориолиса, т.е. гироскопическим моментом.

Величина и направление гироскопического момента М в общем случае полностью определяются векторным произведением вектора кине­тического момента Я на вектор угловой скорости переносного движения со, т.е.

М _г = Я х со

или

М _г = /Л» sin Н<о

Итак, рассматривая сложное движение обруча, мы пришли к выводу, что его точки движутся ускоренно (даже в случае, когда со и £1 постоянны), и в результате вокруг оси Ох возникает инерционный момент, который называют гироскопическим моментом (рис. 8). На основании принципа Даламбера момент всех инерционных сил (обусловленных ускорениями: переносным, относительным и кориолисовым) уравновешивает внешний момент и момент реакций связей. В нашем случае моменты от реакций связей приняты равными нулю.

Тогда можно утверждать, что гироскопический момент М (поскольку он является инерционным моментом) уравновешивает приложенный к рас­сматриваемому обручу внешний момент М ₈, т.е.

Угловая же скорость переносного вращения со есть результат действия внешнего момента. Таким образом, мы решили обратную задачу: задав­шись движением тела со скоростью со, нашли причину его вызвавшую - внешний момент.

Движение быстровращающегося тела с угловой скоростью со под дейст­вием приложенного внешнего момента М_в называют прецессионным движением или прецессией (нутационные колебания в данном случае не учитываются). На основании равенства (9) можем записать

Уравнение (10) носит название закона прецессии. Из его рассмотрения можно сделать важные выводы:

— со = 0 при М_в - 0, т.е. главная ось трехстепенного гироскопа будет ос­таваться неподвижной, если относительно его осей подвеса не дейст­вуют внешние моменты.

— Угловая скорость прецессии со прямо пропорциональна величине внешнего момента М_в и обратно пропорциональна величине кинети­ческого момента Я.

— Величина угловой скорости прецессии со, соответствующая данным значениям приложенного момента М_в и кинетического момента Я, возникает «мгновенно», скачком, при приложении момента и «мгно­венно» же, скачком, исчезает при снятии момента. Иначе говоря, пре­цессия представляется «безынерционной». Однако «безынерцион- ность» прецессии есть явление кажущееся, поскольку равенство (10) является в общем случае приближенным и не отражает полной картины движения главной оси гироскопа, хотя и позволяет сделать основные практические выводы.

Для определения направления вектора гироскопического момента М_г, в зависимости от условий поставленной задачи, можно пользоваться одним из нижеследующих правил (рис. 9).

1) Гироскопический момент направлен в противоположную сторону приложенному внешнему моменту.

2) Гироскопический момент направлен таким образом, чтобы со­вместить вектор собственного вращения Q (или вектор кинети­ческого момента Я) с вектором угловой скорости прецессии в по кратчайшему пути против часовой стрелки.

3) Вектор гироскопического момента М_г всегда перпендикулярен векторам кинетического момента Н (или П) и угловой скорости прецессии со и направлен таким образом, что, если смотреть с конца вектора М_г, то будем видеть вращение вектора Н к век­тору а по кратчайшему пути против часовой стрелки.

Более полно судить о характере движения оси гироскопа можно при рассмотрении уравнений движения, учитывающих «обычные» инерцион­ные члены. Эти уравнения записываются в следующем виде:

(П)

J_ya + Hj3 = M_y,

где J_х и J_у - моменты инерции подвижной системы соответственно от­носительно осей Ох и 0_у (рис. 9);

а, а, р, р - угловые скорости и ускорения поворота главной оси гиро­скопа соответственно вокруг осей 0 у и Ох.

Уравнения (11) являются уравнениями моментов, показывающими, что в общем случае действие внешних моментов М_х и М_у уравновеши­вается инерционными моментами вида J_xp и J_уа и инерционными ги­роскопическими моментами На и Нр.

Если предположить отсутствие собственного вращения ротора, т.е. положить Н = J_ZQ. = 0, то уравнения (11) вырождаются в обычные уравне­ния, выражающие второй закон Ньютона для случая вращательного дви­жения тела.

