Ответы и решения к задачам олимпиады на звание «Стипендиат АГТУ» (I тур)

Ответы и решения к задачам олимпиады на звание «Стипендиат АГТУ» (I тур)

9 класс

1. Камень свободно падает без начальной скорости. За какое время камень пролетит третий метр своего пути?

Пусть

S₁ =3 м, S₂ =2 м;

t₁ - время, за которое камень пролетит путь 3 м;

t₂ - время, за которое камень пролетит путь 2 м.

Тогда t₁ = , t₂ = , t₁-t₂ =0,14 c.

2. Плотность льда равна 900 кг/м³, а плотность воды 1000 кг/м³. Какую наименьшую площадь S имеет льдина толщиной h =40 см, способная удержать над водой человека массой m =80 кг?

Льдина массой m_л полностью погружена в воду. Система в равновесии:

(m_л + m)g=ρ_вgV,

m_л=ρ_лSh,

S= =2 м².

3. Определите лобовое сопротивление самолета, имеющего крылья площадью 20 м², если давление воздуха под крылом 9,8 Н/см², а над крылом 9,7 Н/см². Лобовое сопротивление в 20 раз меньше подъемной силы.

Подъемная сила F_п крыла самолета определяется площадью крыла и разностью давлений под крылом и над крылом:

F_п= ,

F_c= /20= 1000 Н.

4. Удельная теплоемкость воды 4,2 кДж/кг·К, а ее удельная теплота парообразования 2,3 МДж/кг. В кастрюлю налили холодной воды при температуре 9⁰С и поставили на плиту, не накрывая крышкой. Вода закипела через 10 минут. За какое время после начала кипения она полностью испарится?

Мощность Р плиты одинакова за все время эксперимента:

Р=Q₁/ τ ₁= Q₂/ τ ₂,

где τ ₁- время нагрева воды до кипения. Тогда время испарения воды

τ ₂ = rτ₁/(с ·Δ t)= 60 мин.

10 класс

1. Автомобиль, двигаясь при торможении равноускоренно, проходит за пятую секунду 5 см и останавливается. Какой путь прошел автомобиль за третью секунду этого движения?

Пусть S₃ – перемещение автомобиля за третью секунду, S₄ – за четвертую секунду, S₅ – за пятую секунду.

S₃: S₄: S₅= 5:3:1,

S₃= 5 ·S₅ =25 см.

2. Самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением а =20 м/с². Какова перегрузка пассажира, находящегося в самолете? (Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на пассажира, к силе тяжести Р.)

3. В баллистический маятник массой М=5 кг попала пуля массой m= 10 г и застряла в нем. Найти скорость пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту h=10 см.

По закону сохранения импульса и энергии соответственно:

mV₁=(M+m)V₂,

(M+m) /2==(M+m)gh.

V₁ =707 м/с.

4. Проводящий шар радиуса R имеет положительный заряд +q. Как изменится потенциал в центре шара, если на расстоянии 2R от центра шара поместили точечный отрицательный заряд –2q?

Ответ: станет равным нулю.

11 класс

1. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое – под углом к горизонту. Начальная скорость каждого тела Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через

Введем декартову систему координат, начало отсчета (точку О) которой совместим с точкой, из которой были брошены оба тела. Первое тело движется равнозамедленно вдоль оси ОY и в момент времени находится в точке А с координатами:

Движение второго тела можно представить как наложение двух видов движений: а) равнопеременного с ускорением свободного падения вдоль оси OY, б) равномерного с постоянной скоростью вдоль оси OX.

Таким образом, в момент времени второе тело находится в точке В с координатами:

, тогда

;

, , то

.

Расстояние между точкой А() и точкой В() можно определить по формуле:

.

2. Удельная теплоемкость воды 4,2 кДж/кг·К, а удельная теплота плавления льда 3,3·10⁵ Дж/кг. Для охлаждения воды от температуры 278 К до 273 К холодильник работал 210 с. Сколько времени должен еще работать холодильник, чтобы всю эту воду превратить в лед?

Мощность Р холодильника одинакова за все время эксперимента:

Р=Q₁/ τ ₁= Q₂/ τ ₂,

где τ ₁- время охлаждения воды до 273 К. Тогда время кристаллизации воды

τ ₂ = λτ₁/(с Δ t)= 3300 c =55 мин.

3. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии r =60см. Сила отталкивания F₁ шаров равна 70 мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и ста­ла равной F₂= 160мкН. Вычислить заряды Q₁ и Q₂, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними.

