; орт 
спрямовано вздовж руху зарядів; 
.
Отже, в загальному випадку для тангенціальної складової вектора напруженості магнітного поля маємо таку крайову умову:
; тут в правій частині записано 
густину поверхневого струму. Відзначимо, що 
.
Отже, в лінійних задачах вважається, що тангенціальна складова напруженості магнітного поля є неперервною на межі поділу середовищ, а в нелінійних – тангенціальна складова напруженості може мати розрив на межі поділу середовищ.
3). Розглянемо рівняння для об’ємної густини вільних зарядів: 
;
Проінтегруємо це рівняння за перпендикулярною координатою:
;
тут 
поверхнева густина вільних зарядів.
Отже маємо наступну крайову умову для нормальної складової вектора індукції магнітного поля: 
, тобто розрив нормальної складової індукції електричного поля обумовлено наявністю поверхневої густини вільних зарядів на межі поділу середовищ.
4). 
; Права частина цього рівняння дорівнює нулю, бо виконується крайова умова (1) для нормальної складової індукції магнітного поля. Вектор 
орієнтовано вздовж нормалі до поверхні поділу середовищ, тому 
. 
; 
;
Отже, для тангенціальних складових напруженості електричного поля маємо: 
5). Для повного потоку електричних зарядів крізь межу двох середовищ:
.
Отже, повний струм крізь будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю: скільки зарядів входить в неї – стільки ж і виходить з неї. При цьому, якщо 
, тобто у стаціонарному випадку, тоді маємо тривіальне співвідношення: 
.
Лекція № 4 «Плоскі електромагнітні хвилі»
Спочатку рівняння Максвелла мало кого цікавили, бо в середині 19 сторіччя фізики та пересічні науковці, не говорячи вже про трудящих, мали справу з явищами, для яких 
. Тому Максвелл просто показав,що з його рівнянь виходить існування електромагнітних хвиль, визначив їхню швидкість та тиск на середовище. Потім він закинув цю справу. Але через роботи Хевісайда, Фітцджеральда, Герца в кінці 19 сторіччя на ці рівняння знов звернули увагу.
Нехай у нас є однорідне необмежене непровідне середовище, тоді 
, а рівняння Максвелла мають вигляд:
; 
; 
; 
. Застосуємо операцію обчислення ротора: 
; 
лапсасіан;
Оскільки 
, то і 
також.
; 
;
; Отже маємо хвильове рівняння:
; Аналогічне хвильове рівняння можна записати і для напруженості електричного поля: 
, тут 
- швидкість поширення електромагнітної хвилі.
Оператор Лапласа у випадку Декартової системи координат має вигляд: 
. Тому довільна функція типу 
задовольняє хвильове рівняння. Для неї хвильове рівняння має вигляд:
.
В окремому випадку плоских хвиль, коли 
тоді
; 
; 
; 
;
; 
;…
; 
; (зверніть увагу на математичною аналогію між індукціями електричного та магнітного полів). Отже, маємо 
Отже, маємо дві групи рівнянь:
З 
маємо 
;
Тобто 
--- це знову хвильове рівняння!
Або для 
маємо: 
--- це знову хвильове рівняння.
Отже, в такому випадку, коли 
ми маємо дві хвильові моди: одна хвиля з компонентами поля 
; а друга хвиля має інші компоненти поля 
, які поширюються у вигляді плоских хвиль (в даному випадку вздовж осі 
) зі скінченою швидкістю 
. При цьому це — поперечні моди, що визначається взаємною орієнтацією напрямку їхнього поширення та векторів напруженосте й полів: 
Цікаво, що 
та 
утворюють праву трійку векторів, бо 
.
Для першої хвильової моди маємо трійку векторів: 
, 
, 
;
а для другої моди: 
, 
, 
.
; 
; 
;
Вводимо позначку: 
; 
;
де 
— однозначна функція, що не має розмірності.
;
Для другої моди маємо: 
; 
;
; 
< 
, тобто ця хвиля (друга мода) біжить в бік від’ємних значень 
; тому маємо 
.
Отже, для обох мод: 
; 
.
Як видно з цієї системи рівнянь перша та друга моди характеризуються фазовими швидкостями, які спрямовано у протилежні боки.
Покажемо, що енергії плоскої електромагнітної хвилі розподілена порівну на дві частини: поміж магнітною 
та електричною 
складовими.
тобто маємо тотожність, отже зв'язок між напруженістю магнітного та електричного полів, фазовою швидкістю є справедливою. Для плоских хвиль 
.
Об’ємна густина енергії магнітного поля дорівнює: 
; а для об’ємної густини енергії електричного поля маємо: 
.
, тобто маємо: 
Вигляд функції 
для біжучої електромагнітної хвилі може бути будь-яким, але ми зупинимося на випадку синусоїдальних хвиль, бо вони найпростіші для аналізу
; 
;
--амплітуди хвилі, 
-- хвильове число; 
аналогічно добутку 
, отже як 
визначає просторовий масштаб хвилі, так і 
визначає часовий масштаб.
Фронт плоскої хвилі — це площина, де фаза хвилі є константою: 
. Відзначимо, що функції 
та 
легко переписати у комплексній формі 
;
Це дозволяє 
та 
записати з урахуванням початкових фаз: 
. Отже, у діелектрику електричний та магнітний вектори біжучої монохроматичної хвилі змінюються в однакових фазах, це є наслідок застосування формул зв’язку вищезазначених трьох векторів:
; 
.
