1. Ваша фамилия записана на карточках (по одной букве на карточке). Карточки перемешали и наугад выкладывают по одной слева направо. Какова вероятность того, что снова получится ваша фамилия.

Вариант № 8

1. Ваша фамилия записана на карточках (по одной букве на карточке). Карточки перемешали и наугад выкладывают по одной слева направо. Какова вероятность того, что снова получится ваша фамилия.

Решение.

Моя фамилия «Ковалев» состоит из 7 букв, две с которых повторяются. Для определения вероятности того, что снова получится моя фамилия (событие А) воспользуемся следствием теоремы умножения вероятностей:

вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Тогда ,

где - вероятность вытянуть букву «К»,

- вероятность вытянуть следующую букву «о»,

- вероятность вытянуть следующую букву «в»,

- вероятность вытянуть следующую букву «а»,

- вероятность вытянуть следующую букву «л»,

- вероятность вытянуть следующую букву «е»,

- вероятность вытянуть следующую букву «в».

Отсюда,

Ответ: .

2. Производятся 3 испытания прибора. А_i – событие, состоящее в том, что при i-ом испытании (i=1,2,3) прибор выйдет из строя. Выразить через А_i следующие события:

А – прибор выйдет из строя при двух испытаниях;

В – прибор не выйдет из строя;

С – прибор выйдет из строя хотя бы при одном испытании.

Решение

И так имеем следующие события:

- выходит из строя прибор при 1-ом испытании,

- выходит из строя прибор при 2-ом испытании,

- выходит из строя прибор при 3-ем испытании.

Событие А – прибор выйдет из строя при двух испытаниях. , где

– выходит из строя прибор при 1-м и 2-м испытании,

– выходит из строя прибор при 2-м и 3-м испытании,

– выходит из строя прибор при 1-м и 3-м испытании.

Тогда .

Событие В - прибор не выйдет из строя. Это означает совместное появление независимых событий , где - события, противоположные событиям .

Тогда .

Событие С – прибор выйдет из строя хотя бы при одном испытании. Это событие противоположное событию В. Тогда

.

3. Эксперимент состоит в подбрасывании двух правильных шестигранных игральных костей. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших на верхних гранях двух костей. Описать пространство элементарных событий и найти вероятности следующих событий:

а) сумма выпавших очков равна 7;

б) сумма очков равна 10, а произведение 21;

в) сумма очков не превышает 5;

г) разность очков меньше 7;

д) сумма очков расположена в промежутке [7;9].

Решение

В данном случае пространство элементарных событий - множество всех различных исходов подбрасывания двух правильных шестигранных игральных костей.

Пусть ω_i - событие, состоящее в том, что на кости выпало i очков.

Пространство элементарных исходов состоит из следующих элементарных событий , где .

А) Событие А - сумма выпавших очков равна 7.

, откуда число исходов, благоприятствующих событию А равно . Общее число исходов . Тогда вероятность события А

.

Б) Событие В - сумма очков равна 10, а произведение 21.

. Откуда . Тогда .

В) Событие С - сумма очков не превышает 5.

Число благоприятствующих исходов . Тогда .

Г) Событие D – разность очков меньше 7.

. Откуда .

Тогда .

Д) Событие Е - сумма очков расположена в промежутке [7;9].

Откуда . Тогда .

4. В электросеть включены лампочки, соединённые между собой следующим образом:

а)

б)

в)

Вероятность безотказной работы i-й лампочки 0,9. Найти вероятность безотказной работы цепи.

Решение

А) В этом случае три лампочки соединены между собой последовательно, потому вероятность безотказной работы цепи , где вероятности безотказной работы 1, 2 и 3-ей лампочки.

Тогда .

Б) В этом случае имеем дело с последовательным и параллельным соединением. Вероятность безотказной работы цепи , где - вероятность безотказной работы 2 и 3-ей лампочки, соединённых параллельно ( вероятности что лампы перегорят).

И так .

В) Вероятность безотказной работы цепи , где вероятности что лампы перегорят.

И так .

5. В ящике 9 деталей, среди которых 2 бракованных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что

а) извлечённые детали качественные;

б) среди извлечённых 1 бракованная.

Решение

Пускай событие А – среди m извлечённых деталей есть ровно k качественных. Общее число элементарных исходов равно количеству вариантов извлечения m деталей из N (общее количество деталей), то есть - количество комбинаций из N элементов по m.

Находим количество благоприятствующих исходов события А: k качественных деталей можно выбрать из n качественных способами. При этом деталей бракованные. Их можно выбрать способами. Тогда количество благоприятствующих исходов события А . По формуле классического определения вероятности:

.