По закону сохранения заряда

Q₁+Q₂=2Q,

где Q – заряды на шарах после соприкосновения.

Пользуясь законом Кулона, вычислим произведение зарядов на шарах до и после их соприкосновения соответственно:

Q₁Q₂=28·10^-16 Кл² (1)

Q²=64·10^-16 Кл².

Тогда

Q₁+Q₂=16·10^-8 (2)

и корни уравнений (1) и (2) - Q₁=0,14 мкКл, Q₂=0,02 мкКл.

4. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,5 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной l =10 cм. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить возникающую на концах стержня ЭДС индукции, если период вращения стержня Т=0,05 с.

За время равное периоду вращения стержень описывает площадь круга, тогда Δ S=πl². За счет изменения площади Δ S меняется магнитный поток и на концах стержня возникает ЭДС индукции:

E_i=Bπl²/T= 0,314 В.

Ответы и решения к задачам олимпиады на звание «Стипендиат АГТУ» (II тур)

9 класс

I вариант

1. Пассажир поезда, идущего со скоростью v₁= 15 м/с, видит в окне встречный поезд длиной l =150 м в течение 6 с. Найдите скорость встречного поезда.

Найдем относительную скорость поездов:

v₁₂= l / t.

Скорость встречного поезда: v₂=v₁₂-v₁=10 м/c.

2. Какую скорость v должен иметь вагон, движущийся по закруглению радиуса R=100 м, чтобы шар, подвешенный на нити к потолку вагона, отклонился от вертикали на угол α=45⁰?

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:

Tcosα=mg

Tsinα=ma_ц.

Следовательно a_ц=g∙tgα. C другой стороны a_ц=v²/R, тогда v= =31,3 м/c.

3. В колбе находится вода при температуре 0⁰С. Выкачивая из колбы воздух и пары воды, воду замораживают посредством ее испарения. Притока теплоты извне нет. Сколько процентов воды, бывшей первоначально в колбе, испарится до момента полного замерзания? Удельная теплота испарения воды равна r=2,4∙10⁶ Дж/кг, удельная теплота плавления льда равна λ=3,3∙10⁵ Дж/кг.

Пусть m_п - масса испарившейся воды, m – масса воды, бывшей первоначально в колбе. Количество теплоты, отнятое паром у воды:

Q₁=rm_п.

Теплота, отданная водой при кристаллизации:

Q₂=-λ(m-m_п).

Тогда m_п/m=λ/(λ+r)=0,12 или 12%.

4. При пропускании тока по участку цепи, состоящему из сопротивлений R₁ =1 Ом, R₂ =2 Ом, R₃ =3 Ом, R₄ =4 Ом, соединенных как показано на схеме, наибольшее падение напряжения будет на сопротивлении с индексом ….

По закону Ома на участке цепи АВ напряжение равно:

U=I₁(R₁+R₂)=I₂(R₃+R₄).

Следовательно I₁=7I₂/3. Падение напряжения на каждом сопротивлении соответственно равны: U₁=7I₂/3, U₂=14I₂/3, U₃=3I₂, U₄=4I_2. Таким образом, наибольшее падение напряжения будет на сопротивлении с индексом 2.

II вариант

1. Вертикально вверх подбросили шарик. На одной и той же высоте h шарик побывал дважды: через 1,5 с и через 3,5 с после начала движения. Найдите начальную скорость шарика.

C высоты h до верхней точки траектории шарик пролетел за 1 секунду, следовательно время t подъема шарика до верхней точки траектории 2,5 с. Пусть v₀ - начальная скорость шарика, v- конечная скорость шарика (v=0). Тогда v₀=v+gt=25 м/c.

А

2. К гладкой вертикальной стене на нити длиной L подвешен шар массой m. Радиус шара R, причем известно, что L=2R. С какой силой шар давит на стенку?

Шар находится в равновесии при условии:

Tsinα=N,

Tcosα=mg. Отсюда N=mg∙tgα.

С другой стороны, из треугольника АВО tgα=1/ . N=mg/ .

3. Удельная теплоемкость воды c=4,2 кДж/кг∙К, а удельная теплота плавления λ льда 330 кДж/кг. В сосуд, содержащий m₁= 3,7 л воды при t₁= 18⁰С, опустили кусок мокрого снега массы m₂= 0,5 кг, температура которого t₂= 0⁰С. Если потерями теплоты и теплоемкостью сосуда можно пренебречь, и в сосуде установилась температура t=8⁰С, то в куске снега было … (в граммах) воды.