Зазначимо, що в провідних середовищах фази електричних 
та магнітних 
полів не співпадають!
Лекція №5
«Циліндричні хвилі»
Хвильове рівняння для магнітного поля має вигляд: 
його розв’язок має вигляд: 
Тоді це рівняння можна переписати:
Його розв’язок для декартової системи координат описується в термінах гармонічних функцій.
В циліндричній системі координат оператор Лапласа має вигляд 
у випадку застосування його до скаляра. Отже маємо:
це рівняння Бесселя 
-ого порядку. 
це є рівнянням Бесселя нульового порядку. Його розв’язком є суперпозиція функцій Бесселя та Неймана нульових порядків:
Запишемо асимптотики цих функцій для великих значень їхніх аргументів:
; 
;
Площа бокової поверхні циліндру 
Енергія, що переноситься крізь бокову поверхню радіусу 
, це 
підставимо асимптотику для магнітного поля: 
; Тоді дійсно, маємо стале значення енергії, яка проходить крізь бокову поверхню циліндру з змінним значення радіуса: 
,
де 
- це середнє значення квадрату косинуса.
***Сферичні хвилі***
Хвильове рівняння: 
підставимо 
, за цих умов отримаємо: 
. Для сферичної системи координат оператор Лапласа для скаляра має вигляд: 
Отже, для Лапласиану маємо: 
Запишемо хвильового рівняння у наступному вигляді: 
Введемо позначку: 
тепер маємо для хвильового рівняння такий вираз: 
Перепишемо його так: 
Отже, маємо рівняння: 
, яке розв’язуються в термінах спеціальних сферичних функціях. Воно є частинним випадком загального рівняння з теорії спеціальних функцій: 
, яке розв’язується функціями 
. Для порядку 
маємо 
, а для порядку 
маємо 
. Магнітне поле описується суперпозицією цих двох спец-функцій, але оскільки функція 
розходиться, то її відкинемо, а залишимо одну функцію 
.
Шукаємо розв’язок хвильового рівняння у вигляді: 
… 
Підставимо ці значення першої та другої похідної до хвильового рівняння:
Отже, дана підстановка залежності магнітного поля від радіусу задовольняє хвильове рівняння.
Енергія, яка перетинає сферичну поверхню радіусу 
, тоді маємо: 
; Якщо підставити напруженість поля у вигляді 
, то справді отримаємо стале значення енергії, що перетинає поверхню сфери: 
.
***Енергія електромагнітної хвилі, її потік***
Перед цим ми показали, що 
, отже: 
; 
Повна густина енергії 
Енергія в об’ємі 
дорівнює: 
Нехай маємо ізотропне середовище: 
Обчислимо похідну від густини енергії за часом:
Мішаним добутком трьох векторів називається число, яке дорівнює векторному добутку перших двох векторів, помноженому скалярно на третій вектор:
.
Значить, маємо 
-- це потік електромагнітної енергії.
Отже, зміна з часом величини електромагнітної енергії в об’ємі 
обумовлена утворенням Омічного тепла 
та потоком електромагнітної енергії крізь поверхню 
, що охоплює об’єм 
. Відзначимо, що ця зміна 
не залежить від струму зсуву. Густина потоку електромагнітної енергії визначається так: 
, тут 
- це вектор Пойнтинга. Зазначимо, що одночасно з ним Хевісайд отримав 
для хвиль, що біжать вздовж електричного кабелю.
Відзначимо, що 
не залежить від властивостей середовища, де біжить електромагнітна хвиля. Густина потоку енергії електромагнітного поля 
пов’язана з густиною енергії в об’ємі простору:
Оскільки 
Задача (виділення Джоулева тепла в дроті)
Розглянемо ділянку дроту довжиною 
>> 
, яка є більша за радіус дроту. Тоді з певною точністю 
Поле 
орієнтовано по дотичній до циліндру (поверхні дроту),тоді 
спрямовано вздовж дроту 
. Якщо вздовж дроту тече струм 
, то Джоулеве тепло, що виділяється в одиниці об’єму, дорівнює 
.
1). Якщо немає сторонніх сил, тоді 
, 
;
густина потоку, весь потік обчислюється так 
. Це співпадає з кількістю Омічного тепла 
, яке виділяється в об’ємі 
.
Лекція №6
***Імпульс електромагнітного поля***
Спочатку імпульс використовували як характеристику механічного руху. Далі цей термін поширили на інші типи руху матерії. Факт тиску електромагнітного поля на механічні тіла теоретично довів Максвелл. Цей тиск є результатом взаємодії магнітного поля хвилі з електромагнітними струмами (в тому числі поляризаційними струмами 
) у середовищах, з яких складаються механічні об’єкти.
Нехай у середовище з провідністю 
потрапила електромагнітна хвиля з напруженістю 
: 
-- цей змінний струм збуджується змінним полем 
. Отже, на одиницю об’єму діє сила 
Цю силу спрямовано в бік напрямку поширення хвилі, вона створює тиск хвилі; 
- силу спрямовано вздовж вектора Пойнтинга; 
, де 
-- це сила струму, 
-- поверхневий струм, 
-- елементарна площа, на яку діє сила.
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 21 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |