Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Полтавський національний педагогічний університет ім. В. Г. Короленка

Кафедра математичного аналізу та інформатики

Індивідуальне завдання

«Елементи теорії Функцій і функціонального аналізу»

Варіант №14

Виконав студент V-го курсу

Групи М-51

Політько Ігор

Полтава – 2012

1. Встановити взаємну однозначну відповідність між множиною і всіх додатних чисел, що поділяються на 10.

2. Яка потужність множини всіх многочленів, коефіцієнти яких є членами вигляду

Множина є зчисленною, а тому має потужність континуум.

3. Яка потужність множини всіх кіл на площині, з ірраціональними координатами центрів і дійсними радіусами?

множина а тому має потужність континуум.

4. Яка потужність множини всіх точок прямої

Потужність континуум.

5. Яка потужність всіх підмножин відрізку

Потужність даної множини утворює множину потужності більшої за потужність а ця множина має потужність континуум. Тому підмножини мають потужність гіперконтинуум.

6. Чи буде замкненою, щільною у собі, досконалою, відкритою множина Назвати ізольовані точки множини. Обрахувати Лебегову міру .

1) замкнена, бо містить у собі всі граничні точки.

2) не щільна у собі.

3) не досконала, бо не є щільною.

4) не є відкритою, бо вона замкнена.

5) Ізольовані точки .

6)

7.Функція набуває значення 0 у точках з раціональними координатами. Довизначити її в точках з ірраціональними координатами так, щоб була розривна у всіх точках числової прямої, за винятком (довести використовуючи означення неперервності за Бером). Чи інтегрована функція на за Ріманом, за Лебегом?. У разі інтегрованості порахувати інтеграл на

. Функція не інтегрована за Ріманом, бо міра точок розриву рівна 2. Функція вимірна і обмежена, тому є інтегрованою за Лебелем.

8. Дано функцію

Чи інтегрована функція на За Ріманом, за Лебегом?. У разі інтегрованості порахувати відповідний інтеграл на [0;3].

Функція не інтегрована за Ріманом, бо міра її точок розриву рівна 2. Функція вимірна і обмежена, а тому вона є інтегрованою за Лебегом.

9. Дано функцію , де канторова множина, а його доповнення до всього відрізку . Чи інтегрована функція на за Ріманом, Лебегом? У разі інтегрованості порахувати інтеграл на

Функція не інтегрована за Ріманом, бо міра її множини точок розриву рівна 1. Функція є вимірною і обмеженою, а тому вона є інтегрованою за Лебегом.

Дата добавления: 2015-10-21