Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные

Оглавление

Задача 1. 3

Задача 2. 3

Задача 3. 4

Задача 4. 5

Литература. 7

Задача 1

Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Решение

Событие А – случайным образом включенные два элемента окажутся неизношенными.

Согласно классическому определению вероятности , где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, а n – число всех равновозможных элементарных исходов испытания, образующих полную группу событий.

При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет . Число исходов благоприятствующих испытанию А – .

.

Задача 2

В телеателье имеются три телевизора. Вероятности неисправности каждого из них соответственно равны 0,1; 0,2;0,1. Какова вероятность того, что среди этих телевизоров исправными окажутся: 1)ровно два; 2) хотя бы один.

Решение

1) Событие А – из трех имеющихся в телеателье телевизоров два исправные.

- неисправен первый телевизор, , ;

- неисправен второй телевизор, , ;

- неисправен третий телевизор, , .

, поскольку слагаемые в правой части попарно несовместны, то получаем:

.

Принимая во внимание независимость событий , , . Находим

2) Событие В – хотя бы один из трех телевизоров окажется исправным.

;

вероятность того, что среди трех телевизоров исправными окажутся ровно два; вероятность того, что среди трех телевизоров исправным окажется хотя бы один.

Задача 3

В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Вероятность поступления бракованной продукции с первого автомата составляет 0,03, для второго и третьего автоматов эти вероятности равны соответственно 0,01 и 0,02. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 500, 200 и 300 деталей.

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что деталь окажется качественной.

— деталь окажется бракованной;

H ₁ — деталь из продукции 1-го автомата;

H ₂ — деталь из продукции 2-го автомата;

H ₃ — деталь из продукции 3-го автомата;

Вероятность события A вычисляем по формуле полной вероятности:

Вероятности:

; ;

Условные вероятности заданы в условии задачи:

; ;

Тогда

Тогда вероятность того, что деталь окажется небракованной равна Р (А)=1 – 0,023=0,977

Задача 4

Вероятность того, что саженец ели прижился и будет расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев. Какова вероятность того, что нормально вырастет: а) ровно 250 деревьев; б) не менее 250 деревьев.

Решение

а) Поскольку n воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

.

Вычислим х:

.

Функция - четная, поэтому .

По таблице находим .

Искомая вероятность

.

б) Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

,

где - функция Лапласа,

; .

Требование, что нормально вырастет не менее 250 деревьев, означает, что число появлений события может быть равно 250, либо 251, …, либо 400. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять , . Тогда

;

.

Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е. , получим

(значения функции Лапласа найдены по таблице).

; .

Литература

1. Н. Я. Виленкин, В. Г. Потапов. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. Уч.пособие. 1979 год. 113 стр.

2. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. 2003 год. 480 стр.

3. Савельев. Элементарная теория вероятностей. Учебное пособие, Новосибирский ГУ, 2005

Дата добавления: 2015-11-04