|
II семестр
Механические колебания и волны
Общая черта колебательных процессов – высокая степень повторяемости процесса.
Колебания подразделяются:
– по природе: механические, электромагнитные;
– по степени повторяемости: периодические, непериодические;
– по свойствам: гармонические, ангармонические;
– по способу возникновения: свободные, вынужденные.
Механические колебания
Колебательные системы
Колебания – физические процессы, которые происходят с определённой повторяемостью во времени.
Периодические колебания – колебания, при которых значения характерных параметров системы повторяются через равные промежутки времени.
Полное колебание – процесс, проходящие в системе за период.
Период – минимальный период времени, через который все параметры системы повторяются.
Частота – число полных колебаний, происходящих в единицу времени.
Циклическая частота – число полных колебаний за единиц времени.
Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону изменения гармонических функций.
Линейные колебания – колебания, возникающие в линейных системах.
Линейная система – система, реакция которой линейно зависит от воздействия.
Свободные (собственные) колебания – колебания, которые происходят в отсутствие внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы из состояния её устойчивого равновесия под действием внутренних сил системы.
Вынужденные колебания – колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия.
Равновесие в механических системах и возникновение колебаний
Условие равновесия точечного тела: , протяжённого тела: , .
Характерным свойством колебательной системы является наличие возвращающей (квазиупругой) силы.
, ; . Необходимое условие колебательной системы: . Достаточность: .
Свободные незатухающие колебания
у
Пружинный маятник: , , , , где .
Математический маятник: . , . , , , , , , где .
Физический маятник: , , , , , , , где .
Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника, .
Центр качания – математическая точка, отстоящая от точки подвеса на приведённую длину и лежащая на маятнике.
Если физический и математический маятники с приведённой длиной колеблются около одной оси, то материальная точка математического и центр качания физического маятника движутся синхронно, если вначале их отклонили на одинаковый угол и одновременно отпустили.
Точка подвеса и центр качания обратимы (можно подвесить за любую из них, период колебаний будет одинаков).
Уравнение колебаний
Все системы описываются уравнением , где (пружинный), (математический), (физический).
Переменная колебаний – параметр, характеризующий отклонение системы от положения равновесия. (x).
Решение уравнения колебаний.
.
Линейный гармонический осциллятор – любая колебательная система, в которой возникают малые линейные гармонические колебания.
Основные характеристики гармонических колебаний
Амплитуда – максимальное значение переменной колебания (максимальное отклонение системы от положения равновесия). Амплитуда всегда положительна. , A – амплитуда.
Фаза – параметр, характеризующий относительное значения отклонения системы от положения равновесия ().
Начальная фаза – значение фазы в начальный момент времени ().
Период: , частота , - циклическая частота.
Свойства гармонических колебаний:
1. Частота и период гармонических колебаний определяются свойствами самой системы.
2. Амплитуда и начальная фаза зависят от способа возбуждения колебаний.
3. Период и частота не зависят от амплитуды.
Скорость и ускорение при колебаниях:
Пусть . Тогда , .
Начальные условие – задание смещение и скорости в начальный момент времени.
1. , , - колебания отсутствуют.
2. , , .
3. , , .
4. , , .
Задание начальных условий определяет амплитуду и начальную фазу.
Кинетическая и потенциальная энергия системы:
. Для пружинного маятника - закон сохранения энергии при свободных незатухающих колебаниях.
. , .
Энергия и вычисление периода колебаний:
1. . .
2. Пружинный маятник: .
3. Математический маятник: /
Представление колебаний с помощью векторных диаграмм и комплексных чисел.
Пусть , где . Возьмём , . Тогда , а уравнение описывает движение проекций конца вектора по соответствующим осям. Пусть теперь xy – комплексная плоскость. Тогда .
Фазовая плоскость (пространство) – геометрический образ, представимый множеством состояний системы или .