А) Событие А₁ – извлечённые 3 детали качественные.

, тогда .

Б) Событие А₂ – среди извлечённых деталей 1 бракованная.

, тогда

.

6. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при 4-х выстрелах стрелок попадёт:

а) не более 3 раз;

б) ни одного раза;

с) хотя бы 2 раза.

Решение

Воспользуемся формулой Бернулли

, где

п - количество испытаний, k- количество благоприятных исходов, .

А) событие А – при 4-х выстрелах стрелок попадёт не более 3 раз. Тогда вероятность события .

Проведём расчёт:

.

Б) событие В – при 4-х выстрелах стрелок ни разу не попадет по мишени.

Тогда . .

В) событие С – при 4-х выстрелах стрелок попадёт в цель хотя бы 2 раза.

Вероятность события .

7. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что:

а) на каждом из выпавших граней появится 5 очков;

б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков;

в) сумма выпавших очков не превысит 3.

Решение

А) Событие А – на каждой выпавшей грани 3 игральных костей появится 5 очков.

на первой кости выпало 5 очков;

на второй кости выпало 5 очков;

на третьей кости выпало 5 очков.

Вероятность этих событий . Вероятность появления трех независимых событий рассчитаем по теореме умножения вероятностей:

.

Б) Очевидно, такая же вероятность появления одинаковой цифры на гранях трех костей и для "1", и для "2" и т.д. Тогда вероятность события В - на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков - это вероятность появления одного из 6 несовместных событий; вычисляем по теореме сложения вероятностей:

.

В) Событие С – сумма выпавших очков не превысит 3. Общее число исходов .

, откуда число благоприятствующих исходов . Тогда вероятность события

.

8. В урне имеется 5 белых и 12 чёрных шаров. Наудачу по одному извлекают 3 шара без возвращения. Найти вероятность того, что все 3 извлечённых шара будут чёрными.

Решение

Рассмотрим события:

вытянули первый чёрный шар;

вытянули второй чёрный шар;

вытянули третий чёрный шар;

Вероятность события А .

Вероятность того что второй вытянутый шар будет черным при условии, что первый также черный, то есть условная вероятность события В:

.

Аналогично условная вероятность события С после того как случились события А и В равна:

.

Тогда искомая вероятность: .

9. В первой урне содержится 11 шаров, из них 4 белых, во второй урне 12 шаров, из них 2 белых. Из первой урны наудачу извлекли один шар и переложили во вторую. Найти вероятность того, что извлечённый после этого шар из второй урны окажется белым.

Решение

Пусть событие А – со второй урны извлекли белый шар.

Рассмотрим гипотезы:

вытянули из первой урны чёрный шар;

вытянули из первой урны белый шар.

Тогда вероятность гипотез и .

Тогда по формуле полной вероятности

.

10. Внутри круга радиуса 6 расположен прямоугольник со сторонами 2 и 4. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадёт внутрь прямоугольника.

Решение

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

Площадь круга радиуса равна . Площадь прямоугольника со сторонами и будет .

Вероятность того, что точка попадёт внутрь прямоугольника равна

.

11. Детали изготавливаются на 3-х станках: 30% на 1-м, 50% на 2-м и 20% на 3-м. Вероятность изготовления брака на каждом станке равна соответственно 0,1; 0,15; 0,005. Найти вероятность того, что изготовленная наудачу деталь бракованная.

Решение

Пусть событие А – изготовленная наудачу деталь бракованная.

Рассмотрим гипотезы:

выбранная деталь изготавливается на первом станке;

выбранная деталь изготавливается на втором станке;

выбранная деталь изготавливается на третьем станке.

Тогда вероятность гипотез , , .

– бракованная деталь изготовленная на первом станке;

– бракованная деталь изготовленная на втором станке;

– бракованная деталь изготовленная на третьем станке.

Тогда по формуле полной вероятности:

.

12. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 8 раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет 3 раза.

Решение

По условию задачи герб должен выпасть 8 раза, а цифра – 3 раза, значит, всего бросков должно быть 11 штук.

Таким образом, требуется найти вероятность такого события, что из первых 10 бросков выпало 7 гербов, и на 11-ый бросок также выпал герб.

Обозначим события:

А – «из 10 бросков выпало 7 гербов»

В — «на 11-ый бросок выпал герб».

При этом — вероятность того, что при одном броске выпадет герб.

Для определения вероятности события А используем формулу Бернулли:

,

где n – количество экспериментов, k – количество благоприятных исходов, p – вероятность благоприятного исхода. Подставим .

.

Вероятность события В:

.

Тогда, по теореме умножения вероятностей:

.

Ответ: .

13. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,5. Куплено 11 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение

Найдем наивероятнейшее количество выигравших билетов (математическое ожидание):

n = 11

p = 0,5

q = 1 - p = 1 – 0,5 = 0,5.

m* - наивероятнейшее число выигравших билетов

Найдём искомую вероятность по формуле Бернулли:

.

.

14. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству 80≤m.

Решение

Используем интегральную теорему Лапласса:

.

В данной задаче:

- всего испытаний,

вероятность наступления события в каждом испытании.

- вероятность ненаступления события в каждрм испытании.

.

По соответствующим формулам находим :

;

.

Дальше пользуясь таблицами значений интегральной функции Лапласса находим что

- вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству 80≤m.

15. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0,75. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х числа попаданий в цель при 5-и выстрелах. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

Решение

Дискретная случайная величина Х- число попаданий в мишень при пяти выстрелах может принимать 6 значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли.

При :

.

Получим вероятности возможных значений Х:

;

;

;

;

;

.

Составим искомый закон распределения случайной величины Х:

Х
Р	0,001	0,015	0,087	0,264	0,396	0,237

Контроль: 0,001+0,015+0,087+0,264+0,396+0,237=1.

Математическое ожидание:

;

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле: .

16. Магазин получил 1500 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Составить закон распределения случайной величины Х – числа разбитых бутылок, пренебрегая значениями Х, вероятность которых меньше 0,005. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

Решение

- общее количество бутылок минеральной воды.

- вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой.

.

Пусть случайная величина X - числа разбитых бутылок.

Событие {X=m} означает, что m бутылок разбиты, а 1500-m – целые бутылки.

m = 0, 1, 2,..., 1500.

Посчитаем вероятность события {X=m}. Значение n достаточно велико, значение p достаточно мало, и np < 10. Следовательно, вместо формулы Бернулли воспользуемся ее предельной вариацией - формулой Пуассона:

.

Таким образом, случайная величина X имеет распределение Пуассона.

Х=m
P	0,007	0,034	0,084	0,140	0,175	0,175

Для случайных величин, имеющих распределение Пуассона, известны формулы вычисления математичесого ожидания и дисперсии:

; .

.

17. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 3 минуты поступит:

а) 4 вызова;

б) менее 4 вызовов;

в) не менее 4 вызовов.

Поток вызовов предполагается Пуассоновским.

Решение

Воспользуемся формулой Пуассона: , где исходя из условия задачи .

А) Вероятность того, что за 3 минуты поступит 4 вызова:

.

Б) Событие «поступило менее 4 вызовов» произойдёт, если наступит одно из следующих несовместных событий: 1) поступило 3 вызова; 2) поступило 2 вызова; 3) поступил один вызов; 4) не поступило ни одного вызова. Эти события не совместны, потому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий. Тогда вероятность того, что за 3 минуты поступит менее 4 вызовов будет равна

В) Событие «поступило не менее 4 вызовов» противоположно событию «поступило менее 4 вызовов». Тогда вероятность того, что за 3 минуты поступит не менее 4 вызовов будет равна

.

18. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей:

Найти F(х), М(Х), D(Х), σ(Х), Р(0,1<Х<0,2). Построить графики f(х) и F(х).

Решение

Найдем функцию распределения показательного закона, используя свойства дифференциальной функции распределения:

Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид:

Математическое ожидание для случайной величины, которая распределена по показательному закону, может быть вычислено по формуле

.

Интегрируя по частям находим

Дисперсия для для случайной величины, которая распределена по показательному закону, может быть вычислено по формуле:

.

Отсюда следует, что среднеквадратичное отклонение равно:

.

Вычислим вероятность попадания в интервал случайной величины X, распределённой по показательному закону. По формуле находим что

.

19. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью

. Найти вероятности Р(-1<Х<3), Р(2≤Х≤4).

Решение

Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью .

Вероятность что нормально распределённая случайная величина Х принимает значение с интервала высчитывается по формуле

1) , , , тогда вероятность

2) , , , тогда искомая вероятность

20. Размер детали задан полем допуска 10 – 12 мм. Оказалось, что средний размер деталей равен 11,4 мм, а квадратичное отклонение 0,7 мм. Считая, что размер детали подчиняется закону нормального распределения, определить вероятность появления брака.

Решение

Вероятность попадания случайной величины в интервал , симметричный относительно центра рассеяния , находится по формуле

.

В нашем случае , . Тогда

.

Отсюда, исковая вероятность появления брака

.

Дата добавления: 2015-11-04