Если же пренебречь инерционными моментами вида, J а, то получим уравнения, выражающие закон прецессии:

Нй = М_х;

(12)

нр=м_у

Уравнения (12) называют прецессионными уравнениями, так как они характеризуют прецессионные движения.

Подробный анализ уравнений (11) показывает, что в общем случае при действии внешних моментов ось гироскопа кроме прецессионного движения совершает еще дополнительное движение циклического харак­тера, называемое нутационными колебаниями или нутацией.

Основными параметрами нутационных колебаний являются: круго­вая частота

Период

И амплитуды

Полную картину движения главной оси гироскопа под действием приложенного момента относительно одной из его осей подвеса можно представить себе из рассмотрения следующего примера (рис. 10).

По оси Ох гироскопа, обладающего кинетическим моментом Я и помещенного в карданный подвес, приложен внешний момент М_в =Р1 (считаем, что в начальный момент оси гироскопа были неподвижны и век­тор кинетического момента Н находился в горизонтальной плоскости, а ось внешней рамки 0>- расположена вертикально).

Постоянный момент S4_B вызовет ускоренное вращение внутренней рамки с угловой скоростью р и угловым ускорением р, опускающее ось ротора. Это ускоренное переносное движение создает гироскопический момент А/_п = нр вокруг оси 0>-, который в свою очередь вызовет уско­ренное вращение внешнего кольца с угловой скоростью а и угловым ус­корением а. Это второе ускоряющееся переносное движение вызовет вто­рой возрастающий гироскопический момент М_гг = На вокруг оси Ох, на­правленный против внешнего момента М„.

Пока А/, >М_п величина р будет возрастать, а вместе с ней будут расти и момент М_п = #/?, и угловая скорость а. Когда М_в < М_п = На р начнет убывать, сохраняя свое направление, а гироскопический момент \4_п =Нр, который действует все время в одном направлении, будет уве­личивать скорость а внешнего кольца. Так как при этом М_гг = На > М _в, то угловая скорость р убывает, и когда она станет равной нулю, скорость а будет наибольшей. Затем угловая скорость р изменит свое направле­ние, и ось ротора под действием разности моментов М_п -М_в = На-Р1 начнет ускоренно подниматься: при этом гироскопический момент М_п = нр, действующий во!фуг вертикальной оси 0 у, также изменит свой знак и будет теперь замедлять движение внешней рамки, - скорость а бу­дет уменьшаться.

Пока М_Г1=На>М_в ось ротора ускоренно поднимается, скорость Р возрастает и поэтому возрастает гироскопический момент М_п=-Нр, тормозящий движение внешней рамки, и а уменьшается. Когда умень­шающийся гироскопический момент М_Г2 = На станет меньше М_в = Р1, то движение внутренней и внешней рамок начнет замедляться, пока обе скорости а и р не обратятся в нуль. С этого момента все явления нач­нут повторяться в той же последовательности. В итоге ось ротора соверша­ет сложное движение, причем траектория вершины вектора Н будет сходна с циклоидой, у которой точки заострения расположены сверху.

В общем случае форма траектории вершины вектора Н зависит от начальных условий и может иметь один из четырех видов, представленных на рис. 11, что соответствует следующим начальным условиям:

а)при /=0, /3 = 0, а- 0;

М

б) при / = 0, р = 0,

Л

в) при / = 0, р = 0, а* 0, при этом а направлена так, что М_п и М_в приложены в одном направлении;

М

г) при t = 0, р = 0, а = —^~.

Рлпонпноа

Таким образом, движение оси гироскопа под действием внешнего постоянного момента можно рассматривать как сумму двух движений: ре­гулярной прецессии со скоростью а вокруг оси 0 у (рис. 11, г) и нутаци­онных колебаний вокруг осей Ох и 0 у. Обычно в реальных гироскопиче­ских устройствах период и амплитуда нутации оси гироскопа настолько малы, что суммарное движение мало отличается от регулярной прецессии (т.е. прецессии без нутационных колебаний) и носит название псевдорегу- лярной (ложнорегулярной) прецессии.

Кроме того, нутация сравнительно быстро затухает из-за трений и других сопротивлений, после чего остается только прецессия, существова­ние которой обеспечивается приложенным к гироскопу внешним момен­том.

Если у трехстепенного гироскопа исключить одну из степеней свобо­ды, например, застопорить внешнюю рамку, то получим двухстепенный гироскоп, который будет обладать несколько иными свойствами.

При повороте основания (рис. 12) вокруг осей Ох и 0 z главная ось гироскопа будет сохранять свое первоначальное направление неизменным (аналогично трехстепенному гироскопу). При повороте же основания во­круг оси 0 у с угловой скоростью со вместе с основанием будет повора­чиваться и внутренняя рамка и ротор гироскопа. Следовательно, каждая материальная точка ротора будет совершать сложное движение - относи­тельное с угловой скоростью Q и переносное с угловой скоростью со.

В результате вокруг оси Ох будет возникать гироскопический мо­мент М_г = Нсо sin НШ, который заставит поворачиваться главную ось гиро­скопа в направлении от Н к со по кратчайшему пути с угловой скоро­стью Ц. Угловая скорость 1 вызовет гироскопический момент М_п = Hji, действие которого уравновесится моментом реакций R в под­шипниках внутренней рамки, так как движение вокруг оси 0 у невозмож­но.

При приложении внешнего момента М_в вокруг оси Ох рамки двухстепенного гироскопа (рис. 13) его главная ось начнет ускоренно по­ворачиваться с угловой скоростью р и угловым ускорением р в направ­лении приложенного момента точно так же, как если бы ротор не вращался (если не учитывать увеличения момента трения в подшипниках рамки от гироскопического момента М_п=Н/3).

Свойство двухстепенного гироскопа совмещать вектор кинетическо­го момента Я с вектором вынужденного вращения со находит очень широкое применение в приборах, измеряющих угловые скорости и углы поворота различных объектов.

ЗАДАНИЕ

— Изучить принципиальную схему и устройство лабораторной уста­новки.

— Проследить на лабораторной установке:

3) свойство гироскопа сохранять неизменным направление своей оси в пространстве при отсутствии внешних моментов относи­тельно осей его подвеса и при различных поворотах основания;

4) правила прецессии гироскопа при действии внешних моментов относйтельно осей подвеса;

5) нутационные колебания и их зависимость (качественная) от величины внешнего момента и величины кинетического момен­та;

6) поведение двухстепенного гироскопа при поворотах основания вокруг различных осей и при наложении внешнего момента к рамке.

7) Снять зависимость скорости прецессии со главной оси гироскопа от величины внешнего момента М_в при постоянном значении кинетиче­ского момента Я (=) при Я = const).

8) Снять зависимость скорости прецессии со главной оси гироскопа от величины кинетического момента Я при постоянном значении внеш­него момента М_в {со = /(я) при М_в = const).

9) По полученным экспериментальным данным подсчитать количест­венное значение величины кинетического момента Я.

Краткое описание лабораторной установки (рис. 14)

В качестве испытуемого гироскопа в данной работе взят гироузел 1 продольно-поперечного стабилизатора автопилота АП-5, который установ­лен на платформу 2, имеющую возможность поворачиваться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей х', у' и z. Повороты внешней и внут­ренней рамок гироскопа фиксируются по магнитоэлектрическим приборам, установленным на пульте и включенным в диагонали мостовых схем.

Плечами мостовых схем являются постоянные сопротивления R и потенциометры Щ и П_у, установленные на корпусе прибора по осям х и у. Ротор гиромотора приводится во вращение двигателем постоянного тока при напряжении 27 в. Напряжение питания можно изменять потен­циометром. Напряжение питания и потребляемый ток контролируются по вольтметру и амперметру.

Магнитоэлектрические указатели углов поворота оси гироскопа во­круг осей внешней и внутренней рамок оттарированы в угловых градусах.

В комплект установки для проведения экспериментов входят секун­домер и набор специальных грузов, которые можно получить у лаборанта.

---

Дата добавления: 2015-11-04