Пусть m₂=m_c+m_в, где m_c – масса снега, m_в- масса воды в снеге. Количество теплоты, которое отдала вода: Q₁=cm₁(t-t₁). Теплота, которую принял мокрый снег: Q₂=λ m_c+с m₂(t-t₂)= λ(m₂-m_в) +сm₂(t-t₂). Согласно уравнению теплового баланса получаем: m_в=0,08 кг=80 г.

4. При пропускании тока по участку цепи, состоящему из сопротивлений R₁ =5 Ом, R₂ =1 Ом, R₃ =8 Ом, R₄ =4 Ом, соединенных как показано на схеме, наибольшее падение напряжения будет на сопротивлении с индексом ….

По закону Ома на участке цепи АВ напряжение равно:

U=I₁(R₁+R₂)=I₂(R₃+R₄).

Следовательно I₁=2I₂. Падения напряжения на каждом сопротивлении соответственно равны: U₁=10I₂, U₂=2I₂, U₃=8I₂, U₄=4I_2. Таким образом, наибольшее падение напряжения будет на сопротивлении с индексом 1.

10 класс

I вариант

1. Ученик наблюдал за встречным движением скорого поезда и электрички. Оказалось, что каждый из поездов прошел мимо мальчика за одно и тоже время t₁=23 c. А в это время пассажир ехал в электричке и определил, что скорый поезд прошел мимо него за t₂=13 c. Во сколько раз скорый поезд длиннее электрички?

Скорость скорого поезда v₁= l₁/t₁, скорость электрички v₂= l₂/t₁, где l₁ - длина поезда, l₂ - длина электрички.

Найдем относительную скорость поездов:

v₁₂= l₁ / t₂= v₁+v₂.

Из этих соотношений находим l₁ /l₂= 1,3 раза.

2. Человек везет двое одинаковых саней, связанных между собой веревкой АВ, прикладывая к первым саням силу F =120 Н, направленную под углом α=30⁰ к горизонту (см рис.). Сани движутся равноускоренно. Найдите коэффициент трения µ полозьев о снег, если сила натяжения веревки АВ равна 60 Н.

Применим второй закон Ньютона для системы тел:

Fcosα-F_тр1-F_тр2=2ma.

F_тр1=µN₁=µ(mg-Fsinα),

F_тр2=µN₂=µmg.

Подставляя, получим:

ma=F(cosα+µsinα)/2-µmg. (1)

Запишем второй закон Ньютона для второго тела:

Т- F_тр2=ma,

ma=Т- µmg. (2)

Приравняем уравнения (1) и (2) и выразим µ:

µ=0,26.

3. На горизонтальной поверхности лежит стальной кубик. В верхнюю грань кубика ударяется летящий по воздуху шарик, изготовленный из пластичного материала. Скорость шарика v₀ в момент удара составляла угол α=30⁰ с горизонтом. При столкновении 50% энергии шарика переходит в тепло, а сам шарик отражается от кубика и продолжает полет под некоторым углом β к горизонту с энергией в три раза меньшей первоначальной. Определите величину этого угла. Масса кубика в два раза больше массы шарика.

Пусть Е_к1-кинетическая энергия шарика до удара, Е_к1^/-кинетическая энергия шарика после удара, Е_к2-кинетическая энергия кубика после удара, тогда v₁^/=v₁/ (1)

По закону сохранения импульса

m₁v₁cosα=m₁v₁^/cosβ+m₂v₂. (2)

По закону сохранения энергии

Е_к1= Е_к1^/+ Е_к2 +Q,

Е_к1= Е_к1/3+ Е_к2 + Е_к1/2,

Е_к1/6= Е_к2,

v₁/ =v₂. (3)

Подставляя (1) и (3) в уравнение (2) можно получить:

cosβ=1/2, β=60⁰.

4. Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд длины 0,6 м с гладкими стенками, разделенный на две части легким теплонепроницаемым поршнем, заполнен идеальным газом. В начальный момент объем левой части сосуда вдвое больше объема правой, а температура газа в обеих частях одинакова. На какое расстояние сместится поршень, если температуру газа в правой части увеличить вдвое, а в левой поддерживать постоянной?

Применим уравнение Клапейрона для левой и правой части сосуда соответственно:

,

где V - объем всего сосуда.

Тогда V₁=V₂=V/2,

ΔV=2V/3-V/2=V/6, Δl=l/6=0,1 м.

10 класс

II вариант

1. От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки, А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А – вдоль реки, а лодка В – поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок τ_А/τ_В, если скорость каждой лодки относительно воды v^/ в n =1,2 раза больше скорости течения v₀.