Фазовая точка – точка фазовой плоскости, определяемая скоростью и координатой и соответствующая определённому состоянию системы.
Фазовая траектория – линия, которую описывает точка на фазовой плоскости при изменении состояния системы.
Фазовый портрет маятника – фазовая траектория маятника: или ( или ).
Фазовый портрет для гармонических колебаний: .
Свободные затухающие колебания
Пружинный маятник: . , где g - параметр (коэффициент) затухания, .
Математический маятник: .
Решение уравнения свободных затухающих колебаний:
Предположим, что . Тогда , . , . Отсюда . Обозначив , получим: - решение уравнения свободных затухающих колебаний.
Если трение мало , то .
Основные характеристики затухающих колебаний.
Время релаксации – время, в течение которого значение параметра убывает в e раз: .
Декремент затухания характеризует, во сколько раз амплитуда колебаний убывает за один период: .
Логарифмический декремент затухания характеризует, во сколько раз изменяется логарифм убывания амплитуды: .
Пусть и совершается N колебаний, т.е. . Тогда , .
Скорость и ускорение затухающих колебаний: , , .
Добротность системы .
Энергия , .
. При .
Вынужденные колебания
Для пружинного маятника: , где m – масса тела, F – амплитуда силы, W - циклическая частота силы.
Для математического маятника: .
Длительность переходного режима совпадает со временем релаксации.
- амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний, - фазо-частотная характеристика вынужденных колебаний.
Общее уравнение: , где первое слагаемое представляет собой начальное колебаний системы, которое из-за затухания постепенно сходит на нет, а второе – установившийся режим вынужденных колебаний.
Резонанс.
Найдём максимум амплитуды колебаний в зависимости от частоты воздействующей силы. Для этого решим уравнение . Получим: .
Резонанс – явление резкого возрастания (убывания) амплитуды вынужденных колебаний при стремлении частоты воздействия внешней силы к частоте собственных колебаний (точнее, к величине , где g - коэффициент затухания, но обычно ).
Резонансная частота – частота внешней возбуждающей силы, при которой достигается максимум амплитуды вынужденных колебаний.
Наложение колебаний
Сложение колебаний одного направления
Пусть , . Тогда .
Векторная диаграмма:
, , . Тогда ,
.
Таким образом, .
Биения: Рассмотри два колебания: и , где . Результирующее колебания будет описываться уравнением .
Частота биения: , период .
Взаимно перпендикулярные колебания
Рассмотрим два колебания, происходящие во взаимно перпендикулярных направлениях: , .
1. Если и , то график представляет собой прямую, проходящую через начало координат.
2. Если , и , то график представляет собой эллипс, полуоси которого равны A и B.
3. , - график представляет собой параболу.
4. Общий случай: , .
Фигура Лиссажу - эта линия, которую описывает тело, одновременно колеблющееся в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Свойства фигур Лиссажу:
1. Если колебания происходят с амплитудами A и B, то фигуру Лиссажу можно вписать в прямоугольник со сторонами и .
2. Если - величина рациональная, то фигура Лиссажу замкнута, иначе – незамкнута.
3. Отношение частот колебаний в горизонтальном и вертикальном направлениях равно отношению числа касаний фигуры вертикальных и горизонтальных сторон.
Механические волны
Распространение волн в упругой среде
Волны – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.
Упругие волны – волны, распространяющиеся в упругой среде.
Волновая поверхность – геометрическое место точек среды, колеблющихся в одной фазе.
Волновой фронт – поверхность, разделяющая возмущённую и невозмущённую части среды.
Виды волн:
1. Поперечные – колебания в которых происходят поперёк направления распространения.
2. Продольные – колебания в которых происходят вдоль направления распространения.
В газообразной и жидкой среде колеблется плотность или, что то же, давление. В твёрдой среде и на границе раздела фаз – деформация или, что то же, механическое напряжение.
