Построение графика функций

Построение графика функций

1. Построим график функции с помощью преобразования графика функции .

Если исходная функция на всей области определения принимает только неотрицательные значения, т.е. если , то . Поэтому график функции совпадает с графиком функции . Для всех функций, изображенных на рисунке 1, график функции совпадает с графиком функции .

Рис.1

Если же функция принимает только отрицательные значения на всей области определения, т.е. если , то по определению модуля . Это значит, что график функции совпадает с графиком функции , то есть симметричен графику функции относительно оси (рис.2).

Рис.2

2. Обычно функция принимает как неотрицательные, так и отрицательные значения (рис.3). «Раскрыв» модуль, получаем, что

(1)

· Выполнение для некоторого значения аргумента условия означает, что точка графика лежит в верхней полуплоскости, т.е. вышеоси абсцисс или на самой оси. Для всех таких значений аргумента, они на рисунке 3 обозначены сплошной линией, выполняется равенство . Это означает, что для этих значений аргумента график функции совпадает с графиком функции , или другими словами, все части графика функции , лежащие выше оси абсцисс, являются также частями графика функции .

Рис. 3

· Теперь рассмотрим те значения аргумента функции , при которых функция принимает отрицательные значения, т.е. . На рисунке они обозначены пунктирной линией. Соответствующие этим значениям аргумента части графика функции лежат ниже оси абсцисс. Из формулы следует, что при выполняется равенство и поэтому для рассматриваемых значений аргумента график функции совпадает с графиком функции . График этой функции симметричен графику функции относительно оси .

Из вышесказанного вытекает способ построения графика функции исходя из графика функции :

Чтобы получить график функции из графика функции необходимо:

ü оставить без изменений части графика функции , лежащие выше оси абсцисс OX

ü отразить симметрично относительно оси абсцисс OX части графика функции , лежащие ниже этой оси

Таким образом, последовательность построения графика функции исходя из графика функции , будет выглядеть следующим образом:

Рис. 3

Отметим, что область определенияфункции совпадает с областью определения функции , а множество значений составляет множество чисел , где .

3. Пример 1. Построить график функции .

Сначала построим график функции (рис.4). Затем преобразуем его по описанному выше правилу: те части параболы, которые лежат выше оси абсцисс Ox, оставим без изменений, а части, лежащие ниже оси абсцисс, отразим симметрично относительно этой оси. В результате получаем график функции (рис.5).

Рис. 4

Рис. 5

Пример 2. Построить график функции .

Используя правила построения графиков вида и , последовательно построим графики функций , , , (рис.6).

Рис. 6

I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AHD0k+7EAAAA2wAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj0uLwkAQhO+C/2Fowds6UcRo1lHEBwge xAe7e2wybRLM9ITMqPHfO8KCx6KqvqKm88aU4k61Kywr6PciEMSp1QVnCs6nzdcYhPPIGkvLpOBJ DuazdmuKibYPPtD96DMRIOwSVJB7XyVSujQng65nK+LgXWxt0AdZZ1LX+AhwU8pBFI2kwYLDQo4V LXNKr8ebCZT9fvUT958Td1vr0e+uGq7LwZ9S3U6z+AbhqfGf8H97qxXEMby/hB8gZy8AAAD//wMA UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAASrOV4AAQAA5gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5 cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEACMMYpNQAAACTAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAxAQAAX3Jl bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L3BpY3R1cmV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAHD0k+7EAAAA2wAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAA nwIAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPcAAACQAwAAAAA= " stroked="t" strokecolor="#d8d8d8 [2732]">

a)

b)

c)

d)

Упражнения

1. Постройте график функции.

a)	b)
c)	d)
e)	f)

2. На рисунке изображен график функции . Начертите схематически график функции . I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AMCbKfbDAAAA2wAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj0FrwkAUhO8F/8PyCr0U3dhilOgqUiiW 3hL1/sg+d2Ozb0N2G9N/3y0UPA4z8w2z2Y2uFQP1ofGsYD7LQBDXXjdsFJyO79MViBCRNbaeScEP BdhtJw8bLLS/cUlDFY1IEA4FKrAxdoWUobbkMMx8R5y8i+8dxiR7I3WPtwR3rXzJslw6bDgtWOzo zVL9VX07Bc9VPpwPh+z6apwpm8se7aL8VOrpcdyvQUQa4z383/7QClZL+PuSfoDc/gIAAP//AwBQ SwECLQAUAAYACAAAACEABKs5XgABAADmAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlw ZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAIwxik1AAAAJMBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAADEBAABfcmVs cy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAASAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMv cGljdHVyZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAwJsp9sMAAADbAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACf AgAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9wAAAI8DAAAAAA== " stroked="t" strokecolor="#d8d8d8 [2732]"> I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AD/oETXEAAAA2wAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj0FrwkAUhO8F/8PyhN7qJi2KTbMRKZTW YxMFj4/sM4lm3y7ZNab/3i0Uehxm5hsm30ymFyMNvrOsIF0kIIhrqztuFOyrj6c1CB+QNfaWScEP edgUs4ccM21v/E1jGRoRIewzVNCG4DIpfd2SQb+wjjh6JzsYDFEOjdQD3iLc9PI5SVbSYMdxoUVH 7y3Vl/JqFLx+Gn1cpuPRnit32Ke75bU8OKUe59P2DUSgKfyH/9pfWsHqBX6/xB8gizsAAAD//wMA UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAASrOV4AAQAA5gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5 cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEACMMYpNQAAACTAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAxAQAAX3Jl bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L3BpY3R1cmV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAD/oETXEAAAA2wAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAA nwIAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPcAAACQAwAAAAA= " stroked="t" strokecolor="#d8d8d8 [2732]">

3. Для каких функций выполняется равенство для всех ?

4. Постройте график функции.

a)

b)

5. Найти множество значений функции , если известно множество значений функции .

a)	b)	c)
d)	e)	f)

6. Пусть функция – периодическая с периодом . Докажите, что функция тоже является периодической с периодом . Приведите пример, когда наименьший период функции не является наименьшим периодом функции .

7. Будет ли обратимой функция , если функция обратима?

---

Дата добавления: 2015-10-21