Скорость лодки А относительно берега: . Скорость лодки В относительно берега: . Лодка А прошла путь l по течению реки со скоростью v₁=v₁^/+v₀ и против течения такой же путь со скоростью v₁=v₁^/-v₀. Абсолютная величина скорости лодки В v₂ относительно берега:

= .

, .

τ_А/τ_В = n/ .

2. Человек везет двое одинаковых саней, связанных между собой веревкой АВ, прикладывая к первым саням силу F =150 Н, направленную под углом α=60⁰ к горизонту (см. рис.). Сани движутся равноускоренно. Коэффициент трения полозьев о снег равен µ =0,3. Найдите силу натяжения веревки АВ.

Применим второй закон Ньютона для системы тел:

Fcosα-F_тр1-F_тр2=2ma.

F_тр1=µN₁=µ(mg-Fsinα),

F_тр2=µN₂=µmg.

Подставляя, получим:

ma=F(cosα+µsinα)/2-µmg.

Запишем второй закон Ньютона для второго тела:

Т- F_тр2=ma.

T=ma+ µmg ≈57 Н.

3. В точке максимального подъема снаряд, выпущенный из орудия вертикально вверх, разорвался на два осколка. Первый осколок массой m₁, двигаясь вертикально вниз, упал на землю, имея скорость в 1,25 раза больше начальной скорости снаряда v₀, а второй осколок массой m₂ при касании поверхности земли имел скорость в 1,8 раз большую v₀. Чему равно отношение масс m₁/m₂ этих осколков? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Применим второй закон Ньютона к снаряду и каждому осколку:

mv₀²/2=mgh,

m₁v₁²/2+ m₁gh=m₁(1,25v₀)²/2,

m₂v₂²/2+ m₂gh=m₂(1,8v₀)²/2.

Совместно решая уравнения можно получить: v₂/v₁=2.

Применяя закон сохранения импульса для осколков, получим:

m₁v₁=m₂v₂,

тогда m₁/m₂=v₂/v₁=2.

4. Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд длины 1,2 м с гладкими стенками, разделенный на две части легким теплонепроницаемым поршнем, заполнен идеальным газом. В начальный момент объем левой части сосуда вдвое больше объема правой, а температура газа в обеих частях одинакова. На какое расстояние сместится поршень, если температуру газа в левой части сосуда уменьшить вдвое, а в правой поддерживать постоянной?

Применим уравнение Клапейрона для левой и правой части сосуда соответственно:

,

где V - объем всего сосуда.

Тогда V₁=V₂=V/2,

ΔV=2V/3-V/2=V/6, Δl=l/6=0,2 м.

11 класс

I вариант

1. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же – все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью u. При каком значении u оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения v₀ =2 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды v^/=2,5 км/ч?

Скорость первого пловца относительно берега: . Скорость второго пловца относительно берега: . Абсолютные величины скоростей первого пловца v₁ ивторого пловца v₂ относительно берегаможно найти из следующих соотношений:

=1,5 км/ч; =3,2 км/ч. (1)

Пусть t - время, за которое пловцы переместились из точки А в точку В; t₁ - время, за которое второй пловец переплыл реку, t₂ – прошел по берегу со скоростью u. Расстояние s, пройденное вторым пловцом по берегу за время t₂ (расстояние, на которое течение снесло второго пловца за время t₁):

тогда . (2)

Расстояние от точки А до точки В можно выразить из следующих соотношений:

. (3)

Выразив из уравнения (3) время t₁ и подставив его в (2), получим искомое выражение:

2. Палочка массы 400 г наполовину погружена в воду, как показано на рисунке. Угол наклона палочки к горизонту равен 30⁰. С какой силой давит на стенку цилиндрического сосуда нижний конец палочки?

По первому закону Ньютона палочка находится в равновесии при условии:

F_A=mg, N₁=N₂ (F_A-сила Архимеда).

Пусть палочка представляет собой рычаг, который может вращаться вокруг оси перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О, тогда:

N₁ lsinα /2+ N₂ l sinα/2= F_A lcosα /4,

где l - длина палочки.

N₁= =1,7 Н.

3. В плоский конденсатор длины l =5 см влетает электрон под углом α=15⁰ к пластинам. Энергия электрона W=1500 эВ, расстояние между пластинами d =10 мм. При каком напряжении U на конденсаторе электрон вылетит параллельно пластинам конденсатора? Каким будет ответ, если длину конденсатора увеличить до 10 см? Масса m электрона равна 9,1∙10^-31кг, его заряд e =1,6∙10^-19 Кл, sin 15⁰=0,2588.

Энергия электрона W соответствует разгону его напряжения U₀=1500 В начальной скорости v₀= . Проекции начальной скорости на оси x и y равны соответственно v₀cosα и v₀sinα. Чтобы скорость электрона при вылете была параллельна пластинам, должно выполняться условие v₀sinα- a t=0, где a =Ue/(md), а время полета электрона через конденсатор t= l/ (v₀cosα). Отсюда U=dU₀sin2α/ l. При l =5 см получаем U=150 B, а при l =10 см получаем U=75 B. Однако решение задачи еще не закончено: необходимо проверить, сможет ли электрон пролететь через весь конденсатор. Найдем смещение h электрона по оси y за время движения в конденсаторе: h=v₀tsinα/2= l tgα/2. Условие пролета электрона через весь конденсатор: h<d. При l =5 см это условие выполняется, а при l =10 см – нет.

Следовательно U=150 B, при l =10 см задача не имеет решения.

4. На каком расстоянии друг от друга следует расположить две линзы – рассеивающую с фокусным расстоянием f₁=–4 см и собирающую с фокусным расстоянием f₂= 9 см, чтобы пучок лучей, параллельных главной оптической оси линзы, пройдя через обе линзы, остался бы параллельным?

11 класс

II вариант

1.Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью =250 м/c: первый – под углом =60⁰ к горизонту, второй – под углом =45⁰ (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами t₁-t₂, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Движение тел можно представить как наложение двух видов движений: а) равнопеременного с ускорением свободного падения вдоль оси OY, б) равномерного с постоянной скоростью вдоль оси OX:

, тогда

;

, , то

.

, тогда

;

, , то

.

Тела столкнутся друг с другом, следовательно, их координаты будут одинаковы: x₁ =x₂, y₁=y₂. Тогда, используя данные уравнения, можно получить t₁-t₂= .

2. Под каким наименьшим углом α к горизонту может стоять лестница, прислоненная к гладкой вертикальной стене, если коэффициент трения лестницы о пол равен µ? Считать, что центр тяжести находится в середине лестницы.

По первому закону Ньютона лестница находится в равновесии при условии:

N₁= mg, F_тр=N₂.

С другой стороны, F_тр= µ N₁= µmg.

Пусть лестница представляет собой рычаг, который может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О, тогда:

mglcosα /2=N₂ lsinα,

где l - длина лестницы.

tgα = ,

α=arctg .

3. В плоский конденсатор длины l =5 см влетает электрон под углом α=15⁰ к пластинам. Напряжение на пластинах конденсатора U=150 B, расстояние между пластинами d =10 мм. Какая энергия W должна быть у влетающего в конденсатор электрона, чтобы он смог вылететь параллельно пластинам конденсатора? Каким будет ответ, если длину конденсатора увеличить до 10 см? Масса m электрона равна 9,1∙10^-31кг, его заряд e =1,6∙10^-19 Кл, sin 15⁰=0,2588.

Энергия электрона W соответствует разгону его напряжения U₀ и начальной скорости v₀= . Проекции начальной скорости на оси x и y равны соответственно v₀cosα и v₀sinα. Чтобы скорость электрона при вылете была параллельна пластинам, должно выполняться условие v₀sinα- a t=0, где a =Ue/(md), а время полета электрона через конденсатор t= l/ (v₀cosα). Отсюда U₀=U l /(dsin2α). При l =5 см получаем U₀=1500 B или W=1500 эВ. Однако решение задачи еще не закончено: необходимо проверить, сможет ли электрон пролететь через весь конденсатор. Найдем смещение h электрона по оси y за время движения в конденсаторе: h=v₀tsinα/2= l tgα/2. Условие пролета электрона через весь конденсатор: h<d. При l =5 см это условие выполняется, а при l =10 см – нет.

Следовательно W=1500 эB, при l =10 см задача не имеет решения.

4. Светящаяся точка со скоростью v₁= 0,2 м/с движется по окружности вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости, параллельной плоскости линзы и отстоящей от нее на расстоянии, в 1,8 раза большем фокусного f расстояния линзы. Какова скорость движения изображения v₂?

R₁

₁

По формуле тонкой линзы найдем расстояние b от линзы до изображения: 1/f=(1/a)+(1/b), b=2,25f. Увеличение изображения равно: R₂/R₁=b/a=2,25/1,8=1,25. Линейная скорость движения точки по окружности пропорциональна радиусу:

v₂/v₁=R₂/R₁=1,25.

Тогда v₂=0,25 м/c.

Дата добавления: 2015-10-21