Волновое уравнение
Исследуем колебания струны. Пусть в какой-то момент времени струна деформирована так, как показано на рисунке. Тогда уравнение движения для этой струны выглядит так: . Т.к. и , то . Спроектируем это уравнение на ось y: и на ось z: . Т.к. и очень малы, то , . Тогда . Введём линейную плотность , тогда . Таким образом мы получили волновое уравнение поперечной волны: , где .
Волновое уравнение для продольной волны выглядит так: , где , p – давление в среде распространения волны.
Анализ механических волн
Пусть . Тогда , и , , , . Подставим это в волновое уравнение: .
Общее решение волнового уравнения: , где и - произвольные функции.
Гармоническое решение волнового уравнения: .
Период волны , фаза волны .
- фазовая скорость волны.
Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за один период,
Волновое число .
Волновой вектор: , сонаправлен с направлением распространения волны.
Фазовая скорость волны – скорость, с которой движутся точки волны, колеблющиеся в одной фазе. .
Геометрические свойства волн
Для трёхмерного случая выражение , где D - это оператор Лапласа, в декартовой системе координат .
Плоские, цилиндрические и сферические волны – волны, волновой фронт которых представляет собой соответственно плоскость, цилиндр и сферу.
В случае плоской волны в волновом уравнении достаточно заменить , т.е. .
Для цилиндрической волны или, для гармонических колебаний, . Здесь - проекция волнового вектора на ось .
Уравнение сферической волны: , . Здесь - проекция волнового вектора на радиус-вектор.
Бегущие и стоячие волны
Если , то направление распространения волны сонаправленно с осью z. Если же , то направление распространения волны противоположно направлено оси z.
Рассмотрим сложение двух одинаковых волн, двигающихся навстречу друг другу. Т.е. пусть , . Тогда - уравнение стоячей волны.
Узлы – это точки, амплитуда колебаний которых равна 0 (т.е. ).
Пучности – это точки, амплитуда колебаний которых максимальна (т.е. ).
Длина стоячей волны .
Граничные условия для стоячих волн:
1. Пусть струна закреплена с обеих сторон. Тогда и , где L – длина струны, откуда и , т.е. или .
2. Пусть теперь струна закреплена с одной стороны. Тогда и , откуда и .
3. Наконец, пусть струна не закреплена ни на одном конце. Тогда и , откуда и .
Стоячие волны возбуждаются на струне или в акустической трубе только при соблюдении одного из этих условий.
Основной тон – колебание с максимальной длиной волны: . Остальные колебания называются обертонами.
Энергия механической волны
Скорость точек волны . Тогда кинетическая энергия колеблющейся точки , а плотность кинетической энергии , где V – объём, занимаемый рассматриваемой частью волны, а - плотность среды до волнового возмущения.
Рассмотрим волны на струне. Согласно закону Гука, , где s - механическое напряжение, E – модель Юнга и e - относительное удлинение струны. Тогда , где l – длина стержня. Изменение потенциальной энергии , откуда . Плотность потенциальной энергии . Плотность суммарной энергии .
Пусть . Тогда и средняя за период плотность энергии .
Потоком энергии через поверхность называется энергия волны, проходящая через единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную вектору скорости волны: .
, где a - угол между площадью и вектором скорости. Тогда . Здесь - нормальный вектор рассматриваемой площади, - вектор Умова, .
Интенсивность волны , для гармонической волны .
Эффект Доплера в акустике
Эффект изменения частоты или длины волны, регистрируемой приёмником волн в сравнении с частотой или длиной волн, испущенной источником вследствие относительного движение приёмника и источника, называется эффектом Доплера.
Пусть источник испускает волны с частотой и длиной , а приемник принимает волны с частотой n и длиной l.
1. Пусть система координат связана с источником. Тогда , , .
2. Пусть теперь система координат связана с приёмником. Тогда .
В общем случае .
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 24 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
4.2. Сложение гармонических колебаний | | |